九年级上册24.2直角三角形的性质同步测试题

24.2　直角三角形的性质

知识点 1　直角三角形的两个锐角互余

1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是(　　)

A．120°  B．90°  C．60°  D．30°

2．如图24－2－1，将一个矩形纸片剪去一部分后得到一个三角形，则图中∠1＋∠2的度数是(　　)

A．30°  B．60°  C．90°  D．120°

图24－2－1

知识点 2　勾股定理

3．［2019·荆门］如图24－2－2，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为(　　)

A．5  B．6  C．8  D．10

图24－2－2

4．［2019·绍兴］如图24－2－3，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙上时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙上，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为(　　)

A．0.7米  B．1.5米 

C．2.2米  D．2.4米

图24－2－3

知识点 3　直角三角形斜边上的中线的性质

5．如图24－2－4，在Rt△ABC中，E是斜边AB的中点．若AB＝10，则CE＝________．

图24－2－4

6．如图24－2－5，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC的中点．若AD＝6，DE＝5，则CD的长等于__________．

图24－2－5

7．如图24－2－6，在△ABC中，∠C＝2∠B，D是BC上的一点，且AD⊥AB，E是BD的中点，连结AE.求证：∠AEC＝∠C.

图24－2－6

知识点 4　直角三角形中30 °角的性质

8．［2019·百色］如图24－2－7，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，则BC＝(　　)

A．6  B．6   C．6   D．12

图24－2－7

9．如图24－2－8，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，若线段DE＝1 cm，则BD的长为________ cm.

图24－2－8

10．如图24－2－9，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则图中互余的角有(　　)

A．2对  B．3对  C．4对  D．5对

图24－2－9

11．［教材习题24.2第2题变式］如图24－2－10，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D是BC的中点，DE⊥AB于点E.若AE＝2，则BE＝(　　)

A．3  B．4  C．6  D．8

图24－2－10

12．如图24－2－11，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE交AC于点E，交BC的延长线于点F.若∠F＝30°，DE＝1，求BE的长．

图24－2－11

13．如图24－2－12，在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠B＝45°，∠C＝30°，AD＝1.

(1)求CD的长；

(2)求△ABC的面积．

图24－2－12

14．如图24－2－13，在△ABC中，∠ACB＝90°，M，N分别是AB，AC的中点，延长BC至点D，使CD＝BD，连结DN，MN.

(1)求证：MN＝CD；

(2)若AB＝6，求DN的长．

图24－2－13

15．如图24－2－14，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为高，且CD，CE三等分∠ACB.

(1)求∠B的度数；

(2)求证：CE是AB边上的中线，且CE＝AB.

图24－2－14

16．如图24－2－15所示，一根长2a的木棍(AB)斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上，设木棍的中点为P.若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．

(1)请判断在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否发生变化，并简述理由．

(2)在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，△AOB的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值．

图24－2－15

1．D　2．C　3.C

4．C　

5．5

6．8　

7．证明：∵AD⊥AB，∴△ABD为直角三角形．

∵E是BD的中点，

∴AE＝BD，BE＝BD，

∴AE＝BE，

∴∠B＝∠BAE.

∵∠AEC＝∠B＋∠BAE，

∴∠AEC＝∠B＋∠B＝2∠B.

又∵∠C＝2∠B，

∴∠AEC＝∠C.

8．A　9.4

10．C

11． C　

12．∵AB的垂直平分线DE交AC于点E，交BC的延长线于点F，

∴∠BDF＝90°，AE＝BE，

∴∠ABE＝∠A.

∵∠F＝30°，

∴∠DBF＝60°.

∵∠ACB＝90°，∴∠A＝30°，

∴∠ABE＝30°，

∴BE＝2DE＝2.

13．解：(1)∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.

∵∠C＝30°，AD＝1，

∴AC＝2AD＝2，

∴CD＝＝＝.

(2)∵∠B＝45°，

∴∠BAD＝45°，

∴BD＝AD＝1，

∴BC＝BD＋CD＝1＋，

∴△ABC的面积＝AD·BC＝.

14．

解：(1)证明：∵M，N分别是AB，AC的中点，

∴MN＝BC，MN∥BC.

∵CD＝BD，

∴CD＝BC，

∴MN＝CD.

(2)连结CM，∵MN∥CD，MN＝CD，

∴四边形MCDN是平行四边形，

∴DN＝CM.

∵∠ACB＝90°，M是AB的中点，

∴CM＝AB，

∴DN＝AB＝3.

15(1)∵在△ABC中，∠ACB＝90°，CD，CE三等分∠ACB，

∴∠ACD＝∠DCE＝∠BCE＝30°，

∴∠BCD＝60°.

又∵CD为高，

∴∠B＝90°－60°＝30°.

(2)证明：由(1)知，∠B＝∠BCE＝30°，

则CE＝BE.

∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，

∴∠A＝60°.

又由(1)知，∠ACD＝∠DCE＝30°，

∴∠ACE＝60°＝∠A，

∴△ACE是等边三角形，

∴AE＝CE＝BE＝AB，

∴E是AB的中点，

∴CE是AB边上的中线，且CE＝AB.

16． (1)不变．

理由：由题意得OP＝AB.

∵斜边AB的长不变，

∴点P到点O的距离OP不变．

(2)当△AOB斜边上的中线OP是斜边上的高h时，△AOB的面积最大．

理由：如图，过点O作OD⊥AB于点D，则OD＝h.若h与OP不相等，则总有h＜OP，

故根据三角形面积公式，知当h与OP相等时，△AOB的面积最大，

此时，S△AOB＝AB·h＝·2a·a＝a2.

∴△AOB的最大面积为a2.