考点02 常用逻辑用语（核心考点讲与练）-2024年高考数学一轮复习核心考点讲与练（新高考专用）(解析版）

这是一份考点02 常用逻辑用语（核心考点讲与练）-2024年高考数学一轮复习核心考点讲与练（新高考专用）(解析版），共34页。试卷主要包含了充分条件，全称量词与存在量词， 含有量词的命题的否定等内容，欢迎下载使用。
考点02 常用逻辑用语（核心考点讲与练）

一、充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件

p是q的充分不必要条件
p⇒q且qp
p是q的必要不充分条件
pq且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
p q且q p
二、全称量词与存在量词
要点一、全称量词与全称命题
全称量词
全称量词：在指定范围内，表示整体或者全部的含义的量词称为全称量词.
常见全称量词：“所有的”、“任意一个”、“每一个”、“一切”、“任给”等.通常用符号“”表示，读作“对任意”.
全称命题
全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题.
一般形式：“对中任意一个，有成立”，
记作：，（其中为给定的集合，是关于的语句）.
要点诠释：有些全称命题在文字叙述上可能会省略了全称量词，例如：（1）“末位是0的整数，可以被5整除”；（2）“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”；（3）“负数的平方是正数”；都是全称命题.
要点二、存在量词与特称命题
存在量词
定义：表示个别或一部分的含义的量词称为存在量词.
常见存在量词：“有一个”，“存在一个”,“至少有一个”，“有的”,“有些”等.通常用符号“ ”表示，读作“存在 ”.
特称命题
特称命题：含有存在量词的命题，叫做特称命题.
一般形式：“存在中一个元素，有成立”，
记作：，（其中为给定的集合，是关于的语句）.
要点诠释：（1）一个特称命题中也可以包含多个变量，例如：存在使.
（2）有些特称命题也可能省略了存在量词.
（3）同一个全称命题或特称命题，可以有不同的表述
要点三、 含有量词的命题的否定
对含有一个量词的全称命题的否定
全称命题：，
的否定：，；
从一般形式来看，全称命题“对M中任意一个x，有p（x）成立”，它的否定并不是简单地对结论部分p(x)进行否定，还需对全称量词进行否定，使之成为存在量词，也即“任意”的否定为“，”.
对含有一个量词的特称命题的否定 
特称命题：，
的否定：，；
从一般形式来看，特称命题“，”，它的否定并不是简单地对结论部分进行否定，还需对存在量词进行否定，使之成为全称量词，也即“，”的否定为“，”.
要点诠释：
(1)全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题；
(2)命题的否定与命题的否命题是不同的. 
（3）正面词：等于 、 大于  、小于、   是、   都是、  至少一个  、至多一个、  小于等于
否定词：不等于、不大于、不小于、不是、不都是、 一个也没有、 至少两个 、 大于等于.

一、充要条件的两种判断方法
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断.
(2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.
二、充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.
(2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.
(3)数学定义都是充要条件.

充分条件、必要条件与充要条件
一、单选题
1．（2021·广东·普宁市普师高级中学二模）下列结论正确的是 （       ）
① “”是“对任意的正数x，均有”的充分非必要条件．
②随机变量服从正态分布，则
③线性回归直线至少经过样本点中的一个．
④若10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有
A．③④ B．①② C．①③④ D．①④
【答案】D
【分析】对①：当时，利用均值不等式可得成立；反之，对任意的正数x，均有成立，不一定成立；根据充分必要条件的定义即可判断正确；
对②：由正态分布的定义知②不正确；
对③：线性回归直线不一定经过样本点中的一个知③不正确；
对④：由平均数，中位数，众数定义，计算可判断正确.
【详解】解：①当时，由基本不等式得；但对任意的正数x，均有时，不一定成立，所以“”是“对任意的正数x，均有”的充分非必要条件，故①正确；
②因为，所以②不正确；
③线性回归直线不一定经过样本点中的一个，所以③不正确；
④因为平均数为，中位数为15，众数为17，所以，故④正确．
所以正确的为①④．
故选:D．
2．（2021·江苏南通·三模）1943年深秋的一个夜晚，年仅19岁的曹火星在晋察冀边区创作了歌曲《没有共产党就没有中国》，毛主席得知后感觉歌名的逻辑上有点问题，遂提出修改意见，将歌名改成《没有共产党就没有新中国》，今年恰好是建党100周年，请问“没有共产党”是“没有新中国”的（       ）条件．
A．充分 B．必要 C．充分必要 D．既非充分又非必要
【答案】A
【分析】直接利用充分条件的定义进行判断即可.
【详解】记条件p: “没有共产党”，条件q：“没有新中国”，由歌词知，p可推出q，故“没有共产党”是“没有新中国”的充分条件.
故选：A.
3．（2022·河北·模拟预测）设，为两个不同的平面，则的一个充分条件是（       ）
A．内有无数条直线与平行 B．，垂直于同一个平面
C．，平行于同一条直线 D．，垂直于同一条直线
【答案】D
【分析】利用空间中线面、面面的位置关系判断即可；
【详解】解：对于A：内有无数条直线与平行推不出，只有内所有直线与平行才能得出，故A错误，
对于B：，垂直于同一平面，得到或与相交，故B错误，
对于C：，平行于同一条直线，得到或与相交，故C错误，
对于D：因为垂直与同一条直线的两平面平行，故，垂直于同一条直线，故D正确．
故选：D．
4．（2022·浙江嘉兴·二模）若，，则“”是“”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用基本不等式结合充分条件和必要条件的定义即可得出答案.
【详解】解：当时，
，
当且仅当，即时，取等号，
所以，
当时，，此时，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
5．（2022·广东湛江·二模）已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，且，则“”是“”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分必要条件的定义判断．
【详解】，，只有一条垂直直线，不能得出，不充分，
当时，由于，则有，是必要的，
因此是必要不充分条件．
故选：B．
6．（2022·天津市第四中学模拟预测）设，则“”是“”的（       ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先求出两个不等式的解集，然后根据充分条件和必要条件的定义判断即可
【详解】由，得，解得，
由，得，得，
因为当时，一定成立，
而当时，不一定成立，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：A
7．（2022·北京通州·一模）若a，，则“”是“”的（        ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用重要不等式即可由“”推出“”；“”成立时，“”不一定成立，举反例证明.
【详解】，当且仅当时，取等号，
当，时，，但，
故“”是“”的充分不必要条件
故选：A
二、多选题
8．（2022·湖南·一模）下列选项中，与“”互为充要条件的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】先求出的范围，再逐项求出对应的范围，从而可得正确的选项.
【详解】的解为，
对于A，因为为的真子集，故A不符合；
对于B，因为等价于，其范围也是，故B符合；
对于C，即为，其解为，故C符合；
对于D，即，其解为，
为的真子集，故D不符合，
故选：BC.
9．（2022·湖南邵阳·一模）给出下列命题，其中正确的命题有（       ）
A．“”是“”的必要不充分条件
B．已知命题：“，”，则：“，”
C．若随机变量，则
D．已知随机变量，且，则
【答案】BCD
【分析】选项A：利用充分条件和必要条件的概念，并结合同角或终边相同的角的三角函数值相同即刻判断；选项B：利用特称命题的否定的概念即可判断；选项C：利用二项分布的期望公式即可求解；选项D：利用正态曲线的对称性即可求解.
【详解】选项A：若，则；若，则，，
从而“”是“”的充分不必要条件，故A错误；
选项B：由特称命题的否定的概念可知，B正确；
选项C：因为，所以，故C正确；
选项D：结合已知条件可知，正态曲线关于对称，
又因为，从而，解得，故D正确.
故选：BCD
10．（2020·广东·大沥高中模拟预测）关于充分必要条件，下列判断正确的有（       ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．“”是“，，成等比数列”的充分不必要条件
C．“的图象经过点”是“是幂函数”的必要不充分条件
D．“直线与平行”是“直线与的倾斜角相等”的充要条件
【答案】BC
【分析】按照必要不充分条件的定义容易判断A；
求出的等价结论，即可判断B；
根据幂函数的定义可以判断C；
考虑直线是否重合可以判断D.
【详解】因为“”是“”的必要不充分条件，所以A错误；
因为（，，均大于0），所以“”是“，，成等比数列”的充分不必要条件，所以B正确；
幂函数的图象都经过点，反之不成立，比如：，所以C正确；
若直线与平行，则直线与的倾斜角相等；若直线与的倾斜角相等，则直线与平行或重合，所以D错误.
故选：BC.
11．（2021·辽宁实验中学二模）下列四个选项中，是的充分必要条件的是（       ）．
A．， B．，
C．， D．，
【答案】ABC
【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】A．由，，可得，，反之也成立，∴是的充分必要条件；
B．由，，可得，；反之也成立，∴是的充分必要条件；
C．由，，可得，；反之也成立，∴是的充分必要条件；
D．由，，可得，；反之不成立，
例如取，．∴是的必要不充分条件．
故选：ABC．
12．（2021·重庆市育才中学二模）下列说法正确的是（       ）
A．是的充分不必要条件
B．幂函数在区间上单调递减
C．抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合
D．函数的最大值为2
【答案】ABD
【分析】由相等向量的定义和充分条件、必要条件的判定方法，可判定A正确；根据幂函数的定义和性质，可判定B正确；根据抛物线和椭圆的性质，可判定C不正确；根据三角函数的性质，可判定D正确.
【详解】对于A中，由，可得成立，反之：若，但向量与的方向不一定相同，所以向量与不一定相等，所以是的充分不必要条件，所以A正确；
对于B中，由幂函数，可得，即，
所以函数在区间上单调递减，所以B正确；
对于C中，抛物线的焦点坐标为，椭圆的右焦点的坐标为，
可得抛物线的焦点与椭圆的右焦点不重合，所以C不正确；
对于D中，由三角函数的性质，可得，
当时，可得，所以当时，函数取得最大值2，
所以D正确.
故选：ABD.
13．（2021·山东·模拟预测）下列说法正确的是（       ）
A．若，则
B．“”是“直线与直线垂直”的充分条件
C．已知回归直线方程，且，，则
D．函数的图象向左平移个单位，所得函数图象关于原点对称
【答案】AB
【分析】选项A. 由指数对数互化可得，由均值不等式可判断;选项B. 根据两直线垂直得出的值，再根据充分、必要条件的判断方法可判断；选项C. 根据回归直线一定过样本中心点可判断；选项D. 先由函数图像平移得出平移后的解析式，再判断其奇偶性可判断.
【详解】A.由，得 ，，，，， ，
所以(由于所以等号不成立)，故A正确.
B. 由两直线垂直，可得，解得或；
所以“”是“直线与直线垂直”的充分条件，故B正确.
C.回归直线一定过样本中心点，，；故C不正确.
D.将的图象向左平移个单位，可得，
函数，由，所以，
所以不是奇函数，其图像不关于原点对称，所以D不正确.
故选：AB
14．（2021·山东·沂水县第一中学模拟预测）下列说法正确的是（       ）
A．命题的否定
B．二项式的展开式的各项的系数和为32
C．已知直线平面，则“”是”的必要不充分条件
D．函数的图象关于直线对称
【答案】AD
【分析】根据特称命题的否定求解方法可判断A；令代入二项式即可求得各项的系数和，可判断B；由于直线与的关系不确定故能判断C；判断是否等于，就能判断D是否正确．
【详解】解：对于A：命题的否定，故A正确；
对于B：二项式的展开式的各项的系数和为，故B错误；
对于C：已知直线平面，由于直线与的关系不确定，
故“”是”的既不必要不充分条件，故C错误；
对于D：由于关于的对称点为，
故，满足，
故函数的图象关于直线对称，故D正确.
故选：AD．
三、解答题
15．（2020·福建三明·模拟预测）已知集合，.
(1)若，求；
(2)是的___________条件，若实数的值存在，求出
的取值范围；若不存在，说明理由.（请在①充分不必要；②必要不充分；③充要；中任选一个，补充到空白处）注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】(1)或
(2)条件选择见解析，答案见解析
【分析】（1）求出集合、，利用补集和的交集的定义可求得结果；
（2）求出集合，根据所选条件可得出集合、的包含关系，可得出关于实数的不等式组，解之即可得出结论.
(1)解：由不等式，解得，可得
当时，不等式，解得，即，
可得或，
所以或.
(2)解：由不等式，解得，
所以.
若选择条件①，则集合是的真子集，得，解得.
当时，，Ü，合乎题意；
若选择条件②，则集合是的真子集，得，解得.
当时，，则Ü，合乎题意；
若选择条件③，则集合，得无解，所以不存在满足条件③的实数.
16．（2020·广东中山·模拟预测）已知函数的定义域为，不等式的解集为集合．
（1）求集合和；
（2）已知“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）；或；（2）或．
【分析】（1）使式子有意义可得，解不等式可求出；解一元二次不等式可求出；
（2）由题意可得集合是集合的真子集，再由集合的包含关系即可求解.
【详解】（1）函数有意义，
则，解得，
所以集合，
由不等式得或，
所以集合或．
（2）因为“”是“”的充分不必要条件，
所以集合是集合的真子集，
所以或，所以或．
全称量词与存在量词
一、单选题
1．（2022·山东枣庄·一模）命题“，”的否定为（       ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】直接根据全称命题的否定求解即可.
【详解】命题“，”的否定为“，”.
故选：D.
2．（2022·江西九江·二模）已知命题p：，，则为（       ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】由否定定义求解即可.
【详解】由否定的定义可知，为，.
故选：D
3．（2022·重庆·模拟预测）下列有关命题的说法正确的是(          )
A．若，则
B．“”的一个必要不充分条件是“”
C．若命题：，，则命题：，
D．、是两个平面，、是两条直线，如果，，，那么
【答案】C
【分析】A：根据向量加法的性质即可判断；
B：根据充分条件的概念即可判断；
C：根据含有一个量词的命题的否定的改写方法判断即可；
D：根据空间线面关系即可判断.
【详解】A：若，则方向相反且，故A错误；
B：若，则，故“”是“”的充分条件，故B错误；
C：命题：，，则其否定为：，，故C正确；
D：如果，，，则无法判断α、β的位置关系，故D错误.
故选：C.
4．（2022·重庆·模拟预测）命题的否定为“，使得”，则命题为（       ）
A．
B．，使得
C．
D．，使得
【答案】C
【分析】把所给的命题否定可得命题
【详解】因为命题的否定为“，使得”，
所以命题为“”，
故选：C
二、多选题
5．（2021·辽宁·沈阳二中模拟预测）下列说法不正确的是（　　）
A．等比数列，，则
B．抛物线的焦点
C．命题“”的否定是：“”
D．两个事件，“与互斥”是“与相互对立”的充分不必要条件.
【答案】ABCD
【分析】根据等比中项的性质判断选项A；根据抛物线的性质判断选项B；根据全称命题和特称命题的关系判断选项C；根据互斥事件、对立事件的关系判断选项D；
【详解】A. 等比数列，，所以，
则，又，所以，故A错误；
B.抛物线化成标准式得：，所以其焦点，故B错误；
C.命题“”的否定是：“”,故C错误；
D.两个事件，若与互斥，则与不一定相互对立，但若与相互对立，则与一定互斥，故“与互斥”是“与相互对立”的必要不充分条件，故D错误.
故选：ABCD;
【点睛】本题中有一些易错知识点，比如抛物线的焦点在哪个坐标轴上，需要把抛物线化成标准形式再进行判断，再比如事件相互互斥和相互对立间的关系等等，在平时备考中要清楚这些易错点，谨防出错.
6．（2021·山东淄博·三模）下列说法正确的是（       ）
A．某高中为了解在校学生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为60的样本，已知该校高一、高二，高三年级学生之比为，则应从高二年级中抽取20名学生
B．线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点
C．命题“，”的否定是“，"
D．方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，方差越大，数据的离散程度越大，方差越小，数据的离散程度越小
【答案】ACD
【分析】根据分层抽样计算公式即可判断A；根据线性回归方程定义即可判断B；根据全称命题的否定原理即可判断C；根据方差定义即可判断D．
【详解】对于A，高二年级中抽取为，正确；
对于B，线性回归方程对应的直线不一定经过其样本数据点中的点，故错误；
对于C，否定是“，"正确；
对于D，方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，方差越大，数据的离散程度越大，方差越小，数据的离散程度越小，正确．
故选：ACD
三、解答题
7．（2020·海南·一模）已知，；，.
（1）若为真命题，求实数的取值范围；
（2）若与的真假性相同，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）或.
【解析】（1）即求解集为时，的取值范围，对分类讨论，结合根的判别式，即可求解；
（2）先求出为真时的范围，转化为求，再由命题的真假，求出结论.
【详解】（1）∵，∴且，
解得.所以当为真命题时，实数的取值范围是.
（2），.
又∵当时，，∴.
∵与的真假性相同.
当假假时，有，解得；
当真真时，有，解得.
∴当与的真假性相同时，可得或.
【点睛】本题考查不等式的含有量词的命题的恒成立问题，存在性问题，考查命题的真假判断，意在考查对这些知识的掌握水平和分析推理能力，属于中档题.

一、单选题
1．（2021·全国·高考真题（理））等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（       ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【分析】当时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当是递增数列时，必有成立即可说明成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．
【详解】由题，当数列为时，满足，
但是不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．
若是递增数列，则必有成立，若不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则成立，所以甲是乙的必要条件．
故选：B．
【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．
2．（2020·天津·高考真题）设，则“”是“”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.
【详解】求解二次不等式可得：或，
据此可知：是的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题.
3．（2020·山东·高考真题）已知，若集合，，则“”是“”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可求解.
【详解】当时，集合，，可得，满足充分性，
若，则或，不满足必要性，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：A.
4．（2020·北京·高考真题）已知，则“存在使得”是“”的（       ）．
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断.
【详解】(1)当存在使得时，
若为偶数，则；
若为奇数，则；
(2)当时，或，，即或，
亦即存在使得．
所以，“存在使得”是“”的充要条件.
故选：C.
【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的定义的应用，诱导公式的应用，涉及分类讨论思想的应用，属于基础题.
5．（2020·浙江·高考真题）已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的结果判断充分必要条件.
【详解】依题意是空间不过同一点的三条直线，
当在同一平面时，可能，故不能得出两两相交.
当两两相交时，设，根据公理可知确定一个平面，而，根据公理可知，直线即，所以在同一平面.
综上所述，“在同一平面”是“两两相交”的必要不充分条件.
故选：B
【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查公理和公理的运用，属于中档题.
6．（2021·湖南·高考真题）“x=1”是“”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】将代入可判断充分性,求解方程可判断必要性,即可得到结果.
【详解】将代入中可得,即“”是“”的充分条件；
由可得,即或,所以“”不是“”的必要条件,
故选:A
【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判定,属于基础题.

一、单选题
3．（2022·全国·高三专题练习）“”是“”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】结合函数定义域和单调性得到不等式组，求出所满足的的取值范围，进而判断出结果.
【详解】因为定义域为，且为增函数，又，所以，解得：，因为，而，故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
4．（2022·全国·高三专题练习）“”是“”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】直接利用充分条件和必要条件得定义判断即可
【详解】由已知条件得，
则“” “”， “”“”，
即“”是“”的必要不充分条件，
故选：.
5．（2022·全国·高三专题练习）已知圆C：，点，，则“”是“直线AB与圆C有公共点”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【分析】先求出圆心C到直线AB的距离为，利用定义法判断.
【详解】圆C：的圆心为,半径R.
由点，求出直线AB的方程为：.
所以圆心C到直线AB的距离为.
充分性：时，有，所以直线直线AB与圆C相交，有公共点，故充分性满足；
必要性：“直线AB与圆C有公共点”，则有，即“”，故必要性不满足.
所以“”是“直线AB与圆C有公共点”的充分不必要条件.
故选：A.
6．（2022·全国·高三专题练习）若向量，，则“”是“向量，夹角为钝角”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由向量，夹角为钝角可得且，不共线，然后解出的范围，然后可得答案.
【详解】若向量，夹角为钝角，则且，不共线
所以，解得且?≠−9
所以“”是“向量，夹角为钝角”的必要不充分条件
故选：B
7．（2022·全国·高三专题练习）“”是“圆上有四个不同的点到直线的距离等于1”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据直线和圆的位置关系求出，然后利用充分条件和必要条件的定义进行判断.
【详解】∵圆的半径，
若圆C上恰有4个不同的点到直线l的距离等于1，则
必须满足圆心到直线的距离
，解得.
又，
∴“”是“圆上有四个不同的点到
直线的距离等于1”的充分不必要条件.
故选：A.
8．（2022·全国·高三专题练习）“”是“过点有两条直线与圆相切”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】先由已知得点在圆外，求出的范围，再根据充分条件和必要条件的定义分析判断
【详解】由已知得点在圆外，
所以，解得，
所以“”是“过点有两条直线与圆相切”的必要不充分条件，
故选：B
9．（2022·全国·高三专题练习）设p：，q：，则p是q成立的（       ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】解不等式化简命题q，再利用充分条件、必要条件的定义直接判断作答.
【详解】解不等式得：，即，显然Ü，
所以p是q成立的必要不充分条件.
故选：C
10．（2022·全国·高三专题练习）已知，则“”是“”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】对的取值进行分类讨论，结合指数函数的单调性解不等式，利用集合的包含关系判断可得出结论.
【详解】若，由可得，此时；
若，则，不合乎题意；
若，由可得，此时.
因此，满足的的取值范围是或，
因为或Ý，
因此，“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
11．（2022·全国·高三专题练习）已知向量，，则“”是“与的夹角为钝角”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】先求出与的夹角为钝角时k的范围，即可判断.
【详解】当与的夹角为钝角时，，且与不共线，即所以且.故“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件.
故选B.
12．（2022·全国·高三专题练习）已知，则“”是“”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由及对数函数的单调性可得；将变形化同构，进而构造函数，利用导数讨论函数的单调性可得，即可得解．
【详解】由，得．
由，得．
记函数，则，
所以函数在R上单调递增，又，
则，所以．
因此“”是“”的充分不必要条件．
故选：A．
13．（2022·全国·高三专题练习）已知a，，则“”的一个必要条件是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用否定ACD选项，进而得答案.
【详解】解：对于A选项，当时，，此时，故不是的必要条件，故错误；
对于B选项，当时，成立，反之，不成立，故是的必要条件，故正确；
对于C选项，当时，，但此时，故不是的必要条件，故错误；
对于D选项，当时，，但此时，故故不是的必要条件，故错误.
故选：B
二、多选题
14．（2022·全国·高三专题练习）下列叙述正确的是（       ）
A．命题“，”的否定是“，”
B．“”是“”的充要条件
C．的展开式中的系数为
D．在空间中，已知直线满足，，则
【答案】AC
【分析】对于A运用全称命题否定形式的相关知识判断；对于B根据对数函数相关知识判断；对于C根据二项式展开式相关知识即可判断；对于D直观想象即可得出直线和的位置关系.
【详解】对于A，命题“，”为全称命题，其否定是“，”，故A正确.
对于B，充分性：当时，显然不成立，故充分性不满足；必要性：当时，
，显然此时成立，故必要性满足.所以“”是“”的必要不充分条件，故B错误.
对于C，的展开式中的系数为，故C正确.
对于D，若在空间中直线满足，，则和相交或异面或平行，故D错误.
故选：AC
15．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，设，则成立的一个充分条件是（     ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】根据函数的单调性和奇偶性可知函数为偶函数，且在上单调递增，所以在上单调递减，结合可得，举例说明即可判断选项A、B，将选项C、D变形即可判断.
【详解】函数的定义域为R，
则函数，
所以函数是偶函数，
当时，，
，
所以在上单调递增，所以在上单调递减.
若，则，即.
A：若，满足，但，故A错误；
B：若，满足，但，故B错误；
C：由可得，即，故C正确；
D：由，故D正确.
故选：CD
16．（2022·全国·高三专题练习）下列命题中，正确的有（       ）
A．线性回归直线必过样本点的中心
B．若平面平面，平面平面，则平面平面
C．“若，则”的否命题为真命题
D．若为锐角三角形，则
【答案】AD
【分析】直接利用回归直线方程和中心点的关系，面面垂直的性质定理，命题真假的判定，三角形形状的判定的应用判定A、B、C、D的结论．
【详解】解：线性回归直线必过样本点的中心，所以A正确；
若平面⊥平面，平面⊥平面，则平面与平面也可能相交，所以B不正确；
“若，则”的否命题为：若，则，显然不正确，如，，所以C不正确；
∵为锐角三角形，∴为锐角，∴，∴，
∴∴，故D正确.
故选：AD.
17．（2022·全国·高三专题练习）设，，且，则“”的一个必要条件可以是（       ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】题中为必要条件，则能推出选项，逐一判断
【详解】对于A，若，则成立；
对于B，若，则，成立；
对于C，，无法判断出；
对于D，，且，因为，所以不能得出与2的大小关系.
故选：AB
18．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则（     ）
A．有零点的充要条件是 B．当且仅当，有最小值
C．存在实数，使得在R上单调递增 D．是有极值点的充要条件
【答案】BCD
【分析】对于A，将函数有零点的问题转化为方程有根的问题，根据一元二次方程有根的条件可判断其正误；对于B，分类讨论a的取值范围，利用导数判断函数的最值情况；对于C，可举一具体实数，说明在R上单调递增，即可判断其正误；对于D，根据导数与函数极值的关系判断即可.
【详解】对于A，函数有零点方程有解，
当时，方程有一解；
当时，方程有解，
综上知有零点的充要条件是，故A错误；
对于B，由得，
当时，，在上单调递增，在上单调递减，
此时有最大值，无最小值；
当时，方程有两个不同实根，，
当时，有最小值，当时，；当时，有最小值0；
当时，且当时，，无最小值；
当时，时，，无最小值,
综上，当且仅当时，有最小值，故B正确；
对于C，因为当时，，在R上恒成立，此时在R上单调递增，故C正确；
对于D，由知，当时，是的极值点，
当，时，和都是的极值点，
当时，在R上单调递增，无极值点，
所以是有极值点的充要条件，故D正确，
故选:BCD.
【点睛】本题以函数为背景，考查二次函数、对数函数性质和利用导数研究函数单调性及最值，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数学抽象、逻辑推理和数学运算核心素养.
三、填空题
19．（2022·全国·高三专题练习）命题“，”的否定是__________________．
【答案】，
【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
【详解】解：命题为特称命题，则命题的否定为“，”，
故答案为：，．