2023菏泽鄄城县一中高三第三次模拟数学试题含解析

2023届高三信息押题卷（三）

数学试题

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上.

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

考试时间为120分钟，满分150分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，集合满足，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】首先解一元二次不等式求出集合，根据指数函数的性质求出集合，再根据补集、交集的定义计算可得.

【详解】由不等式，可化为，解得或，

即集合或，所以，

又，所以.
故选：D

2. 已知为虚数单位，且复数满足，则（    ）

A. 1 B. 2 C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据复数的除法、乘方运算求出，再根据共轭复数的概念和模长公式可求出结果.

【详解】因为，所以，

所以，

所以，

所以.

故选：D

3. 2023年春节在北京工作的五个家庭，开车搭伴一起回老家过年，若五辆车分别为，五辆车随机排成一排，则车与车相邻，车与车不相邻的排法有（    ）

A. 36种 B. 42种 C. 48种 D. 60种

【答案】A

【解析】

【分析】利用捆绑法和插空法可求出结果.

【详解】将车与车捆在一起当一个元素使用，有种捆法，

将除车外的个元素全排，有种排法，

将车插入，不与车相邻，又种插法，

故共有种排法.

故选：A

4. 已知函数在上为奇函数，则不等式的解集满足（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据函数的奇偶性求出参数、、的值，从而得到函数解析式与定义域，再判断函数的单调性，结合单调性与奇偶性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.

【详解】因为函数在上为奇函数,

所以，解得，又，

即，

所以，解得，解得，

所以，，

由与在定义域上单调递增，所以在定义域上单调递增，

则不等式，即，等价于，

所以，解得，即不等式的解集为.

故选：C

5. 已知向量，且满足，则向量在向量上的投影向量为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据求出，再根据投影向量公式可求出结果.

【详解】因为，所以，得，

所以，，

所以向量在向量上的投影向量为.

故选：C

6. 已知数列的前项和为，若满足，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】将化为，再构造等比数列，利用等比数列的通项公式可求出结果.

【详解】当时，，，得，

当时，，，，

，又，

所以是首项为，公比为的等比数列，

所以，.

故选：C

7. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，该双曲线过点，则该双曲线的右焦点到渐近线的距离为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据渐近线的倾斜角求出，再根据双曲线过点求出，再根据点到直线的距离公式可求出结果.

【详解】因为一条渐近线的倾斜角为，所以斜率为，所以，该渐近线为，即，

因为该双曲线过点，所以，

将代入得，得，，，，

所以，右焦点到渐近线的距离为.

故选：D

8. 已知函数，若，不等式恒成立，则正实数的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】分析出函数为奇函数，利用导数分析可知函数在上为增函数，由可得出，令，求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围.

【详解】因为，其中，则，且不恒为零，

所以，函数在上为增函数，

又因为，故函数为奇函数，

由可得，

所以，，所以，，

令，因为，当且仅当时，等号成立，

所以，.

故选：B.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知点，动点满足，则下面结论正确的为（    ）

A. 点的轨迹方程为 B. 点到原点的距离的最大值为5

C. 面积的最大值为4 D. 的最大值为18

【答案】ABD

【解析】

【分析】设动点，根据两点之间的距离公式结合条件化简即可判断A选项，再由圆外一点到圆上一点的距离范围判断B和C选项，利用向量的数量积公式和代入消元法即可判断D选项.

【详解】设动点，则由得：，

即，

化简得：，即，所以A选项正确；

所以点轨迹是圆心为，半径为的圆，

则点到原点的距离最大值为，所以B选项正确；

又，和点轨迹的圆心都在轴上，且，

所以当圆的半径垂直于轴时，面积取得最大值，所以C选项错误；

又，

因为（），

所以（），

则，所以D选项正确；

故选：ABD.

10. 已知在四棱雉中，底面为梯形，且的交点为，在上取一点，使得平面，四棱雉的体积为，三棱锥的体积为，则下面结论正确的为（    ）

A.  B.

C   D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据三角形相似得，根据线面平行的性质定理得，，得A正确；B正确；根据棱锥的体积公式得，C不正确；，D正确.

【详解】因为，所以与相似，所以，

因为平面，平面，平面平面，

所以，所以，故A正确；B正确；

因为，，所以，

所以，故C不正确；

因为，所以，因为，所以，

所以，故D正确

故选：ABD

11. 已知多项式，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】AD

【解析】

【分析】根据通项公式和求出，进而得，故A正确；令和可得B不正确；根据通项公式求出可得C不正确；两边对求导后，令可得D正确.

【详解】因为，

展开式的通项公式为，

，得，

，所以，故A正确；

令得，令，得，

所以，故B不正确；

，故C不正确；

由两边对求导得，

，

令，得，

所以，故D正确.

故选：AD

12. 已知函数，把函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若时，方程有实根，则实数的取值可以为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】CD

【解析】

【分析】利用三角恒等变换化简函数解析式，利用三角函数图象变换可得出函数的解析式，由可得出，求出函数在上的值域，即可得出实数的不等式，解之即可.

【详解】因为

，

将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，

则，

当时，，则，

由得，可得，所以，，解得，

故选：CD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知某学校高三数学期末考试成绩服从正态分布，已知成绩落在概率为0.4，数学考试满分150分，该学校高三有学生800人，则考试成绩140分以上的学生大约有________人．

【答案】

【解析】

【分析】根据正态分布的对称性求出考试成绩140分以上的概率，再乘以即可得解.

【详解】设学生成绩为，则，则，

因为，所以，

所以，

则考试成绩140分以上的学生大约有（人）.

故答案为：.

14. 已知函数且过定点，且定点在直线上，则的最小值为________．

【答案】

【解析】

【分析】根据对数函数的性质得，代入直线方程得，再根据基本不等式可求出结果.

【详解】令，即，得，故，

由在直线上，得，即，

因为且，，所以且，，

所以.

当且仅当，即，即，时，等号成立.

故的最小值为.

故答案为：

15. 已知抛物线的焦点为，过作抛物线的切线，切点为，，则抛物线上的动点到直线的距离与到轴的距离之和的最小值为________．

【答案】

【解析】

【分析】不妨设，根据焦半径公式求出，从而求出，再利用导数的几何意义求出切线的斜率，即可求出，从而求出抛物线方程，再求出焦点到直线的距离，即可得解.

【详解】根据抛物线的对称性，不妨设，由抛物线定义知，，，，或（舍去），

当时，，，，

解得或（舍去），抛物线的方程为，焦点，准线方程为，

焦点到直线的距离，

抛物线上的动点到直线的距离与到轴的距离之和的最小值为．

故答案为：

16. 已知奇函数是定义在上的可导函数，其导函数为，当时，有，则的解集为________．

【答案】

【解析】

【分析】当时，由，得，故在上为增函数，再根据奇偶性得在上为增函数，将不等式化为，利用单调性可求出结果.

【详解】当时，因为，所以，

所以，所以在上为增函数，

因为是定义在上的奇函数，所以，

所以，且的定义域为，关于原点对称，

所以也是定义在上的奇函数，且，

又因为在上为增函数，所以在上为增函数，

由，得，

所以，因为在上为增函数，

所以，即.

所以的解集为.

故答案为：

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知数列的前项和为，且满足，数列是首项为1，公差为2的等差数列．

（1）分别求出数列的通项公式；

（2）设数列，求出数列的前项和．

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）当时，根据，利用两式相减得，由等比数列的通项公式可求出；根据等差数列的通项公式可求出；

（2）根据错位相减法可求出结果.

【小问1详解】

当时，，得，

当时，，所以，

所以，即，因为，

所以，所以是首项为，公比为的等比数列，

所以.

因为数列是首项为1，公差为2的等差数列，

所以，则，

【小问2详解】

由（1）知，，，

所以，

所以，

，

所以，

所以，

化简得.

18. 已知在中，内角，，所对的边分别为，，，．

（1）若，求出的值；

（2）若为锐角三角形，，求边长的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由立方差公式及余弦定理求出，由将弦化切，利用两角和的正弦公式求出，从而求出，最后根据两角差的余弦公式计算可得；

（2）由正弦定理得到，再转化为角的三角函数，结合正切函数的性质求出的取值范围.

【小问1详解】

因为由正弦定理可得，

即，因为，所以，

所以，因为，所以，

由，所以，

所以，所以，

即，所以，所以，

因为，所以，

所以

.

【小问2详解】

因为为锐角三角形，且，所以，

所以，解得，

又，由正弦定理，

所以

，

因为，所以，所以，所以，

即边长的取值范围为.

19. 南水北调中线工程建成以来，通过生态补水和减少地下水开采，华北地下水位有了较大的回升，水质有了较大的改善，为了研究地下水位的回升情况，对2015年-2021年河北平原地区地下水埋深进行统计，所得数据如下表：

根据散点图知，该地区地下水位埋深与年份（2015年作为第1年）可以用直线拟合．

（1）根据所给数据求线性回归方程，并利用该回归方程预测2023年河北平原地区地下水位埋深；

（2）从2016年至2021年这6年中任取3年，该地区这3年中每一年地下水位与该地区上一年地下水位相比回升超过0.5米的年份数为，求的分布列与数学期望．

附相关表数据：．

参考公式：，其中．

【答案】（1），米   

（2）分布列见解析，

【解析】

【分析】（1）根据最小二乘法求出和可得线性回归方程，再代入可得结果；

（2）根据超几何分布的概率公式和期望公式可求出结果.

【小问1详解】

，，，

，

所以，，

所以所求线性回归方程为.

当时，米.

所以预测2023年河北平原地区地下水位埋深为米.

【小问2详解】

因为，，

，，

，，

所以从2016年至2021年这6年中，每一年地下水位与该地区上一年地下水位相比回升超过0.5米的年份有，共个年份，

的所有可能取值为，

，，，

所以的分布列为：

.

20. 已知在直三棱柱中，其中为的中点，点是上靠近的四等分点，与底面所成角的余弦值为．

（1）求证：平面平面；

（2）在线段上是否存在一点，使得平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）证明见解析   

（2）存在，点是线段上靠近的三等分点

【解析】

【分析】（1）根据与底面所成角的余弦值为，推出是边长为的等边三角形，取的中点，的中点，连，再以为原点，的方向为轴建立空间直角坐标系：利用两个平面的法向量垂直可证两个平面垂直；

（2）根据二面角的向量公式可求出结果.

【小问1详解】

取的中点，连，因为为的中点，所以，，

所以四边形为平行四边形，所以，

因为与底面所成角的余弦值为，所以与底面所成角的余弦值为，

因为三棱柱为直三棱柱，所以平面，所以是与底面所成角，所以，所以，所以，

又，所以是边长为的等边三角形，

取的中点，的中点，连，则，，平面，

以为原点，的方向为轴建立空间直角坐标系：

则，，，，，，，，，

，，，，

设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，

则，得，令，得，，

，令，得，，，

因为，所以，

所以平面平面.

【小问2详解】

设，则

，

设平面的一个法向量为，

则，

若，则有，则，取，则，

此时，不合题意；

所以，令，得，，

则，

所以，

整理得，解得.

所以在线段上存在一点，使得平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，点是线段上靠近的三等分点.

21. 已知椭圆与直线相交于两点，椭圆上一动点，满足（其中表示两点连线的斜率），且为椭圆的左、右焦点，面积的最大值为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点的直线交椭圆于两点，求的内切圆面积的最大值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据面积的最大值为，得，再利用点差法和斜率公式得，结合，求出，，可得椭圆的标准方程；

（2）设直线，代入，得，，根据，求出的最大值，再利用三角形面积关系，求出内切圆半径，进而求出内切圆面积的最大值.

【小问1详解】

设，，则，所以，

依题意可知，两点关于原点对称，设，则，

由，得，所以，

所以，

所以，又，所以，所以，

所以，所以，所以，

所以椭圆的标准方程为.

   【小问2详解】

易得，设直线，

代入，得，

则，

设，，则，，

所以

，当且仅当时，等号成立，

所以的最大值为.

设的内切圆半径为，则，

所以，所以的内切圆面积.

所以的内切圆面积的最大值为.

22. 已知函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；

（3）若，且在上恒成立，证明：．

【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为   

（2）   

（3）证明见解析

【解析】

【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间；

（2）依题意可得在上恒成立，参变分离可得在上恒成立，求出的最小值，即可得解；

（3）依题意可得，参变分离可得在上恒成立，令，，求出函数的导函数，分、两种情况讨论，即可得到，令，，利用导数求出的最小值，即可得证.

【小问1详解】

函数的定义域为，且，

令，令，解得，因为，，

所以当时，即，

所以的单调递增区间为；

当时，即，

所以的单调递减区间为；

【小问2详解】

若函数在上单调递增，所以在上恒成立，

令，则，

即在上恒成立，

令，，

因为在上单调递减，在上单调递增，

所以在上单调递减，所以，

所以，则，即实数的取值范围为.

【小问3详解】

因为，所以，解得，

所以，又在上恒成立，

即在上恒成立，

令，，

则，

所以当时，则上单调递增，此时显然不恒成立；

当时，则当时，时，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以时，

所以，

因为，所以，

令，，则，

所以当时，即单调递减，当时，即单调递增，

所以，所以.

【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．