2022河南省实验中学高三上学期期中考试数学（理）试题含解析

河南省实验中学2021——2022学年上期期中试卷

高三  理科数学  命题人：宋苗珂  审题人：李笑萌

（时间：120分钟，满分：150分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 设，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 已知命题﹔命题﹐，则下列命题中为真命题是（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 已知，则

A.  B.  C.  D.

4. Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（    ）（ln19≈3）

A. 60 B. 63 C. 66 D. 69

5. 函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是（    ）

A. [－2，2] B. [－1，2] C. [0，4] D. [1，3]

6. 直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是

A.  B.  C.  D.

7. 已知，，则（    ）

A 0和 B.  C.  D. 和0

8. 《九章算术》中将四个面都为直角三角形三棱锥称之为鳖臑，若三棱锥为鳖臑，平面，，，，若三棱锥的所有顶点都在球上，则球的半径为（    ）

A.  B.  C.  D.

9. 给定两个长度为2的平面向量和，它们的夹角为120°.如图所示.点在以为圆心2为半径的圆弧上运动.则的最小值为

A.  B.  C. 0 D. 2

10. 已知函数且关于的方程有三个不等实根，则实数的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

11. 棱长为2的正方体中，是棱的中点，点在侧面内，若垂直于，则的面积的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D. 1

12. 已知关于x的不等式-x- alnx≥1对于任意x∈(l，+∞)恒成立，则实数a的取值范围为

A. （-∞，1-e] B. （-∞，-3] C. （-∞，-2] D. （-∞，2- e2]

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 已知等比数列的公比，其前项和为，且，，则__．

14. 设实数、满足约束条件，则的取值范围为_______．

15. 已知椭圆， 是的长轴的两个端点，点是上的一点，满足，设椭圆的离心率为，则______.

16. 在中，若，，则的面积为_____．

三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）

（一）必考题：共60分.

17. 正项数列{an}满足：an2﹣（2n﹣1）an﹣2n＝0．

（1）求数列{an}的通项公式an；

（2）令bn，求数列{bn}的前n项和Tn．

18. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.

(1)若PB＝，求PA；

(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.

19. 如图，正方形ABCD所在平面与等边所在平面互相垂直，设平面ABE与平面CDE相交于直线.

（1）求直线与直线AC所成角的大小；

（2）求平面ACE与平面DCE的夹角的余弦值.

20. 已知椭圆的左、右顶点分别为，，离心率为，过点作直线交椭圆于点，（与，均不重合）.当点与椭圆的上顶点重合时，.

（1）求椭圆方程

（2）设直线，的斜率分别为，，求证：为定值.

21 已知函数.其中

(1)当时，求函数的单调区间；

(2)若对于任意，都有恒成立，求的取值范围.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

[选修4-4：坐标系与参数方程]

22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），直线的参数方程为为参数）．

（1）求和的普通方程；

（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．

[选修4-5：不等式选讲]

23. 设a0，b0，a+b＝2．

（1）证明：≥4；

（2）证明：a3+b3≥2．