江苏省苏州市姑苏区振华中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试卷（10月份）

2023-2024学年江苏省苏州市姑苏区振华中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列各式中，是的二次函数是(    )

A.  B.
C.  D.

2.抛物线的顶点坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

3.若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

4.在二次函数的图象中，若随的增大而增大，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

5.在“新冠”初期，有人感染了“新冠”，经过两轮传染后共有人感染了“新冠”这两轮感染均未被发现未被隔离，则每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了人，则根据题意可列方程(    )

A.  B.
C.  D.

6.抛物线的对称轴为直线，若关于的一元二次方程为实数在的范围内有实数根，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

7.抛物线上有两点、、点为此抛物线顶点且，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

8.如图，抛物线的对称轴为，且过点，有下列结论：；；；；其中正确的结论有(    )

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.关于的方程的解是______．

10.若函数是关于的二次函数，则______．

11.将抛物线向左平移个单位后得到抛物线______ ．

12.抛物线与轴的交点坐标是______ ．

13.若，是方程的两个根，则的值为______ ．

14.如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是______．

 

15.已知函数，当时，函数的最大值是，则实数的取值范围是______．

16.若直线为常数与函数的图象恒有三个不同的交点，则常数的取值范围是______ ．

三、解答题（本大题共11小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分
用适当的方法解下列方程：
；
．

18.本小题分
已知关于的方程若该方程的一个根为，求的值及该方程的另一根．

19.本小题分
如图，抛物线交轴于点，交轴于点，对称轴是直线，求抛物线的解析式．

20.本小题分
已知关于的一元二次方程的两个根为，．
若，分别是菱形的两条对角线的长，且菱形的面积为，求的值；
若，分别为矩形的两条对角线的长，求的值．

21.本小题分
已知二次函数．
写出抛物线的开口方向及顶点坐标；
当为何值时，随的增大而减小？
把此抛物线向左移动个单位，再向下移动个单位后，得到的新抛物线是否过点，请说明理由．

22.本小题分

已知：二次函数中的和满足如表：

可求得的值为______ ；
求出这个二次函数的解析式；
画出函数图象；
当时，则的取值范围为______ ．

23.本小题分
若关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
请问一元二次方程是“倍根方程”吗？如果是，请说明理由．
若是“倍根方程”，求证：．
若关于的一元二次方程是“倍根方程”，求和的关系．

24.本小题分
已知关于的抛物线，其中为实数．
判断该抛物线与轴的交点情况，并说明理由；
若与轴平行的直线与这条抛物线相交于、两点点在点的左侧，已知点到轴的距离为，求点到轴的距离；
设这条抛物线的顶点的纵坐标为，当时，求的取值范围．

25.本小题分
某农场要建一个饲养场长方形，两面靠墙位置的墙最大可用长度为，位置的墙最大可用长度为，另两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的、、三处各留、、宽的门不用栅栏建成后栅栏总长．
若饲养场长方形的一边长为，则另一边 ______
若饲养场长方形的面积为，求边的长．
饲养场的面积能达到吗？若能达到，求出边的长；若不能达到，请说明理由．

26.本小题分
定义：如果二次函数是常数与是常数满足，，，则这两个函数互为“”函数．
写出的“”函数的表达式；
若题中的两个“”函数与正比例函数的图象只有两个交点，求的值；
如图，二次函数与互为“”函数，、分别是“”函数与图象的顶点，是“”函数与轴正半轴的交点，连接、、，若点且为直角三角形，求点的坐标．
 

27.本小题分
综合与实践
问题提出
某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，为上一点，，动点以每秒个单位的速度从点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形设点的运动时间为，正方形的面积为，探究与的关系．
初步感知
如图，当点由点运动到点时，
当时， ______ ；
关于的函数解析式为______ ．
当点由点运动到点时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图所示的图象请根据图象信息，求关于的函数解析式及线段的长．
延伸探究
若存在个时刻，，对应的正方形的面积均相等．
______ ；
当时，求正方形的面积．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：是的一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
B.不是二次函数，故本选项不符合题意；
C.，是的二次函数，故本选项符合题意；
D.
，不是二次函数，故本选项不符合题意；
故选：．
根据二次函数的定义逐个判断即可．
本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，注意：形如、、为常数，的函数，叫二次函数．

2.【答案】 

【解析】解：顶点式，顶点坐标是，
的顶点坐标是．
故选：．
直接利用顶点式的特点可写出顶点坐标．
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为．

3.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程没有实数根，
，即，
解得，
的取值范围是．
故选：．
由关于的一元二次方程没有实数根，根据的意义得到，即，然后解不等式即可得到的取值范围．
本题考查了一元二次方的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．

4.【答案】 

【解析】解：，
抛物线开口向下，对称轴为直线，
在对称轴左侧，随的增大而增大，所以，
故选：．
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，即可解答本题．
本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

5.【答案】 

【解析】解：根据题意可得：．
故选：．
设每轮传染中平均一个人传染了人，根据“有人感染了“新冠”，经过两轮传染后共有人感染了“新冠”列出方程，此题得解．
本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出等量关系．

6.【答案】 

【解析】【分析】本题考查抛物线与轴的交点，二次函数的图象及性质；能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题，借助数形结合解题是关键．
根据给出的对称轴求出函数解析式为，将一元二次方程的实数根可以看作与函数的有交点，再由的范围确定的取值范围即可求解．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线，
，
，
一元二次方程的实数根可以看作与函数的有交点，
方程在的范围内有实数根，
当时，；
当时，；
函数在时有最大值；
．
故选：．

7.【答案】 

【解析】解：时，，
时，，
点为此抛物线顶点，且，
，
，
，
，
．
故选：．
先判断出抛物线开口方向上，即可得出，进而根据，得出，即，即可求出的取值．
本题考查了二次函数图象上点坐标特征，主要利用了二次函数的增减性，根据顶点的纵坐标最大确定出抛物线开口方向是解题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向下，
，
抛物线对称轴为直线，
，
抛物线与轴交点在轴上方，
，
，正确，符合题意．
时，，
，
，
，
，正确，符合题意．
抛物线对称轴为直线，且经过点，
抛物线与轴另外一交点坐标为，
，
，正确，符合题意．
，
，
，
，
，
，错误，不符合题意．
故选：．
由图象开口方向，对称轴位置及抛物线与轴交点确定，，符号从而判断，由抛物线经过可得，再由可判断，根据抛物线对称轴为直线可得抛物线经过点，从而判断，由抛物线对称轴为直线可得，由可得，即，进而判断．
本题考查二次函数的图象，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．

9.【答案】， 

【解析】解：，
，
，
或，
，．
故答案为：，．
利用因式分解法即可得出．
本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．

10.【答案】 

【解析】【分析】
本题主要考查的是二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键．根据二次函数的定义列出方程求解即可．
【解答】
解：由是关于的二次函数，得，
解得，
故答案为：．

11.【答案】 

【解析】解：抛物线向左平移个单位后得到抛物线为：．
故答案为：．
根据“左加右减，上加下减”的法则解答即可．
本题考查二次函数的图象与几何变换，熟练平移后解析式的变化规则是解题的关键．

12.【答案】 

【解析】解：在抛物线中，令，
即，
则抛物线与轴的交点坐标是，
故答案为：．
令，求出的值，即可求出抛物线与轴的交点坐标．
本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是令，求出的值，此题难度不大．

13.【答案】 

【解析】解：，是方程的两个根，
，，
．
故答案为：．
根据根与系数的关系，即可得出、的值，整体代入此题得解．
本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程的两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．

14.【答案】或 

【解析】解：由图可知，对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，
函数图象与轴的另一交点坐标为，
的解集是或．
故答案为：或．
根据二次函数的对称性求出函数图象与轴的另一交点，再写出轴下方部分的的取值范围即可．
本题考查了二次函数与不等式，此类题目利用数形结合的思想求解更加简便．

15.【答案】 

【解析】解：函数，当时，函数的最大值是，
当时，函数取得最大值，此时，
，
故答案为：．
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得的取值范围，本题得以解决．
本题考查二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

16.【答案】 

【解析】解：如图所示：当时，，
故直线为常数与函数的图象恒有三个不同的交点，
则常数的取值范围是：．
故答案为：．
根据已知解析式画出函数图象，进而得出常数的取值范围．
此题主要考查了二次函数与反比例函数的图象，利用数形结合得出的取值范围是解题关键．

17.【答案】解：，
，
开方得：，
解得：，；
，
移项，得，
配方，得，
，
开方，得，
解得：，． 

【解析】方程两边都除以，再开方，即可得出两个一元一次方程，最后求出方程的解即可；
移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．
本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．

18.【答案】解：设方程的另一个根为，
则由根与系数的关系得：，，
解得：，，
即，方程的另一个根为． 

【解析】设方程的另一个根为，则由根与系数的关系得：，，求出即可．
本题考查了根与系数关系的关系的应用，注意：如果，是一元二次方程、、为常数，的两个根，则，．

19.【答案】解：因为抛物线的对称轴是直线，且点在抛物线上，
所以，解得．
所以抛物线的解析式为． 

【解析】根据抛物线与轴的交点坐标及对称轴即可解决问题．
本题考查用待定系数法求二次函数解析式，根据题意列出关于，的方程组是解题的关键．

20.【答案】解：由一元二次方程根与系数的关系得：，
，分别是菱形的两条对角线的长，且菱形的面积为，
，
，
解得：；
，分别为矩形的两条对角线的长，
，即一元二次方程有两个相等的实数根，
，
，
即，
解方程得：，不合题意，舍去，
的值为． 

【解析】利用一元二次方程根与系数的关系得到，，由菱形的面积等于两条对角线的长的一半建立关于的方程求得答案即可；
利用矩形的两条对角线的长相等，一元二次方程有两个相等的实数根，由建立关于的方程求得答案即可．
此题考查一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程根得判别式，熟练掌握菱形、矩形的性质是解决问题的关键．

21.【答案】解：中，，
该抛物线的开口向上，
，
顶点为；
抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时，随的增大而减小；
把此抛物线向左移动个单位，再向下移动个单位后，得到的新抛物线为：，即，
当时，，
新抛物线不过点． 

【解析】由的符号即可确定抛物线的开口方向，把一般式化成顶点式即可求得顶点坐标；
根据二次函数的性质即可得到结论；
根据“左加右减，上加下减”的法则即可确定平移后的函数解析式，然后代入点的坐标即可判断．
本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象与几何变换，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．

22.【答案】   

【解析】解：抛物线经过点和，抛物线的对称轴为直线，
当和所对应的函数值相等，
；
故答案为：；
设抛物线解析式为，
把代入得，
解得，
，
即抛物线解析式为；
如图，

当时，，
当时，有最小值，
当时，，
当时，则的取值范围为．
故答案为：．
利用表中数据和抛物线的对称性得到当和所对应的函数值相等，从而得到的值；
设交点式，然后把把代入得求出的值即可；
利用描点法画出二次函数图象；
先计算出和所对应的函数值，然后结合函数图象和二次函数的性质求解．
本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．

23.【答案】解：一元二次方程是“倍根方程”，理由如下：
，
，
或，
，，
方程是倍根方程；
证明：，
，，
当时，，即；
当时，，即；
则，即；
解：一元二次方程是倍根方程，
设方程的两根分别为，，
根据根与系数的关系得，，
，
． 

【解析】利用因式分解法解方程得到，，然后根据“倍根方程”可判断方程是倍根方程；
利用因式分解法解方程得，，再利用“倍根方程”的定义得到或，从而得到、的关系式；
设方程的两根分别为，，根据根与系数的关系得，，依此得到和的关系．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，也考查了一元二次方程解的定义．

24.【答案】解：抛物线与轴没有交点．
令，得，
因为，
所以这条抛物线与轴没有交点；
因为，
所以抛物线的对称轴为．
又与轴平行的直线与这条抛物线相交于、两点点在点的左侧，
所以、关于对称，
因为点到轴的距离为，
所以的横坐标为或．
当点的横坐标为时，点的横坐标为；
当点的横坐标为时，点的横坐标为；
所以点到轴的距离为．
，
顶点的纵坐标为，即．
对于二次函数，当，随的增大而减小，
当时，取最大值；
当，随的增大而增大，即当时，取最大值．
又时，取得最小值．
当时，的取值范围为． 

【解析】根据二次函数与一元二次方程的关系，结合根的判别式可得出交点情况．
先由点到轴的距离，可得出点的横坐标，再根据抛物线的对称性，可求出点的横坐标，即点到轴的距离．
先用表示出，再根据的取值范围求出的取值范围．
本题考查二次函数与一元二次方程之间的联系，以及由自变量的取值范围求应变量的取值范围，能根据抛物线的增减性进行分类讨论是解题的关键．

25.【答案】解：
设米，则米，
依题意得：，
解得：，．
，，
，
，
当时，米，符合题意．
答：边的长为米．
不能，理由如下：
设米，则米，
依题意得：，
整理得：．
，
该方程无实数根，
饲养场的面积不能达到． 

【解析】米．
故答案为：．
见答案．
见答案．
由木栏总长为米，即可求出的长；
设米，则米，根据饲养场矩形的面积为平方米，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值；
设米，则米，根据饲养场矩形的面积为平方米，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式，即可得出饲养场的面积不能达到平方米．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

26.【答案】解：设“”函数的表达式为．
则，，．
，，．
．
根据题意得：
，即．
判别式．
，即．
判别式．
．
设．
若，则“”函数与有四个交点；
若，则“”函数与有两个交点；
若，则“”函数与有没有交点；
，即，解得，．
故或．
由题意得““函数关于原点成中心对称；
点的坐标为．
是直角三角形，下面分情况讨论：
若，则，
即，解得．
，
．
的坐标为
若，则．
即，解得：．
的坐标为．
若，则在的负半轴，故舍去．
或．
 

【解析】本题主要考查二次函数与直角三角形的综合应用，只有熟记二次函数的图形的性质，中心对称的特点以及勾股定理，才能快速解出此类问题．
利用“”函数的定义，求出，，的值，即可求出表达式；
将与二次函数联立，得出关于的一元二次方程，根据交点个数确定的取值即可求出的值；
先由“”函数的中心对称性确定点的坐标，根据直角位置分情况讨论，然后利用勾股定理求出的坐标．

27.【答案】     

【解析】解：当时，，
又，，
．
故答案为：；
当点由点运动到点时，，
，，
．
故答案为：；
由图可得：当点运动到点处时，，当点运动到点处时，，
抛物线的顶点坐标为，

，，
，
设，将代入，得，
解得：，
，
，
在中，，
，
抛物线的解析式为；
如图，则，

，
∽，
，即，
，，
，，
存在个时刻，，对应的正方形的面积均相等，
，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
．
故答案为：；
，，，
≌，
，
，
，
，
，
．
当时，，运用勾股定理即可求得答案；
由题意得，运用勾股定理可得；
观察图象可得当点运动到点处时，，当点运动到点处时，，抛物线的顶点坐标为，由勾股定理可得，，即，设，将代入，即可求得，再利用勾股定理即可求得线段的长；
过点作于点，可证得∽，得出，可求得，，根据存在个时刻，，对应的正方形的面积均相等，可得，再证得≌，可得，列出等式即可；
证明≌，得出，建立方程求解即可得出答案．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形面积等；解题关键是添加辅助线构造全等三角形和相似三角形．