备战高考2024年数学第一轮专题复习2.2 基本不等式（精练）（提升版）（解析版）

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【答案】C
【解析】等价于，
故得到则的最大值是4.故选：C.
2．（2022·山东·济南市历城第二中学）已知，则的最小值是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【解析】，
因为，又，所以，则，
当且仅当，即时，取等号，即的最小值是7.故选：C
3．（2022··一模）（多选）已知，且，则下列结论正确的是（ ）
A．的最大值为B．的最大值为
C．的最小值为D．的最大值为
【答案】BC
【解析】，且，，
对于A，利用基本不等式得，化简得，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为，故A错误；
对于B，，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为，故B正确；
对于C，，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为，故C正确；
对于D，
利用二次函数的性质知，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，
，，故D错误；
故选：BC
4．（2022·江苏·金陵中学高三阶段练习）（多选）已知，，且，则（ ）
A．xy的取值范围是B．的取值范围是
C．的最小值是3D．的最小值是
【答案】BD
【解析】因为，，所以，所以，
解得，即，则A错误.
因为，，所以，所以，
即，解得，则B正确.
因为，所以，
则，
当且仅当即时等号成立.因为.所以，则C错误.
，
当且仅当即时等号成立，则D正确.故选：BD
5．（2022·山东德州·高三期末）（多选）已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为B．的最小值为16
C．的最大值为D．的最小值为
【答案】ACD
【解析】由可得，，（当且仅当时，取等号），故A正确；
（当且仅当时，取等号），即，故D正确；
（当且仅当时，取等号），（当且仅当时，取等号），即，故B错误；
，即（当且仅当时，取等号），故C正确；
故选：ACD
6．（2022·上海交大附中高三开学考试）设，，则的最小值是（ ）
A．4B．C．2D．1
【答案】C
【解析】因为，，，设，，
所以，当且仅当，即时等号成立．
故选：C．
7．（2022·全国·高三专题练习）（多选）当，，时，恒成立，则的取值可能是（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】AB
【解析】因为，，所以，当且仅当时，等号成立．
因为．
若恒成立，则，解得．故选：AB.
8．（2022·重庆·高三阶段练习）已知，且，则的最小值为__________.
【答案】2
【解析】因为，所以
=2，
当且仅当，即，即时，等号成立.
故答案为：2
9．（2022·江苏扬州·高三期末）已知正实数x，y满足x＋y＝1，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】由题意可知，＝＝＝＋＝（＋）（x＋y）
＝4＋5＋＋≥9＋2＝，
当且仅当＝，时取等号， 此时，
故的最小值为．
故答案为：
题组二
1．（2022·全国·高三阶段练习（文））已知函数的一个极值点为1，若，则的最小值为（ ）
A．10B．9C．8D．
【答案】B
【解析】对求导得，
因为函数的一个极值点为1，所以，所以，
因为，所以，
当且仅当时等号成立，所以的最小值为9.故选：B.
2．（2022·江苏省高邮中学高三阶段练习）函数且的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【解析】因为函数且的图象恒过定点，
所以，即，所以，
又，所以
所以，当且仅当，即时取等号.故选：C.
3．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）已知、，直线，，且，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为、，直线，，且，
所以，即，
所以，所以，
所以，
当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为，故选：D
4．（2022·江西·模拟预测（理））若圆上存在两点关于直线对称，则的最小值是（ ）
A．3B．4C．5D．8
【答案】B
【解析】由题可知圆的圆心为，若圆上存在两点关于对称，则说明直线过圆心，即，即，变形可得
故
当且仅当，即时取得等号，故最小值为4.故选：B
5．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））若，，，则的最小值等于（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】D
【解析】由，且，所以，
又由，可得，则，
当且仅当，即时，等号成立，所以最小值等于.故选：D.
6．（2022·浙江·绍兴一中高三期末）若两圆（）和（）恰有三条公切线，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【解析】圆化为，则圆心为，半径，
圆化为，则圆心为，半径，
因为两圆（）和（）恰有三条公切线，
所以两圆外切，则圆心距，所以，
所以，
当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为.故选：C.
7．（2022·浙江·湖州中学高三阶段练习）已知a、b、c、d均为正实数，且，则的最小值为（ ）
A．3B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以，即，当且仅当时取等号，所以的最小值为的最小值，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为.故选：D
8．（2022·安徽·池州市第一中学）中，为边上的点（不包括端点、），且，满足则（ ）
A．有最大值B．有最大值
C．有最小值D．有最小值
【答案】D
【解析】因为在边上，设，其中，即，则，
因为，则且，，
，
当且仅当时，即当时，等号成立.所以，有最小值.故选：D.
9．（2022·安徽安庆·二模（文））如图，在中，点在边上，且.过点
的直线分别交射线、于不同的两点、.若，，则（ ）
A．有最小值B．有最小值
C．有最大值D．有最大值
【答案】B
【解析】先证明结论：设为与、、不在同一直线外的一点，三点、、共线且.
若三点、、共线，可设，其中，
则，所以，，
设，则，
所以，三点、、共线且.
若且，则，
所以，，可得，故三点、、共线，
即三点、、共线且.
所以，三点、、共线且.
本题中，连接，
则，
因为、、三点共线，所以，由题意可知且，
于是，
当且仅当时，取到最小值.
故选：B.
10．（2022·甘肃张掖·高三期末（理））在等差数列中，且，则的最大值等于（ ）
A．4B．6C．8D．9
【答案】A
【解析】因为在等差数列中，所以，即，
又，所以，
当且仅当时，等号成立，所以，的最大值为4.故选：A.
11．（2022·北京·首都师范大学附属中学高三开学考试）若函数的最大值为2，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为，且最大值为，
所以，即，故A一定成立；
又，所以，
当且仅当a=b时等号成立，故B一定成立；
又，所以，
当且仅当a=b时等号成立，故C一定成立；
，当同号时，，
当异号时，，故D不一定成立.
故选：D
12．（2021·江苏·高考真题）已知奇函数是定义在上的单调函数，若正实数，满足则的最小值是（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】B
【解析】因为，所以，
因为奇函数是定义在上的单调函数，
所以，
所以，即，
所以，即，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是.
故选：B
13．（2022·全国·高三专题练习（理））已知随机变量，若，则的最小值为___________.
【答案】9
【解析】依题意，由正态分布知识可得，
，
当且仅当且即时等号成立.
所以的最小值为9.
故答案为：9.
14．（2022·河南濮阳·高三阶段练习（理））已知，，直线与曲线相切，则的最小值是______．
【答案】
【解析】设直线与曲线的切点为，
对求导得，所以，即，
所以，所以切点为，
由切点在切线上，可得，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立．
所以的最小值是．
故答案为：．
题组三 连用两次基本不等式
1.已知a＞b＞0，那么a2＋eq \f(1,ba－b)的最小值为________．
【答案】4
【解析】题意a＞b＞0，则a－b＞0，所以b(a－b)≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b＋a－b,2)))2＝eq \f(a2,4)，
所以a2＋eq \f(1,ba－b)≥a2＋eq \f(4,a2)≥2eq \r(a2·\f(4,a2))＝4，当且仅当b＝a－b且a2＝eq \f(4,a2)，即a＝eq \r(2)，b＝eq \f(\r(2),2)时取等号，所以a2＋
eq \f(1,ba－b)的最小值为4.
2.若x，y是正数，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2y)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(1,2x)))2的最小值是________．
【答案】4
【解析】∵x＞0，y＞0，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2y)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(1,2x)))2≥2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2y)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(1,2x))).
又2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2y)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(1,2x)))＝2xy＋eq \f(1,2xy)＋2≥4，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2y)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(1,2x)))2≥4，当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2y)＝y＋\f(1,2x)，,2xy＝\f(1,2xy)，))
即x＝y＝eq \f(\r(2),2)时等号成立.