备战高考2024年数学第一轮专题复习9.3 双曲线（精练）（提升版）（解析版）

9.3 双曲线（精练）（提升版）

1．（2022红塔月考）已知 是双曲线 的左焦点，点 ， 是双曲线右支上的动点，则 的最小值为（　　）

A．9 B．5 C．8 D．4

【答案】A

【解析】设右焦点为F'，则F'(4，0)， 依题意，有PF|=|PF'|+4，
|PF|+|PA|=|PF'|+|PA|+4≥|AF'|+4=5+4=9(当P在线段AF'上时，取等号)
故|PF|+|PA|的最小值为9.故答案为：A
2．（2022·淮南模拟）已知双曲线（，）的左、右焦点分别是、，且，若P是该双曲线右支上一点，且满足，则面积的最大值是（　　）

A． B．1 C． D．

【答案】A

【解析】因为P是该双曲线右支上一点，所以由双曲线的定义有，

又，所以，，设，

所以，

所以，

所以，当且仅当时等号成立，

所以面积的最大值是，故答案为：A.

3．（2022怀仁期中）已知 ， 是双曲线 的左右焦点，过 的直线 与曲线 的右支交于 两点，则 的周长的最小值为（　　） 

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由双曲线 可知：

的周长为 .

当 轴时， 的周长最小值为

故答案为：C

1．（2022湖南月考）已知双曲线的左焦点为，右焦点为，，为双曲线右支上一点，为坐标原点，满足，且，则该双曲线的离心率为（　　）

A． B． C．2 D．

【答案】B

【解析】∵，O为的中点，∴△为直角三角形，

设，

则，则，

∴，∴e＝.故答案为：B.

2．（2022雅安期末）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点M在双曲线C上，点I为的内心，且，，则双曲线C的离心率为（　　）

A． B．2 C．3 D．

【答案】A

【解析】依题意，，由双曲线定义知：，于是得，，

令双曲线C的半焦距为c，内切圆半径为r，因，

则有，即有，

于是得：，即，

所以双曲线C的离心率为。故答案为：A

3．（2022怀仁期末）设，分别是双曲线

的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点，使 （为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】：因为，所以，

设，则，

因为，所以可得，

因为，所以，则，

所以，

故答案为：D
3．（2022·巴中模拟）设 ， 分别为双曲线 （a>0，b>0）的左､右焦点，若双曲线上存在一点P使得 ，且 ，则该双曲线的离心率为（　　） 

A．2 B． C． D．

【答案】B

【解析】 ，即 ，①根据双曲线的定义可得 ，即 ②，①减去②得 . ，故 ，解得 或 （舍），双曲线的离心率为 。 故答案为：B.

4．（2022南开期末）已知双曲线，过原点作一条倾斜角为的直线分别交双曲线左、右两支于、两点，以线段为直径的圆过右焦点，则双曲线的离心率为（　　）.

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设双曲线的左焦点为，连接、，如下图所示：

由题意可知，点为的中点，也为的中点，且，

则四边形为矩形，故，由已知可知，

由直角三角形的性质可得，故为等边三角形，故，

所以，，

由双曲线的定义可得，所以，.

故答案为：A.

5．（2022北京）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，点在线段上，且，，则双曲线的离心率为（　　）

A． B． C．2 D．

【答案】B

【解析】根据题意，作图如下：

因为，故可得，

故可得//，且，故分别为的中点；

又，故可得既是三角形的中线又是角平分线，

故可得；又为中点，由对称性可知：垂直于轴.

故△为等边三角形，则；

令，可得，解得，故可得，

则，由双曲线定义可得：，

即，解得，则离心率为.

故选：B.

6．（2022·德州月考）已知双曲线 的左､右焦点分别为 ，曲线 上一点 到 轴的距离为 ，且 ，则双曲线 的离心率为（　　） 

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】作 轴于 ，如图，依题意 ， ，则 ，

令 ，由 得： ，

由双曲线定义知 ，而 ，

在 中，由余弦定理得： ，

解得： ，即 ，又因为离心率 ，于是有 ，

所以双曲线 的离心率为 。

故答案为：B

7．（2022·湖南模拟）已知O是坐标原点，F是双曲线的右焦点，过双曲线C的右顶点且垂直于x轴的直线与双曲线C的一条渐近线交于A点，若以F为圆心的圆经过点A，O，则双曲线C的渐近线方程为（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由已知，点的坐标为，故，

因为以F为圆心的圆经过点A，O，

所以，则△为等边三角形，

所以，则，

所以双曲线C的渐近线方程为.

故答案为：A

8．（2022·湖北模拟）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，过的直线与的左支交于、两点，且，，则的渐近线方程为（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意，得，；

根据双曲线的定义，，

所以，．

在直角三角形中，，即，

解得；

在直角三角形中，，即，

即，解得，所以的渐近线方程为.

故答案为：C．

1．（2022·东北模拟）我们常说函数的图象是双曲线，建立适当的平面直角坐标系，可求得这个双曲线的标准方程为．函数的图象也是双曲线，在适当的平面直角坐标系中，它的标准方程可能是（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】对函数，其定义域为，定义域关于原点对称，

用替换方程不变，故其图象关于原点对称；

又当，且趋近于时，趋近于正无穷；当趋近于正无穷时，趋近于，

此时的图象与无限靠近；

故的两条渐近线为轴与，做出其图象如下所示：

为使其双曲线的方程为标准方程，故应建立的坐标轴必须平分两条渐近线的夹角，

又，其斜率为，此时其在原坐标系中其倾斜角为，与轴夹角为，

故新坐标系中，轴与轴的夹角应为60º，

故轴所在直线在原坐标系中的方程为，轴与其垂直，

在如图所示的新坐标系中，设双曲线的方程为，

联立可得，则，

又在新坐标系下，双曲线的渐近线与的夹角为，

故，即，故在新坐标系下双曲线方程为.

故答案为：A.

2．（2022·湘赣皖模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线C上一点P到x轴的距离为c，且，则双曲线C的离心率为（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】作轴于M，依题意，，

则，则为等腰直角三角形

令 ，则，由双曲线定义知．

而，在中，，

解得：，双曲线离心率，则．故答案为：C．

3．（2022·南昌模拟）已知中心在原点的双曲线的离心率为2，右顶点为，过的左焦点作轴的垂线，且与交于，两点，若的面积为9，则的标准方程为　         　.

【答案】

【解析】设双曲线标准方程为

令，则，得，所以，

易知，所以…①，

又…②，…③，联立①②③求解得，所以双曲线方程为。

故答案为：。

4．（2022成都期末）已知焦点在轴上的双曲线，其渐近线方程为，焦距为，则该双曲线的标准方程为　         　．

【答案】

【解析】由题设，可知：，，

∴由，可得，，又焦点在轴上，

∴双曲线的标准方程为.

故答案为：.

5．（2021成都期末）已知焦点在 轴上的双曲线，其渐近线方程为 ，半焦距 ，则双曲线的标准方程为　         　．

【答案】

【解析】由题可设双曲线方程为，

由渐近线方程可得，，

又因为，即，解得，则，

所以双曲线的标准方程为。

故答案为：。

6．（2022太原期末）求适合下列条件的双曲线的标准方程：

（1）焦点在x轴上，实轴长为2，其离心率；

（2）渐近线方程为，经过点．

（3）双曲线E： 离心率为 ，且点 在双曲线 上，求 的方程； 

（4）双曲线 实轴长为2，且双曲线 与椭圆 的焦点相同，求双曲线 的标准方程． 

【答案】（1）（2）（3）（4）

【解析】（1）解：设双曲线的标准方程为：，由题知：

，双曲线方程为：.

（2）解：设双曲线方程为：，

将代入，解得，

所以双曲线方程为：.

（3）由 ，得 ，即 ， 

又 ，即 ，

双曲线 的方程即为 ，点 坐标代入得 ，解得 ．

所以，双曲线 的方程为 ．

（4）椭圆 的焦点为 ， 

设双曲线 的方程为 ，

所以 ，且 ，

所以 ，

所以，双曲线 的方程为 ．

7．（2021包头期末）已知双曲线的两个焦点分别为，，且过点.

（1）求双曲线C的虚轴长；

（2）求与双曲线C有相同渐近线，且过点的双曲线的标准方程.

【答案】见解析

【解析】（1）由题意，易知，，且.

在中，

由双曲线的定义可知，，，即.

∵双曲线C的两个焦点分别为，，∴.

又∵，∴

故双曲线C的虚轴长为

（2）解：由（1）知双曲线C的方程为.

设与双曲线C有相同渐近线的双曲线的方程为

将点的坐标代入上述方程，得

故所求双曲线的标准方程为

1．（2022·广东）（多选）下列曲线中与直线有交点的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【解析】对于A,直线和的斜率都是﹣2，所以两直线平行，不可能有交点．

对于B,由，得，，所以直线与B中的曲线有交点．

对于C,由，得，，所以直线与C中的曲线有交点．

对于D,由，得，，所以直线与D中的曲线有交点．

故选：BCD

2．（2022·全国·高二课时练习）直线与双曲线上支的交点个数为______．

【答案】2

【解析】由，可得，解得或．当时，；当时，，所以直线与双曲线上支的交点个数为2．故答案为：2

3．（2022·全国·高二课时练习）直线与双曲线的交点坐标为______．

【答案】，

【解析】由，消得即，解得或

代入直线得或，所以直线与双曲线的交点坐标为，，

故答案为：，

4．（2022·全国·高三专题练习）直线与双曲线没有交点，则的取值范围为_____.

【答案】

【解析】由题意，双曲线的渐近线方程为：，

因为直线过原点且与双曲线没有交点，

故需满足，

故答案为：

5．（2022·全国·专题练习）双曲线与直线交点的个数为_____.

【答案】1

【解析】联立方程可得，消可得，

即，故，

故方程组有且只有一组解，

故双曲线与直线有且只有一个交点.

故答案为：1

6．（2022·四川内江·模拟预测（文））若双曲线上存在两个点关于直线：对称，则实数的取值范围为______．

【答案】或

【解析】设双曲线存在关于直线对称的两点为，，

根据对称性可知线段被直线垂直平分，

且的中点在直线上，且，

故可设直线的方程为，

联立方程，整理可得，

∴，，

由，可得或，

∴，，

∵的中点在直线上，

∴，可得，或.

故答案为：或.

7．（2022·四川·仁寿一中 ）若直线与双曲线始终只有一个公共点，则取值范围是_____________.

【答案】

【解析】由，消可得，当或，解得或，

故答案为：

8．（2022·上海市虹口高级中学 ）直线与曲线的交点个数是______.

【答案】2

【解析】当时，将代入，

整理得，解得，（舍去），

当时，将代入，

整理得，解得，（舍去），

综上，直线与曲线的交点个数是2个.

故答案为：2

9．（2022·全国·高三专题练习）已知直线与双曲线有且只有一个公共点，则C的离心率等于________．

【答案】

【解析】双曲线的渐近线方程为，，

因为直线与双曲线有且只有一个公共点，

所以直线与渐近线平行，

所以，

所以，

所以双曲线的离心率为，

故答案为：

10．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））设直线l：与双曲线C：相交于不同的两点A，B，则k的取值范围为___________.

【答案】

【解析】联立消去y：，，

得到，又直线不与渐近线平行，

所以.

故答案为：.

1．（2022·四川·射洪中学）直线l交双曲线于A，B两点，且为AB的中点，则l的斜率为（       ）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】C

【解析】设点，，因为AB的中点，则有，

又点A，B在双曲线上，则，即，

则l的斜率，此时，直线l的方程：，

由消去y并整理得：，，即直线l与双曲线交于两点，所以l的斜率为2.故选：C

2．（2022·河南）已知双曲线的离心率为，直线与交于两点，为线段的中点，为坐标原点，则与的斜率的乘积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设，，，则，两式作差，并化简得，

，所以，

因为为线段的中点，即所以，即，由，得.

故选：B.

3．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C的中心在坐标原点，其中一个焦点为，过F的直线l与双曲线C交于A、B两点，且AB的中点为，则C的离心率为(       )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由F、N两点的坐标得直线l的斜率．

∵双曲线一个焦点为(-2，0)，∴c=2．

设双曲线C的方程为，则．

设，，则，，．

由，得，

即，∴，易得，，，

∴双曲线C的离心率．

故选：B．

4．（2022·重庆十八中两江实验中学高三阶段练习）（多选）已知双曲线的一条渐近线方程为，过点作直线交该双曲线于和两点，则下列结论中正确的有（       ）

A．该双曲线的焦点在哪个轴不能确定

B．该双曲线的离心率为

C．若和在双曲线的同一支上，则

D．若和分别在双曲线的两支上，则

【答案】BC

【解析】对于A选项，若双曲线的焦点在轴上，则，可得，

且有，解得，则双曲线的方程为，其焦点在轴上；

若双曲线的焦点在轴上，则双曲线的标准方程为，

则，可得，且有，无解，A错；

对于B选项，，，，

所以，双曲线的离心率为，B对；

对于CD选项，当直线不与轴重合时，设直线的方程为，设点、，

联立可得，

则，解得，

由韦达定理可得，，

，

，

.

若和在双曲线的同一支上，则，可得，

则，C对；

若和分别在双曲线的两支上且直线不与轴重合时，

，可得，则，

若直线与轴重合，则、分别为双曲线的两个顶点，则，

故当和分别在双曲线的两支上时，，D错.

故选：BC.

5．（2022·全国·专题练习）双曲线：被斜率为的直线截得的弦的中点为则双曲线的离心率为 ______.

【答案】

【解析】设，则，

将两点坐标代入双曲线方程得：；

将上述两式相减可得：

即，也即

所以，即

故答案为：

6．（2022·四川内江 ）若双曲线上存在两个点关于直线对称，则实数的取值范围为______.

【答案】

【解析】依题意，双曲线上两点，，，，

若点A、B关于直线对称，则

设直线的方程是，代入双曲线方程化简得：

，

则，且，解得，且

又，设的中点是，，

所以，．

因为的中点在直线上，

所以，所以，又

所以，即，所以

所以，整理得，

所以或，

实数的取值范围为：

故答案为：.