高一数学期中备考专题6.奇偶性与周期性的应用（基础篇）

6.奇偶性与周期性

一．设计目标.

本节是在学完函数单调性与奇偶性后设计的一次微专题探究课，众所周知，

函数性质是高一上一个教学难点也是高考必考点，所以有必要通过设计此次微专题课达到两方面目标：

1.加强对函数单调性奇偶性的理解与认识，特别是在两个性质的应用方面，要通过题目强化认知，数形结合，提高认知能力.

2.拓展对奇偶性的认知，将其推广到函数对称性，并进一步考虑单调性与对称性的综合应用，再次加强对函数性质的理解，最后通过个别高考题目达到强化，培优的效果.

二．知识回顾

1.函数的单调性定义

2.判断或证明函数单调性的常见方法

3.单调性的常见应用

4. 函数奇偶性定义

5.判断或证明函数奇偶性的常见方法

6. 奇偶性常见应用

三．微专题探究

2.1.奇偶性与单调性综合问题.

例1. 已知偶函数在区间上单调递增，则满足的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

解析∵f（x）为偶函数，∴f（x）＝f（|x|）.则f（|2x－1|）<，

又∵f（x）在[0，＋∞）上单调递增，∴，解得.故选：A.

例2．已知函数，若，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

解析：由题得，所以函数是奇函数，

因为，所以是上的增函数，所以，

所以.故选：A

练习1.定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则（    ）

A． B．

C． D．

故选：A.

2.2函数的对称性.

函数对称性主要有轴对称和中心对称两种情况. 函数对称性研究的是一个函数本身所具有的性质.

1.轴对称: 函数图象关于一条垂直于轴的直线对称，则当函数图象上任意两个点到直线的距离相等且函数值时. 我们就称函数关于对称.

代数表示: (1).

          (2).

即当两个自变量之和为一个定值，函数值相等时,则函数图像都关于直线对称.

    一般地，若函数满足，则函数的图象关于直线对称.

特别地，偶函数(关于轴对称)，，即当横坐标到原点的距离相等(横坐标互为相反数），函数值相等.

2.中心对称：函数上任意一点（）关于点对称的点（）也在函数图像上，此时我们就称函数为关于点()对称的中心对称图像，点()为对称中心.

用代数式表示：(1).

              (2).

一般地,若函数满足,则函数的图象关于点对称.

特别地，奇函数(关于原点对称)，，即当横坐标到原点的距离相等(横坐标互为相反数），函数值相反.

3.注释: 对称性的作用: 知一半而得全部，即一旦函数具备对称性，则只需分析一侧的性质，便可得到整个函数的性质.

(1).利用对称性求得函数在某点的函数值.

(2).利用对称性可以在作图时只需作出一半的图象，然后再根据对称性作出另一半的图象.

(3).对于轴对称函数，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；对于中心对称函数，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同.

2.3.对称性的应用

2.3.1对称性与单调性

例3.在上定义的函数是偶函数，且．若在区间上是减函数，则（    ）

A．在区间上是增函数，在区间上是减函数

B．在区间上是增函数，在区间上是增函数

C．在区间上是减函数，在区间上是增函数

D．在区间上是减函数，在区间上是减函数

解析：由可得，所以的对称轴为，

因为函数是偶函数，所以，

由可得：，

所以，所以是周期为的周期函数，

若在区间上是减函数，根据对称性可知在上是增函数，

根据周期为可知：在区间上是增函数，在区间上是减函数，故选：A.

2.3.2 已知对称性求解析式

例4.已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则的所有根之和等于

A．4 B．5 C．6 D．12

解析：因为为奇函数，所以图像关于对称，

所以函数的图像关于对称，即

当时，，所以当时，

当时，可得 当时，可得

所以的所有根之和为 故选A

2.3.3 对称函数的图象性质

例5.已知函数满足，若函数的图象与函数的图象的交点为,则(      )

A.            B.           C.            D. 

结论1.若的图像关于直线对称.设

.

例6.已知函数满足,若函数与图像的交点为,，（），则

A.             B.        C.       D.

结论2.若,

即.

一般地，对于

练习2.已知函数是偶函数，当时， 恒成立，设，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

练习3．已知函数在区间上单调递增，且函数为偶函数，则下列结论成立的是（）

A． B．

C． D．

练习2【详解】

当时，，则，

所以，函数为上的增函数，由于函数是偶函数，可得，

，

，因此，.故选：A.

练习3【详解】

因为函数f(x＋2)是偶函数，所以f(x＋2)＝f(－x＋2)，即函数f(x)的图象关于x＝2对称，

又因为函数y＝f(x)在区间[0，2]上单调递增，所以函数y＝f(x)在区间[2，4]上单调递减.

因为，，所以，即，

故选：B

一、单选题

1．已知函数满足，若函数与图象的交点为，则 的值为（    ）

A．4m B．3m C．2m D．m

2．已知函数满足，函数的图象与的图象的交点为，，…，，则（    ）

A． B． C． D．

3．已知函数是偶函数，当时，恒成立，设则a，b，c的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

4．已知定义在上的函数在上为增函数，且函数为偶函数，则的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

5．已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

二、填空题

6．若函数为偶函数，且在上单调递增，则的解集为___________．

7．已知定义在上的奇函数满足，且，则的值为___________.

8．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，那么不等式的解集是 ________．

参考答案

一．练习题

1．A

解：由，得，

所以函数的图像关于点对称，

因为，

所以的图像可以看成是由的图像向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到的，所以函数的图像关于点对称，

所以函数与的图像交点关于点对称，

所以，，

设，则，

所以，所以，

设，则，

所以 ，所以，

所以，

故选：A

2．C由可知的图象关于点对称，

又因为的图象也关于点对称，

所以两个函数的图象的交点关于点对称，

即，，

所以，故选：．

3．D. 由题设知：时，单调递增，

∵是偶函数，

∴关于对称，即上单调递减，

由对称性可知：，而，

∴，即.

故选：D.

4．D. 因为函数为偶函数，所以函数关于对称，

又因为函数在上为增函数，所以函数在上为减函数，

又因为，所以

故选：D

5．C.由于是上的奇函数，且，

所以，

所以是周期为的周期函数.当时，

..

.

.

所以.

故选：C.

6．∵为偶函数，

∴，

∴，即，

∴，

∵在上单调递增，∴，

∵，

∴，解得或，

∴不等式的解集为．

故答案为：.

7．对任意，由是奇函数得，又，所以，则，所以是以4为周期的函数.

由是R上的奇函数得，所以，，故.

故答案为：.

8．；因为当时，，所以，

由可得：，即，

因为函数是定义在R上的偶函数，

所以，

所以，

因为时，，可知在单调递增，

所以，解得，

所以不等式的解集是，

故答案为：.