考点15 数列综合问题（核心考点讲与练）-2024年高考数学一轮复习核心考点讲与练（新高考专用）(原卷版）

考点15  数列综合问题（核心考点讲与练）

数列应用题常见模型

(1)等差模型：如果后一个量比前一个量增加(或减少)的是同一个固定值，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差.

(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是同一个固定的非零常数，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比.

(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，应考虑an与an＋1(或者相邻三项等)之间的递推关系，或者Sn与Sn＋1(或者相邻三项等)之间的递推关系.

1.数列的应用，解题的关键是通过找到图形之间的关系，得到等比数列，求数列通项公式常用的方法：（1）由与的关系求通项公式；（2）累加法；（3）累乘法；（4）两边取到数，构造新数列法.

2.等差、等比数列的综合问题的分析，应重点分析等差、等比数列的通项及前n项和；分析等差、等比数列项之间的关系．往往用到转化与化归的思想方法．

3.数列与函数常常以函数的解析式为载体，转化为数列问题，常用的数学思想方法有“函数与方程”“等价转化”等．

4.数列与不等式问题要抓住一个中心——函数，两个密切联系：一是数列和函数之间的密切联系，数列的通项公式是数列问题的核心，函数的解析式是研究函数问题的基础；二是方程、不等式与函数的联系，利用它们之间的对应关系进行灵活的处理．

5.＂新定义＂型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.它一般分为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接＂新知识＂;（3）定义新概念.这类试题考查考生对＂新定义＂的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将＂新定义＂的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题.

6.数列与函数、不等式综合问题的求解策略：

1、已知数列的条件，解决函数问题，解决此类问题一把要利用数列的通项公式，前

项和公式，求和方法等对于式子化简变形，注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性；

2、解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题中，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等，若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决.

数列的综合应用

一、单选题

1．（2022·山东青岛·一模）我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和恰好重1斤．问原来持金多少？”．记这个人原来持金为斤，设，则（       ）

A． B．7 C．13 D．26

2．（2021·广东佛山·二模）科技创新离不开科研经费的支撑，在一定程度上，研发投入被视为衡量“创新力”的重要指标.“十三五”时期我国科技实力和创新能力大幅提升，2020年我国全社会研发经费投入达到了24426亿元，总量稳居世界第二，其中基础研究经费投入占研发经费投入的比重是6.16%.“十四五”规划《纲要草案》提出，全社会研发经费投入年均增长要大于7%，到2025年基础研究经费占比要达到8%以上，请估计2025年我国基础研究经费为（       ）

A．1500亿元左右 B．1800亿元左右 C．2200亿元左右 D．2800亿元左右

3．（2022·湖南·一模）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天（初始感染者传染个人为第一轮传染，经过一个周期后这个人每人再传染

个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据：，）（       ）

A．35 B．42 C．49 D．56

4．（2022·陕西西安·一模（理））2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽脱贫攻坚取得重大胜利！为进步巩固脱贫攻坚成果，接续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该企业2021年初有资金500万元，资金年平均增长率可达到20%．每年年底扣除下一年必须的消费资金后，剩余资金全部投入再生产为了实现5年后投入再生产的资金达到800万元的目标，每年应扣除的消费资金至多为（       ）（单位：万元，结果精确到万元）（参考数据：，）

A．83 B．60 C．50 D．44

二、双空题

5．（2022·湖北·一模）2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观.理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程

若第1个图中的三角形的周长为1，则第n个图形的周长为___________；若第1个图中的三角形的面积为1，则第n个图形的面积为___________.

三、填空题

6．（2021·辽宁铁岭·一模）赵先生准备通过某银行贷款5000元，然后通过分期付款的方式还款．银行与赵先生约定：每个月还款一次，分12次还清所有欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为，则赵先生每个月所要还款的钱数为______元．（精确到元，参考数据）

四、解答题

7．（2020·河南·一模（理））市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房，银行给小张提供了两种贷款方式.①等额本金：每月的还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每月还款额与上月还款额的差均相同；②等额本息：每个月的还款额均相同.银行规定，在贷款到账日的次月当天开始首次还款（若2019年7月7日贷款到账，则2019年8月7日首次还款）.

已知小张该笔贷款年限为20年，月利率为0.004.

（1）若小张采取等额本金的还款方式，现已得知第一个还款月应还4900元，最后一个还款月应还2510元，试计算小张该笔贷款的总利息；

（2）若小张采取等额本息的还款方式，银行规定，每月还款额不得超过家庭平均月收入的一半，已知小张家庭平均月收入为1万元，判断小张该笔贷款是否能够获批（不考虑其他因素）；

（3）对比两种还款方式，从经济利益的角度来考虑，小张应选择哪种还款方式.

参考数据：.

8．（2022·全国·模拟预测）在一个传染病流行的群体中，通常有3类人群：

在一个600人的封闭环境中，设第n天S类，I类，R类人群人数分别为，，．其中第1天，，．为了简化模型，我们约定各类人群每天转化的比例参数恒定：

(1)已知对于传染病A有，，．求，；

(2)已知对于传染病B有，，．

（Ⅰ）证明：存在常数p，q，使得是等比数列；

（Ⅱ）已知防止传染病大规模传播的关键途径至少包含：①控制感染人数；②保护易感人群．请选择一项，通过相关计算说明：实际生活中，相较于传染病A需要投入更大力量防控传染病B．

等差数列、等比数列的综合

1.（2021黑龙江省大庆第一中学高三第三次模拟）在各项不为零的等差数列中，

，数列是等比数列，且，则的值为（    ）

A．1    B．2    C．4    D．8

2.（2020贵州省遵义航天高级中学高三（最后一卷)）已知等比数列中，若，且成等差数列，则（ ）

A. 2 B. 2或32 C. 2或-32 D. -1

数列与函数

1.（2019河南省八市重点高中联盟“领军考试”高三压轴）已知函数有两个不同的零点，，-2和，三个数适当排序后既可成为等差数列，也可成为等比数列，则函数的解析式为（    ）

A．    B．

C．    D．

2.（2020上海市建平中学高三月考）已知数列满足，若存在实数，使单调递增，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

数列不等式

1.（2020山西重点中学协作体高三暑期联考）已知数列

的各项排成如图所示的三角形数阵，数阵中每一行的第一个数构成等差数列，是的前项和，且，.

(1)若数阵中从第3行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成公比为正数的等比数列，且公比相等，已知，求的值；

(2)设，当时，对任意，不等式恒成立，求的取值范围.

2.（2022河南省创新发展联盟高三联考）已知数列满足且数列是单调递增数列，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

数列新定义

1.（2020广东省广州、深圳市学调联盟高三下学期第二次调研）对于实数x，[x]表示不超过x的最大整数，已知正数列{an}满足Sn=（an），n∈N*，其中Sn为数列{an}的前n项的和，则[]=______．

2.（2022辽宁省六校高三上学期期初联考）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前项和，则下列结论正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

1.（2021年全国高考乙卷）设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．

（1）求和的通项公式；

（2）记和分别为和的前n项和．证明：．

一、单选题

1．（2022·重庆八中模拟预测）如图，将钢琴上的12个键依次记为，，，．设．若且，则，，为原位大三和弦；若且，则称，，

为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之差为（       ）

A．5 B． C．0 D．10

2．（2021·陕西咸阳·模拟预测）某城镇为改善当地生态环境，2016年初投入资金120万元，以后每年投入资金比上一年增加10万元，从2020年初开始每年投入资金比上一年增加，到2025年底该城镇生态环境建设共投资大约为（       ）

A．1600万元 B．1660万元 C．1700万元 D．1810万元

3．（2022·四川凉山·二模（文））在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元，用于自己开设的土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算每月获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需缴纳房租600元和水电费400元.余款作为资金全部用于再进货，如此继续.设第n月月底小王手中有现款为，则下列结论正确的是（       ）（参考数据：，）

①

②

③2020年小王的年利润约为40000元

④两年后，小王手中现款约达41万

A．②③④ B．②④ C．①②④ D．②③

二、多选题

4．（2022·重庆·一模）已知数列，均为递增数列，它们的前项和分别为，，且满足，，则下列结论正确的是（       ）

A． B． C． D．

5．（2022·全国·模拟预测）对于给定数列，如果存在实数t，m，对于任意的均有

成立，那么我们称数列为“M数列”，则下列说法正确的是（       ）

A．数列是“M数列”

B．数列不是“M数列”

C．若数列为“M数列”，则数列是“M数列”

D．若数列满足，，则数列是“M数列”

6．（2021·全国·模拟预测）对于首项为负数的无穷等比数列，若对任意的n，，，则称为“M数列”；若对任意的，存在，使得，则称为“L数列”.若数列的公比为q，则（       ）

A．当q<0时，是“M数列”

B．当q<0时，不是“L数列”

C．当q>0时，为“L数列”，则一定为“M数列”

D．当q>0时，为“M数列”，则一定为“L数列”

7．（2022·山东聊城·一模）在数列中，对于任意的都有，且，则下列结论正确的是（       ）

A．对于任意的，都有

B．对于任意的，数列不可能为常数列

C．若，则数列为递增数列

D．若，则当时，

8．（2021·福建·厦门一中模拟预测）记表示与实数最接近的整数，数列通项公式为，其前项和为，设，则下列结论正确的是（       ）．

A． B． C． D．

三、填空题

9．（2022·重庆八中模拟预测）已知数列满足：①仍为数列中的项；②当，且时，仍为数列中的项；③仍为数列中的项.则其通项公式可以为___________.

四、解答题

10．（2022·湖北·二模）已知正项等差数列满足：，且成等比数列．

(1)求的通项公式；

(2)设，是数列的前n项和，若对任意均有恒成立，求的最小值．

11．（2022·湖南·雅礼中学二模）已知数列{}满足∈N*，为该数列的前n项和.

(1)求证：数列{}为递增数列；

(2)求证：.

12．（2022·北京顺义·二模）设正整数数列满足．

(1)若，请写出所有可能的取值；

(2)记集合，证明：若集合存在一个元素是3的倍数，则的所有元素都是3的倍数；

(3)若为周期数列，求所有可能的取值.

13．（2021·浙江·模拟预测）已知等比数列的公比为，且，数列满足，

．

（1）求数列的通项公式．

（2）规定：表示不超过的最大整数，如，．若，，记 求的值，并指出相应的取值范围．