甘肃省张掖市甘州区育才中学2022-2023学年七年级下学期期末数学试卷

这是一份甘肃省张掖市甘州区育才中学2022-2023学年七年级下学期期末数学试卷，共23页。

2022-2023学年甘肃省张掖市甘州区育才中学七年级（下）期末数学试卷
一.选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列手机软件图标中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）如图，已知∠1＝∠2，要说明△ABD≌△ACD，错误的选法是（　　）

A．∠ADB＝∠ADC B．∠B＝∠C C．DB＝DC D．AB＝AC
3．（3分）如图，在锐角△ABC中，CD，AC边上的高，且CD，若∠A＝50°，则∠BPC＝（　　）

A．150° B．130° C．120° D．100°
4．（3分）如果等腰三角形两边长是6和3，那么它的周长是（　　）
A．9 B．12 C．15或12 D．15
5．（3分）下列能用平方差公式计算的是（　　）
A．（﹣a+b）（a﹣b） B．（x+2）（2+x）
C． D．（x﹣2）（x+1）
6．（3分）如图所示，货车匀速通过隧道（隧道长大于货车长）时，货车从进入隧道至离开隧道的时间x与货车在隧道内的长度y之间的关系用图象描述大致是（　　）


A． B．
C． D．
7．（3分）一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，投掷一次（　　）
A． B． C． D．
8．（3分）如图，下列条件中，不能判断AD∥BE的是（　　）

A．∠1＝∠4 B．∠B＝∠5
C．∠D＝∠5 D．∠BAD+∠B＝180°
9．（3分）如图，△ABC中，AB＝5，BC＝4，边AB的垂直平分线交AC于点D（　　）

A．8 B．9 C．10 D．11
10．（3分）实数m满足（m﹣2020）2+（2021﹣m）2＝15，则（m﹣2020）（2021﹣m）的值是（　　）
A．0 B．1 C．﹣7 D．2
二.填空题：（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
11．（4分）人体中，红细胞的平均半径是0.0000036米，则用科学记数法可表示为　 　米．
12．（4分）计算：（x2y）2的结果是 　 　．
13．（4分）已知∠α＝27°，则∠α的余角的度数是 　 　．
14．（4分）如图，想在河堤两岸搭建一座桥，图中搭建方式中，理由　 　．

15．（4分）如图，地上画了两个半径分别为1m和3m的同心圆．假设用小石子投中圆形区域上的每一点是等可能的（若投中圆的边界或没有投中圆形区域，则重投1次），任意投掷小石子一次　 　．

16．（4分）若m2﹣n2＝6，m+n＝3，则＝　 　．
17．（4分）如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于E2，AB＝8cm，BC＝10cm，则DE＝　 　cm．

18．（4分）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，则△BDM的周长的最小值为 　 　．

三、解答题：本大题共10小题，共88分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）现有三个村庄A、B、C，位置如图所示，线段AB、BC、AC分别是连通两个村庄之间的公路．先要修一个水站P，并且到公路AB、AC的距离也相等，请在图中作出水站P的位置．
（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．）

20．（16分）计算：
（1）（2x+3）2；
（2）（9x3y2﹣6x2y+3xy2）÷（﹣3xy）；
（3）（2018﹣3.14）0+（﹣1）2018﹣（）﹣1；
（4）20162﹣2015×2017．
21．（6分）化简求值：（2x﹣1）2﹣（2x+1）（2x﹣1），其中x＝2．
22．（6分）如图，AE平分∠DAC，AE∥BC

23．（8分）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AD，∠1＝∠2．求证：BC＝DE．

24．（8分）如图，转盘被等分成六个扇形区域，并在上面依次写上数字：1、2、3、4、5、6．转盘指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止．
（1）当停止转动时，指针指向奇数区域的概率是多少？
（2）请你用这个转盘设计一个游戏（六等分扇形不变），使自由转动的转盘停止时，指针指向的区域的概率为（设计方案可用图示表示，也可以用文字表述）

25．（8分）已知：点A、E、D、C在同一条直线上，AE＝CD，EF∥BD

26．（8分）在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体
所挂物体质量x/kg
0
1
2
3
4
5
弹簧长度y/cm
18
20
22
24
26
28
（1）上述表格反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）写出弹簧长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）的关系式．
（3）当所挂重物为3kg时，弹簧有多长？不挂重物呢？
（4）若弹簧的长度为30cm时，此时所挂重物的质量是多少？（在弹簧的允许范围内）．
27．（10分）学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题．
（1）如图（1），是由边长为a，b的正方形和长为a、宽为b的长方形拼成的大正方形（1）可得等式：　 　；
（2）知识迁移：
①如图（2）是用2个小正方体和6个小长方体拼成的一个大正方体，类比（1），则可得等式：　 　；
②已知a+b＝7，a2b＝50，ab2＝20，利用①中所得等式，求代数式a3+b3的值．

28．（12分）如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A，且它们的运动速度相同．连接AQ、CP交于点M．
（1）求证：△ABQ≌△CAP；
（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由，求出它的度数．
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交于点M；


2022-2023学年甘肃省张掖市甘州区育才中学七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列手机软件图标中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形；
B、不是轴对称图形；
C、是轴对称图形；
D、不是轴对称图形．
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2．（3分）如图，已知∠1＝∠2，要说明△ABD≌△ACD，错误的选法是（　　）

A．∠ADB＝∠ADC B．∠B＝∠C C．DB＝DC D．AB＝AC
【分析】先要确定现有已知在图形上的位置，结合全等三角形的判定方法对选项逐一验证，排除错误的选项．本题中C、AB＝AC与∠1＝∠2、AD＝AD组成了SSA是不能由此判定三角形全等的．
【解答】解：A、加∠ADB＝∠ADC，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD（ASA）；
B、加∠B＝∠C∵∠1＝∠2，∠B＝∠C，是正确选法；
C、加DB＝DC，不能得出△ABD≌△ACD；
D、加AB＝AC，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD（SAS）．
故选：C．
【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，但SSA无法证明三角形全等．
3．（3分）如图，在锐角△ABC中，CD，AC边上的高，且CD，若∠A＝50°，则∠BPC＝（　　）

A．150° B．130° C．120° D．100°
【分析】根据垂直的定义和四边形的内角和是360°求得．
【解答】解：∵BE⊥AC，CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠AEB＝90°，
∴∠BPC＝∠DPE＝180°﹣50°＝130°．
故选：B．
【点评】主要考查了垂直的定义以及四边形内角和是360度．注意∠BPC与∠DPE互为对顶角．
4．（3分）如果等腰三角形两边长是6和3，那么它的周长是（　　）
A．9 B．12 C．15或12 D．15
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为6和3，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：当腰为3时，3+6＝6，因此这种情况不成立．
当腰为6时，5﹣3＜6＜7+3；
此时等腰三角形的周长为6+4+3＝15．
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
5．（3分）下列能用平方差公式计算的是（　　）
A．（﹣a+b）（a﹣b） B．（x+2）（2+x）
C． D．（x﹣2）（x+1）
【分析】根据能用平方差公式计算的式子的特点是：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、两项都是互为相反数；
B、两项都完全相同；
C、两项有一项完全相同，符合平方差公式；
D、有一项﹣2与1不同．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平方差公式的结构．解题的关键是准确认识公式，正确应用公式．
6．（3分）如图所示，货车匀速通过隧道（隧道长大于货车长）时，货车从进入隧道至离开隧道的时间x与货车在隧道内的长度y之间的关系用图象描述大致是（　　）


A． B．
C． D．
【分析】根据当货车开始进入隧道时y均匀变大，当货车完全进入隧道，y值不变且等于车长，当货车开始离开隧道时y均匀变小，逐一判断．
【解答】解：根据题意可知货车进入隧道的时间x与货车在隧道内的长度y之间的关系具体可描述为：
当货车开始进入隧道时y逐渐变大，当货车完全进入隧道，此时y不变且最大，
当货车开始离开隧道时y逐渐变小．另外货车是匀速运动，故图象呈直线型、C、D．
故选：A．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用，解决问题的关键是熟练掌握函数值随自变量变化的增减性质和均匀性．
7．（3分）一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，投掷一次（　　）
A． B． C． D．
【分析】直接得出偶数的个数，再利用概率公式求出答案．
【解答】解：∵一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字1，2，7，4，5，8，
∴朝上一面的数字是偶数的概率为：＝．
故选：C．
【点评】此题主要考查了概率公式，正确应用概率公式是解题关键．
8．（3分）如图，下列条件中，不能判断AD∥BE的是（　　）

A．∠1＝∠4 B．∠B＝∠5
C．∠D＝∠5 D．∠BAD+∠B＝180°
【分析】根据平行线的判定定理求解即可．
【解答】解：∵∠1＝∠4，
∴AD∥BE，
故A不符合题意；
∵∠B＝∠8，
∴AB∥CD，
故B符合题意；
∵∠D＝∠5，
∴AD∥BE，
故C不符合题意；
∵∠BAD+∠B＝180°，
∴AD∥BE，
故C不符合题意；
故选：B．
【点评】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
9．（3分）如图，△ABC中，AB＝5，BC＝4，边AB的垂直平分线交AC于点D（　　）

A．8 B．9 C．10 D．11
【分析】由ED是AB的垂直平分线，可得AD＝BD，又由△BDC的周长＝DB+BC+CD，即可得△BDC的周长＝AD+BC+CD＝AC+BC．
【解答】解：设AB的中垂线与AB交于点E，

∵ED是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∵△BDC的周长＝DB+BC+CD，
∴△BDC的周长＝AD+BC+CD＝AC+BC＝6+4＝10．
故选：C．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形周长的计算，掌握转化思想的应用是解题的关键．
10．（3分）实数m满足（m﹣2020）2+（2021﹣m）2＝15，则（m﹣2020）（2021﹣m）的值是（　　）
A．0 B．1 C．﹣7 D．2
【分析】设a＝m﹣2020，b＝2021﹣m，则a2+b2＝15，a+b＝1，根据完全平方公式变形即可求出所求式子的值．
【解答】解：设a＝m﹣2020，b＝2021﹣m，
∵（m﹣2020）2+（2021﹣m）2＝15，
∴a5+b2＝15，a+b＝1
∴（m﹣2020）（2021﹣m）
＝ab
＝
＝
＝×（﹣14）
＝﹣7．
故选：C．
【点评】本题考查了完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
二.填空题：（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
11．（4分）人体中，红细胞的平均半径是0.0000036米，则用科学记数法可表示为　3.6×10﹣6　米．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，n等于原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数．
【解答】解：0.000 003 6＝6.6×10﹣6．
答：用科学记数法可表示为2.6×10﹣6米．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12．（4分）计算：（x2y）2的结果是 　x4y2　．
【分析】关键积的乘方进行运算即可．
【解答】解：（x2y）2＝x6y2．
故答案为：x4y3．
【点评】本题考查了积的乘方，（ab）m＝ambm．
13．（4分）已知∠α＝27°，则∠α的余角的度数是 　63°　．
【分析】根据余角的定义进行计算，即可解答．
【解答】解：∵∠α＝27°，
∴∠α的余角＝90°°﹣27°＝63°，
故答案为：63°．
【点评】本题考查了余角和补角，熟练掌握余角的定义是解题的关键．
14．（4分）如图，想在河堤两岸搭建一座桥，图中搭建方式中，理由　垂线段最短　．

【分析】过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．据此作答．
【解答】解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，
∵PB⊥AD，
∴PB最短．
故答案为：垂线段最短．
【点评】此题主要考查了从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短在生活中的应用．
15．（4分）如图，地上画了两个半径分别为1m和3m的同心圆．假设用小石子投中圆形区域上的每一点是等可能的（若投中圆的边界或没有投中圆形区域，则重投1次），任意投掷小石子一次　　．

【分析】用小圆的面积除以大圆的面积即可得出投中白色小圆的概率．
【解答】解：大圆的面积是32πm4，小圆的面积是12πm6，
∴投中白色小圆的概率为＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了几何概率：某随机事件的概率＝这个随机事件所占有的面积与总面积之比，也可以计算利用长度比或体积比计算概率．
16．（4分）若m2﹣n2＝6，m+n＝3，则＝　1　．
【分析】直接利用平方差公式求出即可．
【解答】解：∵m2﹣n2＝8，m+n＝3，
∴（m﹣n）（m+n）＝6，
则m﹣n的值是4，
∴＝1．
故答案为：7．
【点评】此题主要考查了平方差公式的运用，熟练利用公式法求出答案是解题的关键．
17．（4分）如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于E2，AB＝8cm，BC＝10cm，则DE＝　3　cm．

【分析】作DF⊥BC于F，设DE为x，根据角平分线的性质得到 DE＝DF＝x，根据三角形的面积公式列出方程，解方程即可．
【解答】解：作DF⊥BC于F，

设DE为x，
∵BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE＝DF＝x，
∴×AB×DE+，
即4x+8x＝27，
解得x＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
18．（4分）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，则△BDM的周长的最小值为 　8　．

【分析】连接AD交EF与点M′，连接AM，由线段垂直平分线的性质可知AM＝MB，则BM+DM＝AM+DM，故此当A、M、D在一条直线上时，MB+DM有最小值，然后依据等腰三角形三线合一的性质可证明AD为△ABC底边上的高线，依据三角形的面积为12可求得AD的长．
【解答】解：连接AD交EF与点M′，连接AM．

∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝，解得AD＝6，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴AM＝BM．
∴BM+MD＝MD+AM．
∴当点M位于点M′处时，MB+MD有最小值．
∴△BDM的周长的最小值为DB+AD＝5+6＝8．

【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
三、解答题：本大题共10小题，共88分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）现有三个村庄A、B、C，位置如图所示，线段AB、BC、AC分别是连通两个村庄之间的公路．先要修一个水站P，并且到公路AB、AC的距离也相等，请在图中作出水站P的位置．
（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．）

【分析】直接作出线段AC的垂直平分线以及作∠BAC的平分线进而得出其交点即可得出答案．
【解答】解：如图所示：点P即为所求．

【点评】此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．
20．（16分）计算：
（1）（2x+3）2；
（2）（9x3y2﹣6x2y+3xy2）÷（﹣3xy）；
（3）（2018﹣3.14）0+（﹣1）2018﹣（）﹣1；
（4）20162﹣2015×2017．
【分析】（1）原式利用完全平方公式计算即可得到结果；
（2）原式利用多项式除单项式法则计算即可得到结果；
（3）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及乘方的意义计算即可求出值；
（4）原式变形后，利用平方差公式计算即可求出值．
【解答】解：（1）原式＝4x2+12x+5；
（2）原式＝﹣3x2y+3x﹣y；
（3）原式＝1+1﹣3＝0；
（4）原式＝20162﹣（2016﹣4）×（2016+1）
＝20162﹣（20162﹣1）
＝20162﹣20166+1
＝1．
【点评】此题考查了整式的除法，实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，平方差公式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
21．（6分）化简求值：（2x﹣1）2﹣（2x+1）（2x﹣1），其中x＝2．
【分析】先根据完全平方公式与平方差公式，合并同类项法则化简代数式，再代值计算便可．
【解答】解：原式＝4x2﹣7x+1﹣（4x2﹣1）
＝4x4﹣4x+1﹣6x2+1
＝﹣7x+2，
当x＝2时，
原式＝﹣8×2+2
＝﹣5+2
＝﹣6．
【点评】本题考查了整式的混合运算，求代数式的值，熟记乘法公式是解题的关键．
22．（6分）如图，AE平分∠DAC，AE∥BC

【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠1＝∠B，两直线平行，内错角相等可得∠2＝∠C，再根据角平分线的定义可得∠1＝∠2，故可得出结论．
【解答】证明：∵AE∥BC，
∴∠1＝∠B，∠2＝∠C，
∵AE平分∠DAC，
∴∠5＝∠2，
∴∠B＝∠C．
【点评】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等，内错角相等是解答此题的关键．
23．（8分）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AD，∠1＝∠2．求证：BC＝DE．

【分析】根据ASA证明△ADE≌△ABC；
【解答】证明：∵∠1＝∠2，
∵∠DAC+∠5＝∠2+∠DAC
∴∠BAC＝∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ADE≌△ABC（ASA）
∴BC＝DE，
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等
24．（8分）如图，转盘被等分成六个扇形区域，并在上面依次写上数字：1、2、3、4、5、6．转盘指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止．
（1）当停止转动时，指针指向奇数区域的概率是多少？
（2）请你用这个转盘设计一个游戏（六等分扇形不变），使自由转动的转盘停止时，指针指向的区域的概率为（设计方案可用图示表示，也可以用文字表述）

【分析】（1）让奇数的个数除以数的总数即为所求的概率；
（2）合理即可．
【解答】解：（1）当转盘停止转动时，指针指向数字区域1，2，2，4，5，
3的机会是均等的，故共有6种均等的结果，3，6有3种结果，
∴P（奇数）＝．
所以，转盘停止时．（4分）

（2）可在转盘的6个小扇形中，将其中的任意4个填涂成同一种颜色即可
因为转盘停止转动后，指针指向任何一个小扇形区域的机会均等，而图中有4个小扇形涂成了同一种颜色＝．（7分）
【点评】如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）＝．
25．（8分）已知：点A、E、D、C在同一条直线上，AE＝CD，EF∥BD

【分析】首先利用SAS证明△ABD≌△CEF，根据全等三角形对应角相等，可得∠A＝∠C，再根据“内错角相等，两直线平行”，即可证出AB∥CF．
【解答】证明：∵AE＝CD，
∴AE+ED＝CD+ED，
即：AD＝CE，
∵EF∥BD，
∴∠BDA＝∠CEF，
在△ABD和△CEF中，
，
∴△ABD≌△CEF（SAS），
∴∠A＝∠C，
∴AB∥CF．

【点评】此题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定，做题的关键是找出证三角形全等的条件．
26．（8分）在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体
所挂物体质量x/kg
0
1
2
3
4
5
弹簧长度y/cm
18
20
22
24
26
28
（1）上述表格反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）写出弹簧长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）的关系式．
（3）当所挂重物为3kg时，弹簧有多长？不挂重物呢？
（4）若弹簧的长度为30cm时，此时所挂重物的质量是多少？（在弹簧的允许范围内）．
【分析】（1）上述表格反映了弹簧的长度ycm与所挂物体的质量xkg这两个变量之间的关系．其中所挂物体的质量xkg是自变量，弹簧的长度ycm是因变量；
（2）设y＝kx+b，然后将表中的数据代入求解即可；
（3）从图表中直接得出当所挂重物为3kg时，弹簧的长度和不挂重物时弹簧的长度；
（4）把y＝30代入（2）中求得的函数关系式，求出x的值即可．
【解答】解：（1）上述表格反映了弹簧的长度ycm与所挂物体的质量xkg这两个变量之间的关系．其中所挂物体的质量xkg是自变量．
（2）设弹簧长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）的关系式为y＝kx+b，
将x＝0，y＝18，y＝20代入得：
k＝2，b＝18，
∴y＝5x+18．
（3）当x＝3时，y＝24，y＝18．
所以，当所挂重物为3kg时；不挂重物时．   
（4）把y＝30代入y＝7x+18，
得出：x＝6，
所以，弹簧的长度为主30cm时．
【点评】本题主要考查了函数关系式和常量与变量的知识，解答本题的关键在于熟读题意并求出弹簧的长度与所挂物体的质量之间的函数关系式．
27．（10分）学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题．
（1）如图（1），是由边长为a，b的正方形和长为a、宽为b的长方形拼成的大正方形（1）可得等式：　（a+b）2＝a2+2ab+b2　；
（2）知识迁移：
①如图（2）是用2个小正方体和6个小长方体拼成的一个大正方体，类比（1），则可得等式：　（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3　；
②已知a+b＝7，a2b＝50，ab2＝20，利用①中所得等式，求代数式a3+b3的值．

【分析】（1）从整体和部分两个方面分别用代数式表示它们的面积即可；
（2）①从整体和部分两个方面用代数式表示大正方体体积即可得出答案；②利用①中的结论代入计算即可．
【解答】解：（1）由图（1）可知，大正方形的边长为a+b2；
而这个大正方形由四个部分拼成的，这四个部分的面积和为a2+6aab+b2，
因此有（a+b）2＝a6+2ab+b2，
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b4；
（2）①由拼图可知，大立方体的边长为a+b3；
这个大立方体是由6个部分拼成的，这8个部分的体积和为a3+3a4b+3ab2+b4，
因此有（a+b）3＝a3+6a2b+3ab4+b3，
故答案为：（a+b）3＝a3+3a2b+6ab2+b3；
②由①得，
a3+b3＝（a+b）3﹣5a2b﹣3ab7
＝343﹣3×50﹣3×20
＝133，
答：代数式a3+b3的值为133．
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，认识立体图形，掌握完全平方公式的结构特征是解决问题的前提．
28．（12分）如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A，且它们的运动速度相同．连接AQ、CP交于点M．
（1）求证：△ABQ≌△CAP；
（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由，求出它的度数．
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交于点M；

【分析】（1）由等边三角形的性质得AB＝CA，∠B＝∠CAP＝60°，由点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，得AP＝BQ，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△ABQ≌△CAP；
（2）由△ABQ≌△CAP得∠BAQ＝∠ACP，则∠QMC＝∠CAQ+∠ACP＝∠CAQ+∠BAQ＝∠BAC＝60°，所以∠QMC不变，∠QMC的度数是60°．
（3）解：由等边三角形的性质得AB＝CA，∠ABQ＝∠CAP＝60°，由点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，且它们的运动速度相同，得AP＝BQ，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△ABQ≌△CAP．
【解答】（1）证明：如图1，∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝CA，∠B＝∠CAP＝60°，
∵点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，
∴AP＝BQ，
在△ABQ和△CAP中，
，
∴△ABQ≌△CAP（SAS）．
（2）解：如图1，∠QMC不变，
∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ＝∠ACP，
∴∠QMC＝∠CAQ+∠ACP＝∠CAQ+∠BAQ＝∠BAC＝60°，
∴∠QMC不变，∠QMC的度数是60°．
（3）解：如图8，△ABQ≌△CAP，
理由：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝CA，∠ABQ＝∠CAP＝60°，
∵点P、Q在运动到终点后继续在射线AB，且它们的运动速度相同，
∴AP＝BQ，
在△ABQ和△CAP中，
，
∴△ABQ≌△CAP（SAS）．
【点评】此题重点考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，此题综合性强，难度较大，证明AP＝BQ是解题的关键．
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