备战高考2024年数学第一轮专题复习9.2 椭圆（精练）（提升版）（解析版）

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9.2 椭圆（精练）（提升版）
题组一 椭圆定义及应用

1．（2022高三下·广东月考）设P为椭圆上一点，分别是C的左，右焦点．若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】椭圆的长半轴长为3，
由椭圆的定义可知 ，
由 ，可得 ．故答案为：C
2．（2021·新高考Ⅰ）已知F1,F2是椭圆C： 的两个焦点，点M在C 上，则|MF1|·|MF2|的最大值为（　　）
A．13 B．12 C．9 D．6
【答案】C
【解析】由椭圆的定义可知a2=9,b2=4,|MF1|+|MF2|=2a=6，
则由基本不等式可得|MF1||MF2|≤，
当且仅当|MF1|=|MF2|=3时，等号成立.故答案为：C
3．（2022·东北三省模拟）已知椭圆C：上的动点P到右焦点距离的最小值为，则（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【解析】根据椭圆的性质，椭圆上的点到右焦点距离最小值为，
即 ，又，所以，由，所以；故答案为：A
4．（2022·柳州模拟）已知A（3，1），B（－3，0），P是椭圆 上的一点，则 的最大值为　 　．
【答案】9
【解析】根据题意可得： a=4，b=，c=3，
则点B为椭圆的左焦点，取椭圆的右焦点F(3，0)，
∴|PB|+|PF|=8，即|PB| =8-|PF|，
∵，即点A在椭圆内，
|PA|+ |PB|= |PA|-|PF|+8<|AF|+8=9，
当且仅当点P在AF的延长线上时，等号成立.
故答案为： 9
5．（2022·合肥模拟）已知的内角．，的对边分别为，，，若， ，则面积的取值范围为　 　．
【答案】
【解析】， ，
由余弦定理得，所以，
即，又，
所以在以为焦点，长轴长为6的椭圆上（不在直线上），如图以为轴，线段中垂线为轴建立平面直角坐标系，设椭圆方程为，则，所以，

当是椭圆短轴顶点时，到的距离最大为，
所以的最大值为，可无限接近于0，无最小值，
的取值范围是，
故答案为：．
6．（2022·佛山模拟）若椭圆的焦点在y轴上，则实数k的取值范围是　 　.
【答案】（1，2）
【解析】因为椭圆的焦点在y轴上，
所以，解得，即实数k的取值范围为（1，2）.
故答案为：（1，2）
7．（2022·郑州模拟）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，椭圆上一点P满足|OP|＝3，则△F1PF2的面积为　 　．
【答案】7
【解析】由题意得：，解得：，所以，设出，则
，解得：，故故答案为：7
8．（2022·贵州模拟）设P为椭圆和双曲线的一个公共点，且P在第一象限，F是M的左焦点，则M的离心率为　 　，　 　.
【答案】；
【解析】M的离心率，
设M的右焦点为 ，因为 ，且M与N的焦点都在x轴上，
所以椭圆M与双曲线N的焦点相同，
所以 ， ，解得 .
故答案为： ； .
9．（2022·株洲模拟）已知、是椭圆的两个焦点，M为椭圆上一点，若为直角三角形，则　 　．
【答案】
【解析】在椭圆中，，，，则.
（1）若为直角，则，该方程组无解，不合乎题意；
（2）若为直角，则，解得，
；
（3）若为直角，同理可求得.
综上所述，.故答案为：.
10．（2022·奉贤模拟）已知曲线的焦距是10，曲线上的点到一个焦点的距离是2，则点到另一个焦点的距离为　 　.
【答案】或10
【解析】由题意，曲线的半焦距为5，若曲线是焦点在x轴上的椭圆，则a>16，所以，而椭圆上的点到一个焦点距离是2，则点到另一个焦点的距离为；
若曲线是焦点在y轴上的椭圆，则0 若曲线是双曲线，则a<0，容易判断双曲线的焦点在y轴，所以，不妨设点P在双曲线的上半支，上下焦点分别为，因为实半轴长为4，容易判断点P到下焦点的距离的最小值为4+5=9>2，不合题意，所以点P到上焦点的距离为2，则它到下焦点的距离.故答案为：或10.
11．（2021·岳阳模拟）椭圆 的左、右焦点分别为 ，点P在椭圆上，如果 的中点在y轴上，那么 是 的　 　倍
【答案】5
【解析】由题得 ，
由题得 轴，当 时， ，所以 ,
所以 ,所以 是 的5倍.故答案为：5
12．（2022·新高考Ⅰ卷）已知椭圆C： C的上顶点为A，两个焦点为 离心率为 ，过 且垂直于 的直线与C交于D，E两点， 则△ADE的周长是　 　．
【答案】13
【解析】椭圆离心率为，则a=2c，，可设C：，
则|AF1|=|AF2|=|F1F2|=2c，
则△AF1F2为正三角形，则直线DE的斜率，
由等腰三角形性质可得，|AE|=|EF2|， |AD|=|DF2|， 由
椭圆性质得△ADE的周长=|DE|+|DF2|+|EF2|=4a，
设D（x1，y1），E（x2，y2），直线DE为，
与椭圆方程联立，得13x2+8cx-32c2=0，
则，
则，
解得，
即△ADE的周长=4a=13
故答案为：13
题组二 椭圆的标准方程

1．（2022·安徽合肥）已知椭圆的右焦点为F，椭圆上的两点P､Q关于原点对称，若6，且椭圆C的离心率为，则椭圆C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由椭圆的定义及椭圆的对称性可得由椭圆C的离心率为得，所以故选：A
2．（2021·四川自贡·高三（文））古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积．已知椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在y轴上，其面积为8π
，过点F1的直线l与椭圆C交于点A，B且△F2AB的周长为32，则椭圆C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵焦点F1，F2在y轴上，
∴可设椭圆标准方程为，
由题意可得，
∴，即，
∵△F2AB的周长为32，
∴4a＝32，则a＝8，∴，
故椭圆方程为．
故选：B．
3．（2022云南）阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的焦点在轴上，且椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设椭圆的标准方程为()，焦距为，
则：解得
故选：D
4．（2022海南）已知椭圆的两个焦点分别为，，过的直线与交于，两点．若，，则椭圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】，所以可得，
又因为，
所以可得，即为短轴的顶点，
设为短轴的上顶点，，，
所以，
所以直线的方程为：，
由题意设椭圆的方程为：，则，
联立，整理可得：，
即，可得，
代入直线的方程可得，
所以，
因为，
所以，整理可得：，
解得：，可得，
所以椭圆的方程为：，
故选：D．
5．（2021·山西太原五中高三（文））已知两定点、和一动点，若是与的等差中项，则动点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】、，，
是与的等差中项，则，即，
点在以、为焦点的椭圆上，
，，，，因此，椭圆的方程是.
故选：B.
6．（2022·陕西模拟）已知椭圆的离心率是，若以为圆心且与椭圆有公共点的圆的最大半径为，此时椭圆的方程是　 　．
【答案】
【解析】由已知，所以，则，
设椭圆上的任一点的坐标为，
则
，
若，则当时，，由得，满足题意，
此时，椭圆方程为，
若，则时，，则，即，但时，，无解．
综上，椭圆方程为．
故答案为：．
题组三 椭圆的离心率

1．（2021·芜湖模拟）已知方程 表示椭圆，且该椭圆两焦点间的距离为4，则离心率 （　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为方程 表示椭圆，所以 ， ，所以 ，所以 ，因为焦距为 ，所以 ，解得 ，所以 ， 所以 故答案为：B
2．（2022·安徽模拟）一个底面半径为1，高为3的圆柱形容器内装有体积为的液体，当容器倾斜且其中液体体积不变时，液面与容器壁的截口曲线是椭圆，则该椭圆离心率的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当液面倾斜至如图所示位置时，

设，.
因为圆柱底面积为，故液体体积为
，解得，即，
，故，所以，，
即，所以离心率，即椭圆离心率的取值范围是.
故答案为：
3．（2022·枣庄模拟）已知点分别为椭圆的左、右焦点，点P为直线上一个动点．若的最大值为，则椭圆C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据对称性，不妨设点在第一象限且坐标为，如图，

记直线与轴的交点为，设，则，
由于，故，
所以，，
所以，
因为，，当且仅当时等号成立，即时等号成立，
所以，
整理得，
所以，解得，
所以，即椭圆C的离心率为.
故答案为：D
4（2022·柯桥模拟）已知椭圆，则该椭圆的离心率（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为椭圆的方程为，即，
故，又，故.
故答案为：C.
5．（2023高三上·江汉开学考）已知椭圆：的两个焦点为，，过的直线与交于A，B两点.若，，则的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，则，.
由椭圆的定义可知，所以，所以，.
在△ABF1中，.
所以在△AF1F2中，，
即整理可得：，
所以
故答案为：C
6．（2022·岳阳模拟）已知椭圆 及圆O：，如图，过点与椭圆相切的直线l交圆O于点A，若 ，则椭圆离心率的为（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得是等边三角形，则直线的倾斜角为，其斜率为，故直线的方程为，代入椭圆方程整理得，其判别式，化简可得，则，又，所以，
故答案为：A.
7．（2022·湖南模拟）中心在坐标原点O的椭圆的上顶点为A，左顶点为B，左焦点为F．已知 ，记该椭圆的离心率为e，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据角平分线定理 ，
结合 及离心率 有 ，
化简得 ．
设
又 ，
，
当 时， 恒成立，故 在 上单调递减，
所以 。
故答案为：C.
8（2022·毕节模拟）已知，是椭圆的左、右焦点，是椭圆的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则椭圆的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题知，所以直线的方程为，
因为，所以直线的倾斜角为，
所以直线的方程为．
联立，解得，．

因为为等腰三角形，，
所以，即，
整理得：．
所以椭圆的离心率为．
故答案为：D.
9．（2022·安徽模拟）已知椭圆）的左､右焦点分别为和
为C上一点，且的内心为，则椭圆C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】连接，延长交轴于，则
，又，，

所以，
故，即，
又，
所以，即.
故答案为：D.
10．（2022·辽宁模拟）已知分别为椭圆的左，右焦点，直线与椭圆C的一个交点为M，若，则椭圆的离心率为　 　．
【答案】
【解析】由题可知，为直角三角形，，直线过原点，，故，

又，则，
在中，，即，
又，解得：或（舍去）.
故答案为：.
11．（2022·海宁模拟）如图，点F为椭圆的左焦点，直线分别与椭圆C交于A，B两点，且满足，O为坐标原点，若，则椭圆C的离心率　 　．

【答案】
【解析】由题知：
令

连接，

所以，
且，
从而．
故答案为：．
题组四 直线与椭圆的位置关系

1．（2022·四川成都）已知椭圆，过定点的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，O为坐标原点，若为锐角，则直线l的斜率k的取值范围为（       ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意设直线l的方程为，、，
联立方程得，则
∴，，
∵为锐角，则，即，


，
解得，又∵，∴．
故选：C
2．（2022·全国·专题练习）直线与椭圆相交两点，点是椭圆上的动点，则面积的最大值为（       ）
A．2 B． C． D．3
【答案】B
【解析】由题意联立方程组 ，解得或，
因为两点在椭圆上关于原点对称，不妨取 ，
则 ,
设过点C与AB平行的直线为 ，则与AB的距离即为点C到AB的距离，也就是的边AB上的高，
当与椭圆相切时，的边AB上的高最大，面积也最大，
联立，得： ，
令判别式 ，解得 ，
此时与间的距离也即是的边AB上的高为 ，
所以的最大面积为 ，
故选：B.
3．（2022·江苏省）椭圆上的点P到直线x+ 2y- 9= 0的最短距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设与已知直线平行，与椭圆相切的直线为 ，则

所以
所以椭圆上点P到直线的最短距离为
故选：A
4．（2022·全国·高三专题练习）直线和曲线的位置关系为_____.
【答案】相交
【解析】曲线为：可得
直线恒过，由知定点在椭圆内部，
所以直线与椭圆的位置关系为相交.
故答案为：相交.
5．（2022·全国·专题练习）不论为何值，直线与椭圆有公共点，则实数的范围是__.
【答案】
【解析】方法一： 把直线代入椭圆1，
化为．其中．(注意这个坑)，
直线与椭圆1有公共点，
恒成立，
化简为．上式对于任意实数都成立，，解得．
实数的范围是．
方法二：因为直线恒过定点
所以代入得即
因为是椭圆，所以
故的取值范围是．
故答案为：．
6．（2022·全国·高二专题练习）椭圆上的点到直线的距离的最大值为______.
【答案】
【解析】设与直线平行的直线与椭圆相切，
由得，
由得，，解得
设直线与直线的距离为，
当时，直线为，则，
当时，直线为，则，
因为，
所以椭圆1上的点到直线的距离的最大值为.
故答案为：
7．（2022·全国·单元测试）直线与椭圆相交于A、B两点，椭圆上的点P使△PAB
的面积等于12，这样的点P共有______个.
【答案】2
【解析】
易知直线过点，则即为直线与椭圆交点，不妨设，，
设到直线的距离为，则，解得，作与直线平行且与椭圆相切的直线，设，
联立椭圆方程化简得，由解得，则或，
又因为与距离为，与距离为，
故这样的点P共有2个.
故答案为：2.
8．（2022·云南）椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆经过点且长轴长为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点且斜率为1的直线与椭圆交于，两点，求弦长.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）
由题意设椭圆的方程为，
因为椭圆经过点且长轴长为，
所以，
所以椭圆方程为，
（2）
因为直线过点且斜率为1，
所以直线的方程为，
设，
将代入，得，
整理得，
所以，
所以

题组五 弦长及中点弦

1．（2022·福建）已知直线，椭圆．若直线l与椭圆C交于A，B两点，则线段AB的中点的坐标为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意知，
，消去y，得，
则，，
所以A、B两点中点的横坐标为：，
所以中点的纵坐标为：，
即线段AB的中点的坐标为.
故选：B
2．（2021·全国·课时练习）已知双曲线方程，则以为中点的弦所在直线的方程是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设直线交双曲线于点、，则，
由已知得，两式作差得，
所以，，即直线的斜率为，
故直线的斜率为，即.经检验满足题意
故选：B.
3．（2022·湖南·永州市第一中学 ）已知椭圆的一个顶点为，直线与椭圆交于两点，若的左焦点为的重心，则直线的方程为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设，，，，椭圆的左焦点为，
点，且椭圆左焦点恰为的重心，
，
，①
，，
两式相减得：
将①代入得：，即直线的斜率为，
直线 过中点，
直线的方程为
所以直线的方程为.
故选：B
4．（2022·广东）斜率为的直线与椭圆相交于，两点，且过的左焦点，线段的中点为，的右焦点为，则的周长为______.
【答案】
【解析】由题意知：直线l的方程为，
当时，，所以，
设，，则则，
整理得，
所以，
则的周长为.
故答案为：.
5．（2022·上海市 ）已知直线交椭圆于两点，且线段的中点为，则直线的斜率为______.
【答案】
【解析】由题意，设，因为的中点为，所以.
又.
于是，即所求直线的斜率为.
故答案为：.
6．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆()与直线交于A、B两点，，且中点的坐标为，则此椭圆的方程为________．
【答案】
【解析】由于的中点坐标为且满足直线方程，
即有，解得，则的中点坐标为．
设，，由得，
则，
∵的中点坐标为，∴，即，
则，即，故，
又，
解得，故．
∴椭圆方程为．
故答案为：．
7．（2022·江苏 ）若椭圆的弦AB被点平分，则AB所在的直线方程为______．
【答案】
【解析】设直线与椭圆的交点为
为的中点， ；
两点在椭圆上，则
两式相减得 ；
则 ； ；
故所求直线的方程为 ，即 ；
故答案为：
8．（2022·河北 ）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，过点且斜率为的直线交椭圆于，两点，若是线段的中点，则椭圆的方程为 __．
【答案】
【解析】根据题意，抛物线的焦点为，则椭圆的焦点在轴上，且，
可以设该椭圆的标准方程为：，则，①
设点坐标为，，点坐标为，，有②，③，
②③可得：④，
又由直线的斜率为，则，
的中点的坐标为，则、，
代入④中，可得，
又由，则，，
故要求椭圆的标准方程为：；
故答案为：．
9．（2021·黑龙江 ）已知椭圆，过点作直线交椭圆于，两点，且点是
的中点，则直线的方程是___________.
【答案】
【解析】设，
因为点是的中点，可得，
由，两式相减得，
即，所以直线的方程为，即.
故答案为：.
10．（2022·湖南邵阳 ）椭圆方程为椭圆内有一点，以这一点为中点的弦所在的直线方程为，则椭圆的离心率为______．
【答案】
【解析】设直线与椭圆交于，则.
因为AB中点,则.又，相减得：.
所以所以
所以，所以，即离心率.故答案为：.