高一数学期中备考专题5.应用单调性的八类高频考题

5.一应用单调性的八类高频考题

一．基本原理

1.复合函数单调性问题

2.利用单调性解不等式

3.利用单调性求解析式

4.利用单调性找出多元变量之间的关系

5.已知单调性求参数

6.利用单调性之间比较大小

7.同构出单调性后比较大小

8.利用单调性求最值

二．典例分析

1.复合函数单调性问题

例1．已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

解析：函数在上是减函数，当时，恒成立，而函数在区间上不单调，因此，不符合题意，当时，函数在上单调递增，于是得函数在区间上单调递减，因此，并且，解得，

所以实数的取值范围是.故选：D

例2．已知函数，则（    ）

A．是奇函数，且在上是增函数

B．是奇函数，且在上是减函数

C．是偶函数，且在上是增函数

D．是偶函数，且在上是减函数

解析：由题意可得： 且，由，故是偶函数；当时，，令，在时为单调递增函数，而 是单调递增函数，故函数在时为单调递增函数，故选：C

例3．使得“函数在区间上单调递减”成立的一个充分不必要条件可以是（    ）

A． B． C． D．

解析：由函数在区间上单调递减，得在区间上单调递减，所以，解得.结合A，B，C，D四个选项，知使得“函数在区间上单调递减”成立的一个充分不必要条件可以是.故选：C.

例4．已知函数在上是减函数，则实数a的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

解析：依题意在上恒成立且，

又可看成的复合函数，单调递减，欲使是减函数，只需递增，.故选：B

2.利用单调性解不等式

例5．已知函数，若，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

解析：函数在上为减函数，函数的图像开口向下，对称轴为，所以函数在区间上为减函数，

且.所以函数在上为减函数. 由得.解得.故选:A.

例6．已知函数，且，则实数a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

解析：令，则，因为，，∴为奇函数，

又因为，由复合函数单调性知为的增函数，

∵，则，∴，

， ∴，解得或，故

故选：D.

例7．已知函数，则不等式的解集为（    ）

A． B．或 C． D．

【详解】函数中，在上单调递减，在上单调递减，且，则函数在定义域上单调递减，

，，解得：，即不等式的解集为.故选：D.

例8．若函数的定义域为，且.若对任意不相等的实数，恒有，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【详解】解：因为对任意不相等的实数，恒有，

所以，对任意不相等的实数，恒有，即，

令，所以，对任意不相等的实数，恒有，即，不妨设，则，所以，，即，

所以，在上单调递减.所以

，所以不等式的解集为.

故选：D.

例9．定义在上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【详解】令，因为对，且，都有成立，不妨设，则，故，则，即，所以在上单调递增，又因为，所以，故可化为，所以由的单调性可得，即不等式的解集为.故选：D.

例10．已知，若，则实数的取值范围是（）

A． B．       C． D．

【详解】因为在上为增函数，所以在上为增函数，

则，解得：，即a的取值范围为，

故选: C.

注：求解函数不等式时，由条件脱去，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域.

3.利用单调性求解析式

例11．已知函数是定义在R上的单调函数．若对任意，都有，则（    ）

A．9 B．15 C．17 D．33

解析：因为是R上的单调函数，所以存在唯一的，使

由方程，得，则，所以 设，由于均为定义域内的单调递增函数，所以在R上是增函数，且3，所以，所以，故故选：C

例12．已知函数在定义域上是单调函数，若对任意，都有，则的值是___________________．

解析：因为函数在定义域上是单调函数，若对任意，都有，可设，故，且，

解可得，，所以，则．故答案为：．

注：利用单调性求解析式实质是严格单调函数的一一对应关系.

4.利用单调性找出多元变量之间的关系

利用单调性，即严格单调函数的一一对应关系找到多元变量的关系，从而解决问题.

例13．已知正实数满足，则的最小值为___________.

解析：由，得，令，则在上单调递增，所以，即，又因为是正实数，

所以，当且仅当，即时等号成立，故答案为：

例14．已知实数，且满足，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．3

解析：由得，令，，在上单调递增，，，，，故当时，取最小值.故选：C.

5.已知单调性求参数

（1）已知单调性直接求参数

基本原理：已知函数在区间上单增，则，反之亦然.

（2）同构出函数单调性后求参数

（3）分段函数单调性问题要注意

例15．“”是“函数在区间（1，2）上单调递减”的（　　）

A．充分不必要条件 B．充要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

解析：若在区间（1，2）上单调递减，所以在区间（1，2）上恒成立，所以在区间（1，2）上恒成立，所以，所以，所以“”是“”的必要不充分条件，所以“”是函数在区间（1，2）上单调递减”的必要不充分条件，故选：C.

例16．命题 在上为增函数，命题Q：在单调增函数，则命题P是命题Q（     ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

解析：因为命题 在上为增函数，则有，解得，又因为命题Q：在单调增函数，则有，解得，若命题成立，则命题一定成立，反之则不一定成立，所以是的充分不必要条件，故选：A.

例17．已知函数，且对于，，都满足，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

解析：不等式恒成立，即，

即时，，所以分段函数在上单调递减，（时也会得到分段函数在上单调递减），故每段函数为减函数，应满足，解得，

同时在上单调递减，对于边界值还需满足，解得或，

所以．故选：C.

6.利用单调性之间比较大小

比较函数值的大小时，转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.

例18．已知定义在上的奇函数满足:当时, ,若不等式对任意实数恒成立,则实数的取值范围是（   ）

A． B．

C． D．

【详解】任取，则，所以.

由为定义在上的奇函数，所以，所以，

即在上都有.由幂函数的性质可知在上单调递增，所以不等式对任意实数恒成立可转化为： 对任意实数恒成立.

结合二次函数图像可得.故选：A.

7.同构出单调性后比较大小

例19．已知函数满足对任意，当时，恒成立，若，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【详解】∵，即，

构建，可知当时，则，故在上单调递减，又∵，即，且，

则，解得，故不等式的解集为.故选：C.

8.利用单调性求函数最值

例20．已知函数的最小值是－1，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【详解】由已知可得显然在上单调递减，在上单调递增，

所以在处取得最小值，,

当时，，在上单调递减，

在上单调递增，所以在处取得最小值

当时，，在上单调递增，

所以在处取得最小值，

当时，，在上单调递减， 于题意不符；

当时，，在上单调递减， 于题意不符；

.故选：C.

三．习题演练

1．已知在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【详解】因为的对称轴为，又因为在上是单调函数，所以或，解得或，所以m的范围是，故选：D.

2．若函数满足对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【详解】因为对任意的，都有，故为增函数.故当时为增函数，故，即.又当时为增函数，且对称轴为，故，即.又当时，，即.综上有.故选：A

3．已知函数是定义在上的奇函数，且.

（1）求的值；

（2）用单调性定义证明：函数在区间上单调递增；

（3）若，求实数的取值范围.

【详解】（1）由题意可知，即，

，又，即

（2），且，有

，

由于，即，

所以函数在区间上单调递增.

（3）因为为奇函数，所以由，得，

又因为函数在区间上单调递增，所以

解得，故，所以实数的取值范围是

4．已知函数在为奇函数，且

（1）求值；

（2）判断函数在的单调性，并用定义证明；

（3）解关于t的不等式

【详解】（1）在为奇函数，，解得：，      又，解得：，故，经检验满足题设.

（2）当时，，    

当时函数在为奇函数，由，判断函数在为单调递减，证明：，

，

，，，    ，函数在为单调递减，

（3）则，在为奇函数，，又函数在为单调递减，

t的不等式的解集为