备战高考2024年数学第一轮专题复习7.1 空间几何中的平行与垂直（精讲）（提升版）（解析版）

这是一份备战高考2024年数学第一轮专题复习7.1 空间几何中的平行与垂直（精讲）（提升版）（解析版），共27页。试卷主要包含了平行问题，空间几何中的垂直问题，空间几何中的定理辨析等内容，欢迎下载使用。
7.1 空间几何中的平行与垂直（精讲）（提升版）
 
考点一 平行问题【例1-1】（2022·广东珠海）如图，在三棱柱中，点是的中点，求证：平面【答案】证明见解析；【解析】连接交于，连接，由为三棱柱，则为平行四边形，所以是中点，又是的中点，故在△中，面，面，所以平面.
【例1-2】（2022·河南·商丘市第一高级中学）在直三棱柱中，E，F分别是，的中点，求证：平面【答案】证明见解析【解析】证明：在直三棱柱中，E，F分别是，的中点，取的中点，连接，，如图，则且，又且，所以且，所以四边形是平行四边形，所以．因为平面，平面，所以平面；
【例1-3】（2022·云南·弥勒市一中）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，，且．点在棱上，点为中点，证明：若，则直线平面【答案】证明见解析【解析】在上取一点，使得，连接，，，又平面，平面，平面；，，，，，四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面；，平面，平面平面，平面，平面.
【例1-4】（2022·辽宁葫芦岛）如图，在四面体中，，，点是的中点，，且直线面，直线直线【答案】证明见解析【解析】直线平面，，平面平面，．【例1-5】（2022·甘肃酒泉）如图，在四棱锥中，是边长为2的正三角形，，，，，，分别是线段，的中点，求证：平面【答案】证明见解析【解析】如图，取中点，连，，∵为中位线，∴，又平面，平面，∴平面，同理，在梯形中，，又平面，平面，∴平面，且平面，平面，，∴平面平面，又平面，所以平面．
【例1-6】（2022·山西临汾）如图（1），在梯形中，且，线段上有一点E，满足，，现将，分别沿，折起，使，，得到如图（2）所示的几何体，求证：【答案】证明见解析【解析】证明：在中，，所以，，在中，，，，由余弦定理得，所以，所以，同理可得，在中，，且，在中，，所以，因为，，平面，所以平面，在中，，在中，，则，因为，所以平面，所以；
【一隅三反】1．（2022·山东滨州）如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，点E是PB的中点，求证：平面EAC【答案】证明见解析【解析】证明：连结BD交AC于点O，连接EO.显然，O为BD的中点，又因为E为PB的中点，所以.又因为面EAC，面EAC，所以平面EAC；2．（2022·辽宁营口）如图，三棱柱中，E为中点，F为中点，求证：平面【答案】证明见解析【解析】证明：取BC中点为D,连接ED,AD, 因为E为中点,故 ,又 ,F为中点,故 ,所以四边形EDAF为平行四边形，故 ,因为平面，平面,故平面；
3（2022·江苏宿迁）如图，三棱柱中，，，点，分别在和上，且满足，，证明：平面【答案】见解析【解析】过点作，交于点，连接，由题意得，故，，而平面，平面，平面，同理得平面，而，平面平面，平面4．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，四棱锥的底面是直角梯形，
，底面，过的平面交于，交于（与不重合）.求证：；【答案】证明见解析【解析】证明：在梯形中，，平面，平面，平面.又平面，平面平面，所以. 5．（2022·江苏省镇江第一中学）如图，三棱柱中M，N，P，D分别为，BC，，的中点，求证：面
【答案】证明见解析【解析】∵P，D分别为，的中点，∴，且平面，平面，∴平面，∵D，N分别为，BC的中点，∴，且平面，平面，∴平面，又，∴平面平面，又∵平面PDN，∴平面.6.（2022·新疆·三模（文））多面体ABDEC中，△BCD与△ABC均为边长为2的等边三角形，△CDE为腰长为的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD，F为BC的中点，求证：平面ECD【答案】证明见解析【解析】证明：取CD的中点G，连接EG∵△CDE为腰长为的等腰三角形，∴又∵平面CDE⊥平面BCD，平面ECD，平面平面,∴EG⊥平面BCD，同理可得，AF⊥平面BCD∴又∵平面ECD，平面CDE，∴平面CDE
考点二 空间几何中的垂直问题【例2-1】（2022·云南师大附中高三阶段练习）如图，是边长为的等边三角形，E，F分别是的中点，G是的重心，将沿折起，使点A到达点P的位置，点P在平面的射影为点G．证明：【答案】证明见解析；【解析】连接，因是等边三角形，是的中点，是的重心，所以在上，，又点在平面的射影为点，即平面，平面，所以，又，所以平面，又平面，所以.  【例2-2】（2022·湖北·鄂州市教学研究室）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，平面ABCD⊥平面PAB，E，F分别是线段AD，PB的中点，.证明：
(1)平面PDC；(2)PB⊥平面DEF.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】(1)取PC的中点M，连接DM，MF.∵M，F分别是PC，PB的中点，∴，.∵E为DA的中点，四边形ABCD为正方形，∴，，∴，，∴四边形DEFM为平行四边形.∴，∵平面PDC，平面PDC.∴平面PDC.(2)∵ 四边形ABCD为正方形，∴.又平面ABCD⊥平面PAB，平面平面，平面ABCD，
∴ AD⊥平面PAB.∵平面PAB，∴.连接AF，∵，F为PB中点，∴.又，AD，平面DEF，∴ PB⊥平面DEF.【例2-3】（2022·四川成都）如图，三棱锥中，等边三角形的重心为O，，，，E，F，M分别是棱BC，BP，AP的中点，D是线段AM的中点.(1)求证：平面DEF；(2)求证：平面平面PBC.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】(1)连接PE，因为为等边三角形，且O为重心，所以P、O、E三点共线，且，因为M为PA中点，D是线段AM的中点，所以，所以，所以，因为平面DEF，平面DEF，所以平面DEF(2)连接AE、BD，如图所示
因为为等边三角形，E为BC中点，所以，因为，，E为BC中点，所以，因为平面PAE，所以平面PAE，因为平面PAE，所以，在中，，，，所以，即，所以，在中，，由余弦定理得，在中，，，所以，在中，，，所以，即，因为平面PBC，所以平面PBC，
因为平面DEF，所以平面平面PBC【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形，且平面底面，，＝＝，证明： 【答案】证明见解析【解析】证明：取的中点，连，，∵为等边三角形，且是边的中点，∴，∵平面底面，且它们的交线为，∴平面，则，∵，且∴平面，∴；2．（2022·北京丰台）如图，在直角梯形中，，，，并将直角梯形绕AB边旋转至ABEF． (1)求证：直线平面ADF；(2)求证：直线平面ADF；
(3)当平面平面ABEF时，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使平面ADE与平面BCE垂直．并证明你的结论．条件①：；条件②：；条件③：．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)答案见解析【解析】(1)证明：在直角梯形中，，，将直角梯形绕边旋转至，所以，又，平面，所以平面；(2)证明：依题意可得且，所以四边形为平行四边形，所以，平面，平面，所以平面；(3)证明：因为平面平面，，平面平面，平面，所以平面，平面，所以，过点作，交于点，若选①，，，所以，所以，此时，所以 
如图过点作交的延长线于点，因为平面，平面，所以，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，显然平面与平面不垂直；若选②：，则，所以，，所以，即，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；若选③：，又，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；3．（2022·四川宜宾）如图，正方形ABED的边长为1，AC＝BC，平面ABED⊥平面ABC，直线CE与平面ABC所成角的正切值为．
(1)若G，F分别是EC，BD的中点，求证：平面ABC；(2)求证：平面BCD⊥平面ACD．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】（1）如图，连接AE，因F是正方形ABED对角线BD的中点，则F是AE的中点，而G是CE的中点，则，又平面，平面，所以平面.（2）在正方形中，，因平面ABED⊥平面ABC，平面平面，平面，则平面，即是与平面所成的角，有，解得，即有，则，即，而，则有平面，又平面，于是得，因，平面，则平面，平面，所以平面平面.考点三 空间几何中的定理辨析【例3-1】（2022·全国·长垣市第一中学高三开学考试（理））设表示两条不同的直线，表示平面，且，则“”是“”成立的（       ）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面.所以由“”可得“”，充分性成立；反之亦成立.所以“”是“”成立的充要条件.故选：A【例3-2】（2022·湖北武汉·高三开学考试）（多选）如图，已知正方体，分别是，的中点，则下列结论正确的是（       ）
A． B． C．平面 D．平面【答案】AC【解析】连接，如图：由正方体可知，因为平面，平面，所以，又，，，平面，所以平面，又平面，所以，故A 正确，B错误；由题意知为的中位线，所以，又,所以又平面，平面，所以平面，故C正确；若平面，BD1在平面BDD1B1中，则，进而，在中易知与不垂直，故D错误；故选：AC
【一隅三反】1．（2022·上海·高三专题练习）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法错误的是（       ）A．若，，，则 B．若，，，则C．若，，，则 D．若，，，则【答案】C【解析】对于A，因，，当时，而，则，当时，在直线上取点，过作直线，则，过直线的平面，如图，由得，于是得，而，则，而，所以，A正确；对于B，若，，则，又，则存在过直线的平面，使得，则有直线，即有，所以，B正确；对于C，如图，在长方体中，平面为平面，直线为直线，平面为平面，直线为直线，满足，，，而，C不正确；对于D，若，，则，又，于是得，D正确.故选：C2．（2022·全国·模拟预测（理））已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列结论一定成立的是（       ）A．若m⊥n，m⊥α，则n∥α B．若m∥α，α∥β，则m∥β
C．若m⊥α，α⊥β，则m∥β D．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β【答案】D【解析】A选项，m⊥n，m⊥α，则可能，故A错误；B选项，，，则可能，故B错误；C选项，，，则可能，也可能，故C错误；D选项，因为，，所以或，当时，因为，所以由面面垂直的判定定理知，当时，存在且，所以，所以可得，故D正确.故选：D.3．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱柱中，，，，，M，N分别是棱和的中点，则下列说法中不正确的是（       ）A．四点共面 B．与共面C．平面 D．平面【答案】B【解析】连接MN，则因为，M，N分别是棱和的中点，所以，因为，且，所以四边形是平行四边形，所以，所以，所以四点共面，A说法正确；
 因为，，，所以平面，C正确；连接，因为，，所以是等边三角形，所以，因为平面，平面，所以，因为，所以平面，D说法正确；若与共面，则共面，故在平面中，这与题设矛盾，B说法错误故选：B