备战高考2024年数学第一轮专题复习9.3 双曲线（精讲）（提升版）（解析版）

9.3 双曲线（精讲）（提升版）

考点一 双曲线的定义及应用

【例1-1】（2022内江期末）“”是“为双曲线”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】因为方程表示双曲线，所以，

又当时，方程表示双曲线，

因此“”是“方程表示双曲线”的充要条件.故答案为：C

【例1-2】（2022·成都模拟）设，是双曲线的左，右焦点，点P在双曲线C的右支上，当时，面积为（　　）．

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】∵双曲线，∴，又点P在双曲线C的右支上，，

所以，，即，又，

∴面积为.故答案为：B.

【例1-3】（2022·邯郸模拟）已知､是双曲线的左､右焦点，点为双曲线右支上一点，且在以为直径的圆上，若，则（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设，，则.

由双曲线定义知，，又，故，

由于在以为直径的圆上，所以，故有

从而

故答案为：A

【例1-3】（2022·岳普湖模拟）已知双曲线，F1，F2是双曲线的左右两个焦点，P在双曲线上且在第一象限，圆M是△F1PF2的内切圆.则M的横坐标为　     　，若F1到圆M上点的最大距离为，则△F1PF2的面积为　     　.

【答案】1；

【解析】双曲线的方程为，则.

设圆分别与相切于 ，

根据双曲线的定义可知   ，根据内切圆的性质可知  

①，

而 ②. 由①②得： ，所以 ，

所以直线的方程为 ，即M的横坐标为1

设M的坐标为，则到圆M上点的最大距离为，

即，解得.

设直线的方程为，即.

到直线的距离为，解得 .

所以线的方程为.

由且 在第一象限，解得.

所以.

所以△F1PF2的面积为 .

故答案为：1；

【一隅三反】

1．（2022·潮州二模）若点P是双曲线上一点，，分别为的左、右焦点，则“”是“”的（　　）．

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】由题意可知，，，，

若，则，或1（舍去），

若，，或13，

故“”是“”的充分不必要条件．故答案为：A．

2．（2021常州期中）已知双曲线的右焦点为，为双曲线左支上一点，点，则周长的最小值为（　　）

A．  B．   C．   D．

【答案】B

【解析】曲线右焦点为，周长 要使  周长最小，只需 最小，如图： 

当 三点共线时取到，故l=2|AF|+2a= 故答案为：B

3．（202郫都期中）双曲线 的两个焦点为 ， ，双曲线上一点 到 的距离为11，则点 到 的距离为（　　） 

A．1 B．21 C．1或21 D．2或21

【答案】B

【解析】不妨设 ， 分别为双曲线的左右焦点，

当P在双曲线的左支时，由双曲线的定义可知， ，又 =11，所以 ，当P在双曲线的右支时，由双曲线的定义可知， ，又

=11，所以 ，又 ，所以右支上不存在满足条件的点P.故答案为：B.

4(2022广东）已知，分别是双曲线的左､右焦点，若P是双曲线左支上的点，且.则的面积为（　　）

A．8 B． C．16 D．

【答案】C

【解析】因为P是双曲线左支上的点，所以，

两边平方得，

所以.

在中，由余弦定理得，

所以，所以。故答案为：C

考点二 双曲线的离心率及渐近线

【例2-1】（2022高三下·安徽期中）已知，是双曲线的左､右焦点，点P在双曲线的右支上，且，，则双曲线C的离心率是（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意可知，， ，

又，，即，

∴，即，∴.故答案为：C.

【例2-2】（2022·河南模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是双曲线上一点，且（为坐标原点），若内切圆的半径为，则C的离心率是（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】，即为，即为，可得．所以．

根据双曲线的对称性，不妨设点P在第一象限，如图所示，

由题意设的内切圆切三边分别于G，D，E三点，则，，．

又，所以．

设，则，所以，

所以切点D为双曲线的右顶点，所以，

．

在中，由勾股定理得，

整理得，即，解得，

又因为，所以C的离心率为，故答案为：C．

【例2-3】（2022·德阳三模）设双曲线的右焦点是F，左､右顶点分别是，过作轴的垂线与双曲线交于两点，若，则该双曲线的渐近线方程为（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设双曲线的半焦距为，则，将，代入双曲线，

得，不妨取，，

又，，∴的斜率分别为：

，，

因为，故，即，即，

所以，故渐近线方程是.

故答案为：C

【一隅三反】

1．（2022·重庆市模拟）已知双曲线C：的左右焦点分别为，，点在轴上，为等边三角形，且线段的中点恰在双曲线C上，则双曲线C的离心率为（　　）

A． B．2 C． D．

【答案】C

【解析】如图所示，设 ， ，设线段 的中点为 ，则 在双曲线C的右支上，

又 为等边三角形，所以 ，所以 ，所以

连接 ，则在等边三角形 中 ，且 ，

所以 ，所以 ，即双曲线 的离心率为 .

故答案为：C.

2．（2022·保定模拟）已知F为双曲线的右焦点，A为双曲线C上一点，直线轴，与双曲线C的一条渐近线交于B，若，则C的离心率（　　）

A． B． C． D．2

【答案】B

【解析】由题意得，双曲线的渐近线方程为，

由双曲线的对称性，不妨设均为第一象限点，

当 时，得，所以，

当时，，所以，

因为，所以，所以，得，所以，

所以双曲线的离心率为，故答案为：B

3．（2022·石嘴山模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为，P为双由线C上的一点，若线段与y轴的交点M恰好是线段的中点，，其中，O为坐标原点，则双曲线C的渐近线的方程是（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设双曲线的半焦距为，则点，由题意知轴，

所以点的横坐标为，由双曲线的对称性特点不妨设点，

所以，解得，所以点，所以点的坐标为，

所以，，故，

所以，所以.所以双曲线的渐近线方程为.故答案为：B.

考点三 双曲线的标准方程

【例3-1】（2022梧州期末）设双曲线C：（，）的左焦点为F，直线过点F且与双曲线C在第二象限的交点为P，，其中O为坐标原点，则双曲线C的方程为（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设左焦点F的坐标为，由点F过直线，

所以，解得，

设右焦点为N，连接，，.

由，故三角形为直角三角形，即，

又因为直线斜率为，设直线倾斜角为，则.

又，则，，

由双曲线定义，则，

所以，

所以

所以双曲线C的方程为.

故答案为：D.

【例3-2】．（202合肥期末）已知点分别是等轴双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线上，，的面积为8，则双曲线的方程为（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】，是的中点，所以，

，则，

，解得，

所以双曲线方程为．

故答案为：D．

【一隅三反】

2．（2022·和平模拟）已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（　　）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】因为在双曲线的一条渐近线上， 故可得；

因为抛物线的准线为，故，

又；解得，

故双曲线方程为：.故答案为：D.

2．（2022宁波期末）已知双曲线与双曲线有相同的渐近线， 且它们的离心率不相同， 则下列方程中有可能为双曲线的标准方程的是（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】双曲线中，，则渐近线方程为，离心率为。

对于A，，则离心率，故A错误；

对于B，，则渐近线方程为，故B错误；

对于C，，则离心率，故C错误；

对于D，，则渐近线方程为，离心率，故D正确。

故选：D

3．（2022·湖北模拟）在平面直角坐标系中，已知圆：，点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，设点的轨迹为曲线，则曲线的方程为　         　.

【答案】

【解析】因为在线段的垂直平分线上，所以，所以，

由双曲线的定义知点的轨迹是以为焦点，为实轴长的双曲线，则，，得

，所以曲线的方程为，故答案为：

4．（2022·广州模拟）写出一个同时满足下列性质①②③的双曲线方程                　．

①中心在原点，焦点在y轴上；②一条渐近线方程为﹔③焦距大于10

【答案】（答案不唯一，写出一个即可）

【解析】由①中心在原点，焦点在y轴上知，可设双曲线方程为：

由②一条渐近线方程为知，，即

由③知，，即，

则可取（此处也可取大于的其他数）

又，，

则同时满足下列性质①②③的一个双曲线方程为：

故答案为：（答案不唯一， 写出一个即可）.

考点四 直线与双曲线的位置关系

【例4-1】（2022·全国·高三专题练习）过且与双曲线有且只有一个公共点的直线有（       ）

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

【答案】D

【解析】当斜率不存在时，过的直线与双曲线没有公共点；

当斜率存在时，设直线为，联立，得①.

当，即时，①式只有一个解；

当时，则，解得；

综上可知过且与双曲线有且只有一个公共点的直线有4条.故选：D.

【例4-2】（2022·山东）已知直线l的方程为，双曲线C的方程为.若直线l与双曲线C的右支相交于不同的两点，则实数k的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】联立整理得，因为直线与双曲线的右支交于不同的两点，所以，解得，所以实数k的取值范围为.故选：D.

【一隅三反】

1．（2022·上海）若过点的直线与双曲线:的右支相交于不同两点，则直线斜率的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意可得直线斜率存在，设直线的方程为，

设交点，联立可得，

由题意可得解得：，故选：D．

2．（2023·全国·高三专题练习（理））若在区间内随机取一个实数，则直线与双曲线的左、右两支各有一个交点的概率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】双曲线的渐近线斜率为，则，即，故所求概率为，

故选：B.

2．（2022·安徽 ）直线与双曲线没有公共点，则斜率k的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】联立直线和双曲线：，消去得，

当，即时，此时方程为，解得，此时直线与双曲线有且只有一个交点；

当，此时，

解得或，所以时直线与双曲线无交点；故选：A

考点五 弦长与中点弦

【例5】（2022云南）已知双曲线，过点的直线l与双曲线C交于M､N两点，若P为线段MN的中点，则弦长|MN|等于（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题设，直线l的斜率必存在，设过的直线MN为，联立双曲线：

设，则，所以，解得，

则，.弦长|MN|.故选：D.

【一隅三反】

1．（2022·山西）过双曲线的右焦点作倾斜角为30°的直线l，直线l与双曲线交于不同的两点A，B，则AB的长为______．

【答案】

【解析】双曲线的右焦点为，所以直线l的方程为．由，得．设，，则，，

所以．

故答案为：

2（2022·湖南岳阳·三模）已知F1，F2分别为双曲线C: 的上、下焦点，过点F2作y轴的垂线交双曲线C于P，Q两点，则△PF1Q的面积为________．

【答案】

【解析】双曲线C: 的上、下焦点.

令代入，解得：，所以.

所以，所以△PF1Q的面积为.

故答案为：

3．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的左､右焦点分别为过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则b的值是（       ）

A．2 B． C． D．

【答案】D

【解析】设、，则，，

两式相减可得，

为线段的中点，，，

，又，，

，即，，

故选：D.

4．（2022·山东烟台·三模）过双曲线：（，）的焦点且斜率不为0的直线交于A，两点，为中点，若，则的离心率为（       ）

A． B．2 C． D．

【答案】D

【解析】不妨设过双曲线的焦点且斜率不为0的直线为，令

由，整理得

则，

则，由，可得

则有，即，则双曲线的离心率

故选：D