备战高考2024年数学第一轮专题复习9.5 三定问题及最值（精讲）（提升版）（原卷版）

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9.5 三定问题及最值（精讲）（提升版）
考点一 定点【例1】（2022·河南模拟）已知椭圆的离心率为，C的四个顶点围成的四边形面积为．（1）求C的方程；（2）已知点，若不过点Q的动直线l与C交于A，B两点，且，证明：l过定点．【答案】（1） （2）【解析】（1）解：由离心率为，得，①C的四个顶点围成的四边形面积为．②由①②可得，，C的方程为．（2）解：由，得．因为Q不在l上，所以，都不是零向量，故，由题意可知l的斜率一定存在．设l的方程为，，．联立方程组得，消去y并整理得，由，得．所以，．
因为，即，整理得，因为，所以．当时，满足，此时直线l的方程为，所以直线l过定点．【一隅三反】1．（2022·河南模拟）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为，，上下顶点分别为，，四边形的面积为．（1）求椭圆的标准方程；（2）不过点的直线l交椭圆于P，Q两点，直线和直线的斜率之和为2，证明：直线l恒过定点．【答案】（1）  （2）【解析】（1）解：由题意可得，，即，又，解得，，，则椭圆的方程为；（2）证明：由（1）可得，①当直线的斜率存在时，设，，，由，所以，
又，代入整理得，由消去整理得，所以，，所以，整理得，当时，直线过，不符合题意，所以，即，故直线的方程为，符合题意，故恒过点；②当直线的斜率不存在时，设，，由，解得，即直线的方程为，必过定点，综上可得，直线恒过定点；2．（2022·南开模拟）已知焦点在x轴上，中心在原点，离心率为的椭圆经过点，动点A，B（不与点M重合）均在椭圆上，且直线与的斜率之和为1．（1）求椭圆的方程；（2）证明直线经过定点，并求这个定点的坐标．【答案】（1）  （2）【解析】（1）解：设椭圆，
由离心率为，得，又因为，所以．由在椭圆上可得，解得，．所以椭圆的方程为（2）证明：当直线与x轴垂直时，设，则．由题意得：，即．所以直线的方程为．当直线不与x轴垂直时，可设直线为，，，将代入得，所以，．由已知可得①，将和代入①，并整理得②，将，代入②，并整理得，可得，因为直线不经过点，所以，故．所以直线的方程为，经过定点．
综上所述，直线经过定点．考点二 定值【例2】（2022·柳州模拟）已知平面上动点Q（x，y）到F（0，1）的距离比Q（x，y）到直线 的距离小1，记动点Q（x，y）的轨迹为曲线C．  （1）求曲线C的方程．（2）设点P的坐标为（0，－1），过点P作曲线C的切线，切点为A，若过点P的直线m与曲线C交于M，N两点，证明： ．  【答案】（1）  （2）见解析【解析】（1）解：Q（x，y），由题意，得 ，  化简得 ，所以Q的轨迹方程C为 法二：定义法依题意Q（x，y）到F（0，1）的距离与Q（x，y）到直线y＝－1的距离相等，由抛物线定义知Q的轨迹方程C为以F（0，1）为焦点以 为准线的抛物线所以Q的轨迹方程C为 （2）证明：不妨设 ，因为 ，所以 ，  从而直线PA的斜率为 ，解得 ，即A（2，1），又F（0，1），所以 轴．要使 ，只需 设直线m的方程为 ，代入 并整理，得 ．首先， ，解得 或 ．其次，设M（ ， ），N（ ， ），则 故存在直线m，使得 ，
此时直线m的斜率的取值范围为 【一隅三反】1．（2022·泰安模拟）已知椭圆 （a＞b＞0）的离心率 ，四个顶点组成的菱形面积为 ，O为坐标原点．  （1）求椭圆E的方程；（2）过 上任意点P做 的切线l与椭圆E交于点M，N，求证 为定值．  【答案】（1）   （2）【解析】（1）解：由题意得 ， ， 可得 ，b＝2，所以椭圆的标准方程为 ．（2）证明：当切线l的斜率不存在时，其方程为 ，  当 时，将 代入椭圆方程 得 ，∴ ， ， ，∴当 时，同理可得 ，当切线l的斜率存在时，设l的方程为 ， ， ，
因为l与 相切，所以 ，所以 由 ，得 ，∴ ， ，∴ ，∴ 或 ∴∴综上， 为定值 ．2．（2022高三上·广州月考）已知双曲线，经过双曲线上的点作互相垂直的直线AM、AN分别交双曲线于M、N两点．设线段AM、AN的中点分别为B、C，直线OB、OC（O为坐标原点）的斜率都存在且它们的乘积为．（1）求双曲线的方程；  （2）过点A作（D为垂足），请问：是否存在定点E，使得为定值？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．  【答案】见解析【解析】（1）解：设、，线段AM、AN的中点分别为、，  由已知，得；，
两式相减，得，即①根据中点坐标及斜率公式，得，，，．代入①，得②    同理，得③，②③相乘，得．∵，，∴④由，与④联立，得，，双曲线的方程为：.（2）解：①当时，设，，，，由AM、AN互相垂直，得， 由解得（此时无实数解，故舍去），或（此时M、N至少一个点与A重合，与条件不符，故舍去）．综上，此时无符合条件的解．②当不成立时，设直线，、，代入得，， 且，，（*）∵∴（*）代入，得即，或．
当时，过点，与条件不符，舍去．∴，，过定点，∴AP中点，由于（D为垂足），故．综上所述，存在定点，使得为定值．考点三 最值【例3】（2022高三上·湖北开学考）抛物线的焦点为，准线为A为C上的一点，已知以为圆心，为半径的圆交于两点，（1）若的面积为，求的值及圆的方程（2）若直线与抛物线C交于P，Q两点，且，准线与y轴交于点S，点S关于直线PQ的对称点为T，求|的取值范围.【答案】见解析【解析】（1）解：由对称性可知：，设，由焦半径可得：，，解得：圆的方程为：（2）解：由题意得：直线的斜率一定存在，其中，设关于直线
的对称点为，则，解得：，联立与得：，设，则，则，则，解得：（此时O与P或Q重合，舍去）或，所以，【一隅三反】1．（2022·浙江）如图，已知椭圆 ．设A，B是椭圆上异于 的两点，且点 在线段 上，直线 分别交直线 于C，D两点． （Ⅰ）求点P到椭圆上点的距离的最大值；（Ⅱ）求 的最小值．【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）设 是椭圆上一点， ，则 故|PQ|的最大值是 .（Ⅱ）设直线 ，直线与椭圆联立，得 ，
设 ，故 ，与 交于C，则 ，同理可得， .则 等号在 时取到.2．（2022·鹤壁模拟）已知椭圆的离心率为，短轴长为2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）在圆上取一动点P作椭圆C的两条切线，切点分别记为M，N，（与PN的斜率均存在），求△OMN面积的取值范围．【答案】见解析
【解析】（1）解：由题意得，，∴， 又∵，∴，则椭圆C的标准方程为；（2）解：设，，，，再设， 联立，得，由，得，此方程的判别式则，，即，同理，设 ，，在直线，上，即，，直线的方程为，与椭圆方程联立，可得，，，当时，且，，到的距离，，
令，则，则 ，结合对勾函数的性质可知，在递减，在时递增，故，而 ，故，；当时 ，，故方程为：，，则，∴综上所述，．3．（2022·浙江模拟）如图，已知抛物线和点，点P到抛物线C的准线的距离为6．（1）求抛物线C的标准方程；（2）过点P作直线交抛物线C于A，B两点，M为线段的中点，点Q为抛物线C上的一点且始终满足，过点Q作直线交抛物线C于另一点D，N为线段的中点，F为抛物线C的焦点，记的面积为，的面积为，求的最小值．
【答案】见解析【解析】（1）解：由题知，解得，所以抛物线C的标准方程为（2）解：当不经过点Q时，等价于，即．因为分别交C于A，B两点，所以不平行于x轴，设，，，，联立与C方程，得，且，由韦达定理，得，，又，同理，所以，所以，代入整理得，要使该式恒成立，则，解得，又经检验，当经过点Q时，仍然成立，所以存在定点使得；因为分别交C于A，B两点，
所以不平行于x轴，且，又因为，设，，联立与C方程，得，且，所以；因为N为中点，所以，且，所以，所以，当时取到等号，所以折线围成面积的最小值为2，即最小值为2．