备战高考2024年数学第一轮专题复习3.2.1 函数的性质（一）（精讲）（提升版）（解析版）

这是一份备战高考2024年数学第一轮专题复习3.2.1 函数的性质（一）（精讲）（提升版）（解析版），共24页。试卷主要包含了单调区间，已知单调性求参数，奇偶性的判断，奇偶性的应用，单调性与奇偶性应用之比较大小，单调性与奇偶性应用之解不等式等内容，欢迎下载使用。

考点呈现
例题剖析
考点一 单调区间（无参）
【例1-1】（2022·贵州）函数的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】在函数中，由得或，则的定义域为，函数在上单调递减，在上单调递增，又在上单调递增，于是得在上单调递减，在上单调递增，所以函数的单调递减区间为.故选：B
【例1-2】（2022·广东）函数的单调递增区间是（ ）
A． B． 和
C．和D． 和
【答案】B
【解析】
如图所示：
函数的单调递增区间是和．故选：B.
【例1-3】（2022·湖北）函数的单调递增区间是（ ）
A．B．
C． D．
【答案】A
【解析】，
设，则，，
函数是由和复合而成，
当时，是减函数；
若求的单调递增函数，
只需求的单调递减区间，
当时，为减函数，
所以函数的单调递增区间是.
故选：A.
【例1-4】（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）函数在上是减函数，则实数的范围是_______.
【答案】
【解析】函数，定义域为，
又，
因为函数在上是减函数，所以只需在上是减函数，
因此，解得.故答案为：
【例1-5】（2021·云南昆明市）函数的单调增区间是
【答案】
【解析】要使函数有意义则，即函数定义域为，
又，由一次函数的单调性可知函数在上单调递增.
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】令，解得，令，则，
∵函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在定义域内递增，
∴根据复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间是故选：C
2．（2022·福建）函数的单调减区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】直接通过解析式，结合二次函数图象得：递增，在递减，故选：A.
3．（2021·全国·高三阶段练习（文））下列函数在上是减函数的为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】对于选项A，在上无意义，不符合题意；
对于选项B，在上是增函数，不符合题意；
对于选项C，的大致图象如图所示中，由图可知在上是减函数，符合题意；
对于选项D，在上是增函数，不符合题意.故选：C.
4．（2022·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】根据题意，，解得，
又函数 在定义域内为单调增函数，
且函数在 内为单调增函数
根据复合函数的单调性可知：
的单调增区间为
选项C正确，选项ABD错误.故选：C.
5．（2021·天津静海区）函数的单调减区间为___________
【答案】
【解析】,当,即
时原函数为减函数.故函数的单调减区间为.故答案为：
考点二 已知单调性求参数
【例2-1】（2022·陕西·武功县普集高级中学）已知函数在，上单调递增，在上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由，得．
因为在，上单调递增，在上单调递减，
所以方程的两个根分别位于区间和上，
所以，即解得.故选：A．
【例2-2】（2022·河南濮阳·一模）“”是“函数是在上的单调函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】依题意，函数是在上的单调函数，
由于在上递增，所以在上递增，
所以且，即.所以“”是“函数是在上的单调函数”的必要不充分条件.故选:B
【例2-3】（2022·全国·高三专题练习）若函数（且）在区间
内单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】函数在区间 内有意义， 则，
设则 ，( 1 ) 当 时， 是增函数，
要使函数在区间内单调递增，
需使 在区间内内单调递增，
则需使，对任意恒成立 , 即对任意恒成立；
因为时，所以与矛盾，此时不成立.
( 2 ) 当时，是减函数，
要使函数在区间内单调递增，
需使在区间内内单调递减，
则需使 对任意恒成立，
即对任意恒成立，
因为，
所以，
又，所以.
综上，的取值范围是
故选：B
已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下几点：
若函数在区间[a,b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；
分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；
（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围
温馨提示
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）若函数是上的单调函数，则的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为分段函数在上的单调函数，由于开口向上，故在上单调递增，故分段函数在在上的单调递增，所以要满足：，解得： 故选：B
2．（2021·全国·高三专题练习）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．或B．C．或D．
【答案】C
【解析】由题意，在恒成立，则，
又，∴在恒成立，
∴即在恒成立，∴，综上，或.故选：C.
3．（2022·重庆）已知函数在区间，上都单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】设，其判别式，
∴函数一定有两个零点，设的两个零点为，且，
由，得，，
∴，
①当时，在上单调递减或为常函数，从而在不可能单调递增，故；
②当时，，故，则，
∵在上单调递增，
∴在上也单调递增，，，
由在和上都单调递增，且函数的图象是连续的，
∴在上单调递增，欲使在上单调递增，只需，得，
综上：实数的范围是.
故选：D.
4．（2021·重庆市）已知且，若函数在上是减函数，则的取值范围是__________
【答案】
【解析】令，当时，因为函数在上是减函数，
所以函数在上是减函数，且成立，则，无解，
当时，因为函数在上是减函数，所以函数在
上是增函数，且成立，则，解得，综上：实数的取值范围是
故答案为：
考点三 奇偶性的判断
【例3】（2022·广西）下列函数中，既是奇函数，又在定义域上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】∵ 函数为偶函数，A错，
∵ ，∴ 函数为偶函数，C错，
∵ ，∴ 函数为奇函数，
∵ 当时，，时，，
∴ 函数在定义域上不是单调递增函数，B错，
∵ ，又函数在定义域上单调递增，函数在定义域上单调递减，
∴ 函数既是奇函数，又在定义域上单调递增，D对，
故选：D.
【一隅三反】
1．（2022·广东广州·二模）下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】对：容易知是偶函数，且在单调递减，故错误；
对：容易知是偶函数，当时，，
其在单调递增，在单调递减，故错误；
对：容易知是偶函数，当时，是单调增函数，故正确；
对：容易知是奇函数，故错误；故选：C.
2．（2022·河南）下列函数中，即是奇函数又是单调函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为，，均为定义域上的奇函数，
对于A：是偶函数，所以A错误；
对于B：是奇函数，且，为单调递增函数，所以B正确；
对于C：是偶函数，所以C错误；
对于D：是奇函数，但不是单调函数，所以D错误故选：B．
3．（2022·安徽）设函数,的定义域为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．是偶函数B．是奇函数
C．是奇函数D．是奇函数
【答案】C
【解析】是奇函数，是偶函数，，
对于A，，故是奇函数，故A错误；
对于B，，故是偶函数，故B错误；
对于C，，故是奇函数，故C正确；
对于D，，故是偶函数，故D错误.故选：C.
考点四 奇偶性的应用
【例4-1】（2021·河南）已知为奇函数，当时，，则当时，（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为为奇函数，所以，即．
当时，，．故选：C
【例4-2】（2022·河南洛阳）若函数是偶函数，则（ ）
A．-1B．0C．1D．
【答案】C
【解析】由已知，，所以，
函数为偶函数，所以，所以，整理得：，所以.故选：C.
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数是偶函数，则的值是（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】A
【解析】函数的定义域为，因为函数是偶函数，所以，
所以，，所以，得，故选：A
2．（2022·江西）若函数为偶函数，则实数（ ）
A．B．3C．D．9
【答案】D
【解析】由题意，函数为偶函数，
因为函数为奇函数，所以为奇函数，
由，可得，解得.
故选：D.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数是偶函数，则，的值可能是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【解析】根据题意，设，则，则，，又由为偶函数，则，即，变形可得：对于任意恒成立，
则有，分析选项：C满足，故选：C．
4．（2021·河北）已知函数是上的奇函数，当时，，则函数的解析式为______．
【答案】
【解析】因为函数是上的奇函数，所以，又当时，，设，则，则，因为为奇函数，所以，所以，所以故答案为：
考点五 单调性与奇偶性应用之比较大小
【例5-1】（2022·安徽·寿县第一中学）若为定义在上的偶函数，且在上单调递减，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由为偶函数且在上单调递减知：在上单调递增，，
又，，，故，
所以.故选：D.
【例5-2】（2022·重庆·西南大学附中模拟预测）设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为，，，
所以，令，，
所以当时，，函数单调减，
因为，所以，即.故选：A
【一隅三反】
1．（2022·天津河北·二模）已知是定义在R上的偶函数，且在区间单递调减，若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由函数是定义在上的偶函数，可得，
则，，，
因为函数在区间上单调递减，且，，即，
所以，即有，故选：D．
2．（2022·安徽·巢湖市第一中学高三期中（理））已知函数，设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为函数定义域为，故函数为偶函数，所以，，又因为，
当，，单调递增，当，，单调递减，
所以，时，比较之间的大小，得到，且，所以，再比较和的大小，因为，
，明显可见，
，得到，根据的单调性，可得
故选:A
3．（2022·云南德宏））已知函数是定义在上的偶函数，对任意，，都有，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为对任意，，都有，所以在上单调递增，
又函数是定义在上的偶函数，所以
因为，又所以，
又，所以，
所以所以.故选：D.
4．（2022·湖北·荆门市龙泉中学一模）设，，，则下列关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】记.
因为，所以当时，，所以在上单调递增函数，所以当时，，即，所以.
记.
因为，所以在上单调递增函数，所以当时，，即，所以.所以.
记.因为，所以当时，，所以在上单调递增函数，所以当时，，即，所以.
所以.综上所述：.故选：C
考点六 单调性与奇偶性应用之解不等式
【例6-1】（2022·安徽马鞍山）已知偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】偶函数在上单调递增，则在上单调递减，而，
因，则当时，，即，解得，
当时，，即，解得，
所以不等式的解集为.故选：B
【例6-2】（2022·安徽·）已知是奇函数，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】是奇函数，恒成立，
即恒成立，
化简得，，即，
则，解得，又且，，
则，所以，
由复合函数的单调性判断得，函数在上单调递减，又为奇函数，
所以在上单调递减；由恒成立得，
恒成立，
则恒成立，
所以恒成立，解得.
故选：B.
【一隅三反】
1．（2022·云南昭通）若定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C或
又在上单调递增，且
在上为奇函数在上单调递增，且
综上：不等式的解集为故选：C.
2．（2022·河南）已知定义在R上的函数为奇函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为是定义在R上的奇函数，所以，即.
所以，化简得
因为，所以或解得或.故选：D
3．（2022·全国·高三开学考试（理））已知是定义在上的奇函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为是定义在上的奇函数所以，得：
又在上单调递减所以在上单调递减
由可得：，解得：
所以不等式的解集为：.故选：B.
4．（2022·贵州遵义）若奇函数在单调递增，且，则满足的x的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由是奇函数在单调递增，且可知：当 时，，当 时，，又或，解得：或
满足的x的取值范围是或故选：D
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析函数，则，
因，则不等式成立必有，即，
令，求导得，当时，，当时，，
因此，函数在上单调递减，在上单调递增，又，
当时，，于是得，即，令，
当时，，函数在上单调递减，，，因此，无解，当时，，于是得，即，此时，
函数在上单调递增，，，不等式解集为，
所以不等式的解集为.
故选：B