2022河南省实验中学高二上学期期中考试数学（理）试题含解析

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河南省实验中学2021——2022学年上期期中试卷高二  理科数学 （时间：120分钟，满分：150分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是（    ）A. 若，则 B. 若，，则C. 若，则 D. 若，则【答案】D【解析】【分析】，当时，A不正确；利用不等式性质可推出B不正确；作差后，可知当时，C不正确；利用基本不等式可推出D正确.【详解】对于A，当时，不成立，故A不正确；对于B，若，则，又，所以，故B不正确；对于C，因为，，所以当时，，此时，故C不正确；对于D，因为，所以，，所以，故D正确.故选：D2. 在中，角，，的对边分别为，，．若，，，则角（　　）A.  B.  C. 或 D. 或【答案】D【解析】【分析】由正弦定理即可求解．【详解】在中，由正弦定理可得，所以，因，所以，因为，所以或，故选：D.3. 已知首项为最小正整数，公差不为零的等差数列中，，，依次成等比数列，则的值是（    ）A.  B.  C.  D. 58【答案】A【解析】【分析】由已知得和，可求出，利用等差数列的通项公式得到.【详解】设公差不为零的等差数列的公差为d，则有，因为，，依次成等比数列，，所以有，即，整理得，因为，所以，，因此，故选：A.4. 已知中，角、、所对的边分别为、、，若的面积为，，则的值为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】利用三角形的面积公式整理得出，利用二倍角的正弦和余弦公式化简得出，结合角的取值范围可求得结果.【详解】在中，因为，则，，则，则，所以，，可得，，故.故选：D.5. 在中，，，边上的中线的长度为，则的面积为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据题设条件结合余弦定理可求得，从而可得，结合三角形面积公式，即可求解.【详解】∵，，边上的中线的长度为∴根据余弦定理可得，即，解得∴∴的面积为故选：B6. 一弹球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)（    ）A 300米 B. 299米C. 199米 D. 166米【答案】A【解析】【分析】根据题意，得到小球经过的里程，结合等比数列的求和公式，即可求解.【详解】由题意，可得小球10次着地共经过的路程为：米故选：A.7. 在中，，则是（    ）A. 等腰三角形 B. 直角三角形C. 等腰或直角三角形 D. 等边三角形【答案】C【解析】【分析】根据，利用正弦定理转化为：，整理为再转化为角判断.【详解】因为，所以由正弦定理得：，所以 ，即 ，所以或 ，所以或，所以是等腰或直角三角形.故选：C【点睛】本题主要考查正弦定理判断三角形的形状，还考查了运算求解的能力，属于中档题.8. 《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.如图所示的图形，在AB上取一点，使得，，过点作交圆周于D，连接OD.作交OD于.则下列不等式可以表示的是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根据圆的性质、射影定理求出CD和DE的长度，利用CD>DE即可得到答案.同时这是几何法构造基本不等式及其推论的一种方法.【详解】连接DB，因为AB是圆O 的直径，所以，所以在中，中线，由射影定理可得，所以.在中，由射影定理可得，即，由得，故选：A9. 设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意的n∈N*，都有＝，则＋的值为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的性质及等差数列前n项和的性质，逐步化简，即可得到本题答案．【详解】由题意可知b3＋b13＝b5＋b11＝b1＋b15＝2b8，∴＋＝＝＝＝＝＝故选：C．10. 已知，，且，则的最小值为（    ）A.  B.  C. 4 D. 6【答案】C【解析】【分析】由基本不等式得出关于的不等式，解之可得．【详解】因为，所以，当且仅当时取等号．，解得或（舍去），所以，即的最小值.4．此时．故选：C．11. 已知数列的前项和为，且，若，则数列的最大项为（    ）A. 第5项 B. 第6项 C. 第7项 D. 第8项【答案】D【解析】【分析】由先求出，从而得出，由讨论出其单调性，从而得出答案.【详解】当时，；由，当时，，两式相减，可得，解得，当时，也符合该式，故．所以由，解得；又，所以，所以，当时，，故，因此最大项为，故选：D．12. 数列满足，，，设，记表示不超过的最大整数．设，若不等式，对恒成立，则实数的最大值为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】首先通过构造等比数列求出数列的通项公式，并进而用累加法求出的通项公式及的通项公式.最后利用裂项相消法将化简后取整，整理的最小值后得解【详解】由题意得：，，又，数列是以为首项，为公比的等比数列，，又，，…，，，由累加法，；，，，，，，，，对恒成立，，则实数的最大值为.故选：C.【点睛】本题考查数列的综合应用问题，解题关键是能够采用构造法、累加法求得数列的通项公式，进而用裂项相消法化简的形式，并最终将恒成立问题转化为最值问题.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13. 在锐角三角形中，，，，则________【答案】【解析】【分析】由三角形面积公式求A，再由余弦定理求BC.【详解】∵ ，∴，又，，∴ ，又A为锐角，∴ ，由余弦定理可得，∴ ，∴ ，故答案为：.14. 设等比数列的前项和为，若，则数列的公比________.【答案】【解析】【分析】根据等比数列的前项和公式，和，对进行分类讨论，列出方程，即可求出结果.【详解】当时，，；当时， ，得，∴，解得或 (舍去)或 (舍去)，∴.故答案为：.15. 设，满足约束条件若有最小值，则的取值范围为________.【答案】【解析】【分析】分类讨论，当，，时，目标函数是否有最小值即可．【详解】作出可行域，如图所示阴影部分（含边界），当时，目标函数是平行于轴的直线，存在最小值，满足题意，当时，目标函数的斜率为负，此时目标函数有最大值，无最小值，当时，目标函数的斜率为正，此时目标函数有最小值，满足题意，综上可得，．故答案为：16. 已知等比数列的公比为，其前项的积为，且满足，，，则下列命题正确的有__________．（填序号）（1）；（2）；（3）的值是中最大的；（4）使成立的最大正整数数的值为．【答案】（1）（2）（4）【解析】【分析】根据可知；由和，可确定，可知（1）正确；利用等比数列性质和可知（2）正确；根据知（3）错误；根据，可知（4）正确.【详解】对于（1），，，，，，又，，，（1）正确；对于（2），，又，，即，，（2）正确；对于（3），，不是中最大的，（3）错误；对于（4），，，使成立的最大正整数数的值为，（4）正确.故答案为：（1）（2）（4）三、解答题（本题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或运算步骤）17. 已知不等式的解集是，求不等式的解集.【答案】【解析】【分析】由题意可知，关于的二次方程的两根分别为、，利用韦达定理可求得、的值，再利用二次不等式的解法解不等式，即可得解.【详解】因为不等式的解集是，则，且关于的二次方程的两根分别为、，所以，解得，不等式即为，解得.故不等式的解集为.18. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，角A、B、C的度数成等差数列，．（1）若，求c的值；（2）求的最大值．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）利用等差数列以及三角形内角和，正弦定理以及余弦定理求解即可；（2）利用正弦定理以及两角和与差的三角函数，结合三角函数的最值求解即可．【详解】（1）由角A、B、C的度数成等差数列，得2B＝A＋C．又，∴．由正弦定理，得，即．由余弦定理，得，即，解得．（2）由正弦定理，得，∴，．∴．由，得．所以当时，即时，．19. 已知数列的前n项和.求：（I）求数列的通项公式；（II）求数列的前n项和.【答案】(1) .(2) .【解析】【分析】（）当时，，当时，，即可求得数列的通项公式；（）当时，，当时，，利用裂项法，即可求解数列的前项和.【详解】（）当时，，当时，，，两式相减得，经验证不满足上式．故．（）当时，，当时，，∴．经检验满足上式，故．【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解、及数列求和的“裂项法”，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.20. 为响应国家号召开，积极引进外资，现欲在南京紫金东创建一工厂，目前两条公路，的交汇点处有一居民区，现拟在两条公路之间的区域内建造工厂，同时在两公路旁，（异于点）处设两个销售点，且满足，（千米），（千米），设.（注：）（1）试用表示，并写出的范围；（2）当为多大时，工厂产生的噪声对居民区的影响最小（即工厂与学校的距离最远）.【答案】（1），；（2）当时，工厂产生的噪声对居民区的影响最小.【解析】【分析】（1）由正弦定理求得，由三角形内角和求得范围；（2）由余弦定理求得，并由三角函数恒等变换公式，结合正弦函数性质得最大值．【详解】解：（1）因为，所以.在中，由正弦定理得：因为，所以，（2）在中，当且仅当，即时，取得最大值144，即取得最大值12.答：当时，工厂产生的噪声对居民区的影响最小.21. 某电动摩托车企业计划在2021年投资生产一款高端电动摩托车．经市场调研测算，生产该款电动摩托车需投入设备改造费1000万元，生产该款电动摩托车万台需投入资金万元，且，生产1万台该款电动摩托车需投入资金3000万元；当该款电动摩托车售价为5000（单位：元/台）时，当年内生产的该款摩托车能全部销售完．（1）求的值，并写出2021年该款摩托车的年利润（单位：万元）关于年产量（单位：万台）的函数解析式；（2）当2021年该款摩托车的年产量为多少时，年利润最大？最大年利润是多少？（年利润销售所得投入资金设备改造费）【答案】（1），；（2）年产量为5万台时，年利润最大，最大年利润是4000万元．【解析】【分析】（1）根据生产1万台该款电动摩托车需投入资金3000万元，求出的值，然后年利润销售额投入资金改造费，从而可求出所求；（2）分段函数求最值分段求，利用二次函数的性质和基本不等式分别求出最值，比较即可求出所求．【详解】（1）由题意，所以，         当时，；       当时，，      所以；（2）当时，，所以当时，．       当时，，因为，所以，当且仅当时，即时等号成立，    所以，所以当时，，因为，  所以，当2021年该款摩托车的年产量为5万台时，年利润最大，最大年利润是4000万元．22. 设数列的前n项和为，．（1）求数列的通项公式；（2）令，数列的前项和为，若对任意的正整数，恒有，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）当时，可求的值，当时，与两式相减即可得两边同时乘以，得，令，可得是等差数列，求出的通项即可求的通项；（2）由（1）知，利用乘公比错位相减求和求出，当，时单独讨论，当时，化为，即.令（，），则，计算判断的单调性求出的最小值，即可求得实数的取值范围．【详解】（1）由已知，，当时，，解得.当时，．两式相减，得．两边同时乘以，得，令，则，所以数列是公差为1等差数列，其首项为所以，即，所以.（2）由（1）知，，所以．则，①，②①-②，得，即，，则.由已知，对任意正整数，恒有．当时，化为，得.当时，化为，此时，为任意实数不等式都成立．当时，化为，即.令（，），则，所以．当时，，则，所以（，）单调递增，所以的最小值为，则.综上可知，，即的取值范围是．【点睛】关键点点睛：第一问的关键点是需要讨论，当时求得，当时，与已知条件两式相减得，这种类型需要两边同时乘以得，第二问是根据不等式恒成立求参数的值，求出可得，此时不是恒大于，当，时单独讨论，当时，分离化为，即，再构造（，），利用作差法判断单调性求最小值即可.