甘肃省张掖市甘州区第一中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试卷

这是一份甘肃省张掖市甘州区第一中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试卷，共23页。试卷主要包含了细心选一选，用心填一填，认真解一解等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年甘肃省张掖一中九年级（上）第一次月考数学试卷
一、细心选一选（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列方程中一定是一元二次方程的是（　　）
A．ax2+bx+c＝0 B．x2﹣2x﹣1＝0
C．x＝1 D．x（x﹣2）＝x2+1
2．（3分）一个黑色不透明的袋子中装有若干个白球和红球，共计10个，这些球除颜色外都相同．将球搅匀，记下颜色后放回、再搅匀、再摸球，通过大量重复摸球试验后，由此可估计袋子中白球的个数约为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．9
3．（3分）下面性质中矩形具有而菱形没有的是（　　）
A．对角线相等 B．邻边相等 C．对角线垂直 D．对边相等
4．（3分）一元二次方程2x2﹣x﹣1＝0的根的情况（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
5．（3分）开学季，数学兴趣小组调查了学校门口的一家文具店，发现这家文具店第一天利润是300元，根据题意，下面所列方程正确的是（　　）
A．300（1﹣x）2＝507 B．300（1+x）2＝507
C．300（1+2x）＝507 D．300（1﹣2x）＝507
6．（3分）如果（x2+y2）（x2+y2﹣2）＝3．那么x2+y2＝（　　）
A．﹣1 B．3 C．﹣1或3 D．无法确定
7．（3分）从一定高度抛一个瓶盖1000次，落地后盖面朝下的有550次，则下列说法错误的（　　）
A．盖面朝下的频数为550 B．该试验总次数是1000
C．盖面朝下的概率为0.55 D．盖面朝上的概率为0.5
8．（3分）如图，某小区居民休闲娱乐中心是一块长方形（长60米，宽40米）场地，如果设绿化带的宽度为x米，由题意可列方程为（　　）

A．（60﹣x）（40﹣x）＝1750 B．（60﹣2x）（40﹣x）＝1750
C．（60﹣2x）（40﹣x）＝2400 D．（60﹣x）（40﹣2x）＝1750
9．（3分）已知＝＝＝k，则k的取值为（　　）
A． B．﹣1 C．或﹣1 D．﹣或﹣1
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，EG⊥BC于点G，连接DE，则FG的最小值为 　 　．

二、用心填一填（本题共8个小题，每小题4分，共32分）
11．（4分）已知（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1＝0是关于x的一元二次方程，则m＝　 　．
12．（4分）若方程x2﹣ax﹣3a＝0的一个根为6，则另一个根为　 　．
13．（4分）若关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0的一个根是x＝﹣1，则2023﹣a+b的值为 　 　．
14．（4分）掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部反面朝上的概率是　 　
15．（4分）若，则＝　 　．
16．（4分）在“新冠“初期，有2人感染了“新冠”，经过两轮传染后共有288人感染了“新冠”（这两轮感染均未被发现未被隔离）　 　个人．
17．（4分）将宽度相等的两张纸条按如图所示的方式放置，则两个纸条重叠部分组成的四边形是 　 　．

18．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，CD上，连接AE、BF，则AE+BF最小值为 　 　．

三、认真解一解（19题15分、20题、21题、22题、23题、25题、26题、27题每题8分，24题7分，28题10分，共88分）
19．（15分）解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣1＝0（用配方法）；
（2）2x2+x﹣3＝0（用公式法）；
（3）4x（2x+1）＝3（2x+1）．
20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程的一个根是x＝﹣1，求k的值．
21．（8分）为迎接市中小学运动会，某校举行班级乒乓球对抗赛，每个班选派1对男女混合双打选手参赛
（1）画树状图或列表列出所有等可能的配对结果；
（2）如果小明与小敏、小强与小华是最佳组合，那么组成最佳组合的概率是多少？
22．（8分）如图所示，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为17m）
（1）若围成的面积为144m2，试求出自行车车棚的长和宽；
（2）能围成面积为160m2的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能

23．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点E是AD中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F，连接BF，DF．
（1）判断四边形ADBF的形状，并证明；
（2）当∠BAC＝90°时，直接写出四边形ADBF的形状．

24．（7分）已知：如图，△ABC中，D、E分别在AB、AC上，若AD＝3，BD＝6，求AE的长．

25．（8分）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足，且a+b+c＝12
26．（8分）某商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每周可卖出300件，如调整价格，每涨1元，每周销量不少于240件．
（1）每件售价最高为多少元？
（2）实际销售时，为尽快减少库存，每件在最高售价的基础上降价销售，每周销量比最低销量240件多卖20件，要使利润达到6500元
27．（8分）某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价35元，原计划以每桶55元的价格销售，现决定降价销售．已知这种消毒液销售量y（桶）与每桶降价x（元）（0＜x＜20），其图象如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）在这次助力疫情防控活动中，该药店仅获利1760元．这种消毒液每桶实际售价多少元？

28．（10分）阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则，．
材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m+n＝1，mn＝﹣1，则m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：一元二次方程2x2﹣x﹣1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝　 　，x1x2＝　 　．
（2）类比应用：已知一元二次方程2x2﹣x﹣1＝0的两根分别为m、n，求的值．
（3）思维拓展：已知实数s、t满足2s2﹣s﹣1＝0，2t2﹣t﹣1＝0，且s≠t，求的值．

2023-2024学年甘肃省张掖一中九年级（上）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、细心选一选（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列方程中一定是一元二次方程的是（　　）
A．ax2+bx+c＝0 B．x2﹣2x﹣1＝0
C．x＝1 D．x（x﹣2）＝x2+1
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．当a＝0时2+bx+c＝7不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．该方程是一元二次方程；
C．该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意；
D．x（x﹣2）＝x2+2，
整理得：﹣2x＝1，不是一元二次方程．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）是解此题的关键．
2．（3分）一个黑色不透明的袋子中装有若干个白球和红球，共计10个，这些球除颜色外都相同．将球搅匀，记下颜色后放回、再搅匀、再摸球，通过大量重复摸球试验后，由此可估计袋子中白球的个数约为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．9
【分析】大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【解答】解：根据题意得：10×0.4＝3（个），
答：估计袋子中红球的个数约为4个．
故选：A．
【点评】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是掌握频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
3．（3分）下面性质中矩形具有而菱形没有的是（　　）
A．对角线相等 B．邻边相等 C．对角线垂直 D．对边相等
【分析】由矩形和菱形的性质可求解．
【解答】解：∵矩形的对角线互相平分且相等，对边相等，四边相等；
∴矩形具有而菱形没有的是对角线相等，
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，掌握矩形和菱形的性质是解题的关键．
4．（3分）一元二次方程2x2﹣x﹣1＝0的根的情况（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【分析】把a＝2，b＝﹣1，c＝﹣1代入Δ＝b2﹣4ac，计算△，再根据计算结果判断方程根的情况．
【解答】解：∵a＝2，b＝﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）6﹣4×2×（﹣4）＝9＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac．当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
5．（3分）开学季，数学兴趣小组调查了学校门口的一家文具店，发现这家文具店第一天利润是300元，根据题意，下面所列方程正确的是（　　）
A．300（1﹣x）2＝507 B．300（1+x）2＝507
C．300（1+2x）＝507 D．300（1﹣2x）＝507
【分析】根据增长率意义，经过两天后利润可表示为300（1+x）2，构建方程；
【解答】解：由题意，两天后利润为300（1+x）2，则
300（2+x）2＝507；
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程应用增长率问题；用增长率表示两天后的利润是解题的关键．
6．（3分）如果（x2+y2）（x2+y2﹣2）＝3．那么x2+y2＝（　　）
A．﹣1 B．3 C．﹣1或3 D．无法确定
【分析】设t＝x2+y2，则原方程转化为关于t的一元二次方程t（t﹣2）＝3，通过解该方程可以求得t即x2+y2的值．
【解答】解：设t＝x2+y2，则
t（t﹣5）＝3，
整理，得
（t﹣3）（t+2）＝0，
解得t＝3或t＝﹣4（舍去）．
即x2+y2＝5，
故选：B．
【点评】本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．
7．（3分）从一定高度抛一个瓶盖1000次，落地后盖面朝下的有550次，则下列说法错误的（　　）
A．盖面朝下的频数为550 B．该试验总次数是1000
C．盖面朝下的概率为0.55 D．盖面朝上的概率为0.5
【分析】根据频数、频率及用频率估计概率解答即可．
【解答】解：A、盖面朝下的频数是550，不符合题意；
B、该试验总次数是1000，不符合题意；
C、盖面朝下的频率是，不符合题意；
D、1000次试验的盖面朝上的频率为0.55，此选项错误；
故选：D．
【点评】本题考查了利用频率估计概率的知识，解答此题关键是用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
8．（3分）如图，某小区居民休闲娱乐中心是一块长方形（长60米，宽40米）场地，如果设绿化带的宽度为x米，由题意可列方程为（　　）

A．（60﹣x）（40﹣x）＝1750 B．（60﹣2x）（40﹣x）＝1750
C．（60﹣2x）（40﹣x）＝2400 D．（60﹣x）（40﹣2x）＝1750
【分析】根据各边之间的关系，可得出被分成六块的活动场所可合成长为（60﹣2x）米，宽为（40﹣x）米的长方形，结合活动场所的面积为1750平方米，可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵长方形场地的长为60米，宽为40米，
∴被分成六块的活动场所可合成长为（60﹣2x）米，宽为（40﹣x）米的长方形．
根据题意得：（60﹣2x）（40﹣x）＝1750．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．（3分）已知＝＝＝k，则k的取值为（　　）
A． B．﹣1 C．或﹣1 D．﹣或﹣1
【分析】分类讨论：当a+b+c≠0 时，根据等比性质，可得答案；当a+b+c＝0 时，根据分式的性质，可得答案．
【解答】解：当a+b+c≠0 时，由等比性质，得
k＝＝＝ 
当a+b+c＝0 时，得 a＝﹣（b+c），c＝﹣（a+b），
k＝＝＝﹣4，
故选：C．
【点评】本题考查了比例的性质，利用了等比性质，分式的性质．
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，EG⊥BC于点G，连接DE，则FG的最小值为 　10　．

【分析】知四边形FBGE是矩形，所以FG＝BE，由此当BE最小时，FG就最小，根据垂线段最短，可知当BE⊥AC时，BE最小．在等腰直角三角形ABE中利用勾股定理可求BE值，则最小FG值可求．
【解答】解：连接FG、BE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°．
又EF⊥AB于点F，EG⊥BC，
∴四边形FBGE是矩形．
∴FG＝BE．
所以当BE最小时，FG就最小．
根据垂线段最短，可知当BE⊥AC时．

当BE⊥AC时，在正方形ABCD中，
在Rt△ABE中，根据勾股定理可得2BE2＝AB6＝400，
解得BE＝10．
故答案为：10．
【点评】本题主要考查了正方形的性质、矩形的判定和性质、垂线段最短．解决线段最值问题，一般会运用垂线段最短定理求解，注意线段的转化．
二、用心填一填（本题共8个小题，每小题4分，共32分）
11．（4分）已知（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1＝0是关于x的一元二次方程，则m＝　﹣1　．
【分析】直接利用一元二次方程的定义得出|m|＝1，m﹣1≠0，进而得出答案．
【解答】解：∵方程（m﹣1）x|m|+1﹣2x+1＝0是关于x的一元二次方程，
∴|m|＝3，m﹣1≠0，
解得：m＝﹣4．
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握未知数的次数与系数是解题关键．
12．（4分）若方程x2﹣ax﹣3a＝0的一个根为6，则另一个根为　﹣2　．
【分析】先将x＝6代入已知方程列出关于a的新方程，通过解新方程求得a的值；然后利用根与系数的关系来求原方程的另一根．
【解答】解：根据题意，得
62﹣3a﹣3a＝0，即36﹣8a＝0，
解得，a＝4；
设方程x6﹣ax﹣3a＝0的另一个根为x，则4x＝﹣3a＝﹣12，
解得，x＝﹣2．
故答案为﹣4．
【点评】本题主要考查了方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
13．（4分）若关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0的一个根是x＝﹣1，则2023﹣a+b的值为 　2028　．
【分析】根据一元二次方程ax2+bx+5＝0的一个根是x＝﹣1，可以得到a﹣b＝﹣5，然后代入所求式子计算即可．
【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx+5＝6的一个根是x＝﹣1，
∴a×（﹣1）8+b×（﹣1）+5＝3，
化简，得：a﹣b＝﹣5，
∴2023﹣a+b
＝2023﹣（a﹣b）
＝2023﹣（﹣5）
＝2023+4
＝2028，
故答案为：2028．
【点评】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是求出a﹣b的值．
14．（4分）掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部反面朝上的概率是　　
【分析】根据概率公式知，掷两枚质地均匀的硬币，有4种情况，两枚硬币全部反面朝上的概率是．
【解答】解：根据题意可得：掷两枚质地均匀的硬币，有4种情况．
故本题答案为：．
【点评】本题考查的是概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）＝．
15．（4分）若，则＝　3　．
【分析】根据比例设x＝k，则y＝2k（k≠0），然后代入比例式进行计算即可．
【解答】解：∵，
∴设x＝k，则y＝2k（k≠4），
∴．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了比例的性质，掌握比的基本性质是解题的关键．
16．（4分）在“新冠“初期，有2人感染了“新冠”，经过两轮传染后共有288人感染了“新冠”（这两轮感染均未被发现未被隔离）　11　个人．
【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染中有2x人被传染，第二轮传染中有x（2+2x）人被传染，根据经过两轮传染后共有288人感染了“新冠”，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染中有2x人被传染，
根据题意得：2+7x+x（2+2x）＝288，
整理得：（4+x）2＝144，
解得：x1＝11，x6＝﹣13（不符合题意，舍去），
∴每轮传染中平均一个人传染了11个人．
故答案为：11．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
17．（4分）将宽度相等的两张纸条按如图所示的方式放置，则两个纸条重叠部分组成的四边形是 　菱形　．

【分析】如图，连接AC，过A作AE⊥BC于E，作AF⊥CD于F，先证明四边形ABCD是平行四边形，可得S△ABC＝S△ADC，可得BC•AE＝CD•AF，结合AE＝AF，证明BC＝CD，从而可得结论．
【解答】解：如图，连接AC，作AF⊥CD于F，

由纸条的对边平行可得：AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴S△ABC＝S△ADC，
∴BC•AE＝，
∵纸条等宽，则AE＝AF，
∴BC＝CD，
∴四边形ABCD为菱形；
故答案为：菱形．
【点评】本题考查的是平行四边形的判定与性质，菱形的判定，熟记菱形的判定方法是解本题的关键．
18．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，CD上，连接AE、BF，则AE+BF最小值为 　5　．

【分析】由“SAS”可证△ABE≌△ADF，可得AE＝AF，点F，点B，点H三点共线时，AE+BF的最小值为BH，由勾股定理可求解．
【解答】解：如图，连接AF，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝BC＝CD＝4，∠ABC＝∠ADC＝90°，
∵DF+EC＝BE+CE＝4，
∴BE＝DF，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF，
∴AE+BF＝AF+BF，
作点A关于DC的对称点H，连接FH，
∴AF＝FH＝AE，
∴AE+BF＝FH+BF，
∴点F，点B，AE+BF的最小值为BH，
∴BH＝＝＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，确定点F位置是解题的关键．
三、认真解一解（19题15分、20题、21题、22题、23题、25题、26题、27题每题8分，24题7分，28题10分，共88分）
19．（15分）解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣1＝0（用配方法）；
（2）2x2+x﹣3＝0（用公式法）；
（3）4x（2x+1）＝3（2x+1）．
【分析】（1）移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；
（2）求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出答案即可；
（3）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．
【解答】解：（1）x2﹣4x﹣6＝0，
移项，得x2﹣7x＝1，
配方，得x2﹣2x+4＝1+3，
（x﹣2）2＝2，
开方，得x﹣2＝，
解得：x5＝2+，x4＝2﹣；
（2）7x2+x﹣3＝7，
这里a＝2，b＝1，
∵b4﹣4ac＝18﹣4×2×（﹣5）＝25＞0，
∴x＝＝，
解得：x1＝﹣，x2＝2；
（3）4x（2x+6）＝3（2x+3），
移项，得4x（2x+6）﹣3（2x+6）＝0，
（2x+2）（4x﹣3）＝7，
2x+1＝2或4x﹣3＝5，
解得：x1＝﹣，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程的一个根是x＝﹣1，求k的值．
【分析】（1）根据题意得Δ≥0，得到关于k的一元一次不等式，解之即可；
（2）把x＝﹣1代入方程中，即可求出k的值．
【解答】解：（1）根据题意得：
Δ＝32﹣4×1×（k﹣2）＝17﹣4k≥0，
解得：k≤；
（2）∴方程的一个根是x＝﹣8，
∴1﹣3+k﹣2＝0，
解得：k＝4．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根，一元二次方程根的判别式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
21．（8分）为迎接市中小学运动会，某校举行班级乒乓球对抗赛，每个班选派1对男女混合双打选手参赛
（1）画树状图或列表列出所有等可能的配对结果；
（2）如果小明与小敏、小强与小华是最佳组合，那么组成最佳组合的概率是多少？
【分析】（1）根据题意画出表格，然后根据表格解答即可；
（2）根据概率公式列式进行计算即可得解．
【解答】解：（1）列表得：
 
男
男
女
女
女
男
﹣﹣﹣
（男，男）
（女，男）
（女，男）
（女，男）
男
（男，男）
﹣﹣﹣
（女，男）
（女，男）
（女，男）
女
（男，女）
（男，女）
﹣﹣﹣
（女，女）
（女，女）
女
（男，女）
（男，女）
（女，女）
﹣﹣﹣
（女，女）
女
（男，女）
（男，女）
（女，女）
（女，女）
﹣﹣﹣
由列表可知所有情况有20种；一男一女的情况共12种；
（2）由（1）可知小明与小敏、小强与小华组合有4种＝．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．（8分）如图所示，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为17m）
（1）若围成的面积为144m2，试求出自行车车棚的长和宽；
（2）能围成面积为160m2的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能

【分析】（1）设AB＝xm，则BC＝（34﹣2x）m，根据矩形车棚的面积为144m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合可利用的墙长为17m即可确定车棚的宽，再将其代入（34﹣2x）中可求出车棚的长；
（2）设AB＝ym，则BC＝（34﹣2y）m，根据矩形车棚的面积为160m2，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣31＜0，即可得出该方程没有实数根，即不能围成面积为160m2的自行车车棚．
【解答】解：（1）设AB＝xm，则BC＝（34﹣2x）m，
依题意得：x（34﹣2x）＝144，
整理得：x4﹣17x+72＝0，
解得：x1＝8，x2＝9．
当x＝5时，34﹣2x＝34﹣2×3＝18＞17，舍去；
当x＝9时，34﹣2x＝34﹣2×9＝16＜17．
答：自行车车棚的长为16m，宽为9m．
（2）不能，理由如下：
设AB＝ym，则BC＝（34﹣2y）m，
依题意得：y（34﹣2y）＝160，
整理得：y2﹣17y+80＝3．
∵Δ＝（﹣17）2﹣4×5×80＝﹣31＜0，
∴该方程没有实数根，
即不能围成面积为160m2的自行车车棚．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当Δ＜0，方程没有实数根”．
23．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点E是AD中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F，连接BF，DF．
（1）判断四边形ADBF的形状，并证明；
（2）当∠BAC＝90°时，直接写出四边形ADBF的形状．

【分析】（1）由条件先判定四边形ADBF是平行四边形，由等腰三角形的性质可以证明AD⊥BC，即可证明问题；
（2）由直角三角形的性质可以证明AD＝BD，由（1）知四边形ADBF是矩形，于是可以解决问题．
【解答】解：（1）四边形ADBF是矩形，
证明：∵AF∥BD，AF＝BD，
∴四边形ADBF是平行四边形，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DCE，∠EAF＝∠EDC，
∵点E是AD中点，
∴AE＝DE，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF＝DC，
∵AF＝BD，
∴BD＝DC，
∵AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴四边形ADBF是矩形；
（2）四边形ADBF是正方形，理由如下：
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵AD⊥BC，BD＝DC，
∴AD＝BC＝BD，
∴四边形ADBF又是菱形，
由（1）知四边形ADBF是矩形，
∴四边形ADBF是正方形．
【点评】本题考查矩形，正方形的判定，掌握矩形，正方形的判定方法是解题的关键．
24．（7分）已知：如图，△ABC中，D、E分别在AB、AC上，若AD＝3，BD＝6，求AE的长．

【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算得到答案．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴＝，即＝，
解得：AE＝．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
25．（8分）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足，且a+b+c＝12
【分析】令＝k．根据a+b+c＝12，得到关于k的方程，求得k值，再进一步求得a，b，c的值，从而判定三角形的形状．
【解答】解：令＝k．
∴a+4＝3k，b+7＝2k，
∴a＝3k﹣4，b＝2k﹣3．
又∵a+b+c＝12，
∴（6k﹣4）+（2k﹣4）+（4k﹣8）＝12，
∴k＝5．
∴a＝5，b＝3．
∴△ABC是直角三角形．
【点评】此题能够利用方程求得k的值，进一步求得三角形的三边长，根据勾股定理的逆定理判定三角形的形状．
26．（8分）某商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每周可卖出300件，如调整价格，每涨1元，每周销量不少于240件．
（1）每件售价最高为多少元？
（2）实际销售时，为尽快减少库存，每件在最高售价的基础上降价销售，每周销量比最低销量240件多卖20件，要使利润达到6500元
【分析】（1）设每件的售价为x元，利用每周的销售量＝300﹣10×上涨的价格，结合每周销量不少于240件，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；
（2）设每件应降价y元，则每件的销售利润为（66﹣y﹣40）元，每周的销售量为（240+20y）件，利用每周销售该商品获得的利润＝每件的销售利润×每周的销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出y值，再结合要尽快减少库存，即可得出每件应降价13元．
【解答】解：（1）设每件的售价为x元，
依题意得：300﹣10（x﹣60）≥240，
解得：x≤66．
答：每件售价最高为66元．
（2）设每件应降价y元，则每件的销售利润为（66﹣y﹣40）元，
依题意得：（66﹣y﹣40）（240+20y）＝6500，
整理得：y2﹣14y+13＝0，
解得：y8＝1，y2＝13．
又∵要尽快减少库存，
∴y＝13．
答：每件应降价13元．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
27．（8分）某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价35元，原计划以每桶55元的价格销售，现决定降价销售．已知这种消毒液销售量y（桶）与每桶降价x（元）（0＜x＜20），其图象如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）在这次助力疫情防控活动中，该药店仅获利1760元．这种消毒液每桶实际售价多少元？

【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，将点（1，110）、（3，130）代入一次函数关系式，即可求解；
（2）根据利润等于每桶的利润乘以销售量得关于x的一元二次方程，通过解方程即可求解．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为：y＝kx+b，
将点（1，110），130）代入一次函数关系式得：，
解得：，
故函数的关系式为：y＝10x+100（6＜x＜20）；
（2）由题意得：（10x+100）×（55﹣x﹣35）＝1760，
整理，得x2﹣10x﹣24＝0．
解得x4＝12，x2＝﹣2（舍去）．
所以55﹣x＝43．
答：这种消毒液每桶实际售价43元．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用以及用待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量×每件的利润＝总利润得出一元二次方程是解题关键．
28．（10分）阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则，．
材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m+n＝1，mn＝﹣1，则m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：一元二次方程2x2﹣x﹣1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝　　，x1x2＝　　．
（2）类比应用：已知一元二次方程2x2﹣x﹣1＝0的两根分别为m、n，求的值．
（3）思维拓展：已知实数s、t满足2s2﹣s﹣1＝0，2t2﹣t﹣1＝0，且s≠t，求的值．
【分析】（1）利用根与系数的关系即可解决问题．
（2）将所给代数式转化为m与n的和、积的形式即可解决问题．
（3）将s和t看作方程2x2﹣x﹣1＝0的两个根即可解决问题．
【解答】解：（1）∵一元二次方程2x2﹣x﹣8＝0的两个根为x1，x7，
∴．
故答案为：．
（2）∵一元二次方程2x2﹣x﹣8＝0的两根分别为m、n，
∴m+n＝，mn＝．
∴＝＝．
故的值为．
（3）由题知，
s和t可看成方程2x3﹣x﹣1＝0的两个实数根，
∴s+t＝，st＝．
∵（t﹣s）2＝（t+s）2﹣6st，
∴（t﹣s）2＝＝，
∴t﹣s＝±．
所以＝＝＝±2．
故的值为±7．
【点评】本题考查根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系及巧妙使用整体思想是解题的关键．
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