考点20 椭圆（核心考点讲与练）-2024年高考数学一轮复习核心考点讲与练（新高考专用）(原卷版）

考点20  椭圆（核心考点讲与练）

1.椭圆的定义

平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹（或集合）叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.

其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：

(1)若a＞c，则集合P为椭圆；

(2)若a＝c，则集合P为线段；

(3)若a＜c，则集合P为空集.

2.椭圆的标准方程和几何性质

1.椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解、掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于|F1F2|，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况.

2.求椭圆的标准方程，常采用“先定位，后定量”的方法(待定系数法).先“定位”，就是先确定椭圆和坐标系的相对位置，以椭圆的中心为原点的前提下，看焦点在哪条坐标轴上，确定标准方程的形式；再“定量”，就是根据已知条件，通过解方程(组)等手段，确定a2，b2的值，代入所设的方程，即可求出椭圆的标准方程.若不能确定焦点的位置，这时的标准方程常可设为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n)

3.解决中点弦、弦长及最值与范围问题一般利用“设而不求”的思想，通过根与系数的关系构建方程求解参数、计算弦长、表达函数.

4.求椭圆离心率的3种方法

(1)直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．

(2)构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．

(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．

椭圆的定义

一、单选题

1．（2022·内蒙古通辽·二模（理））椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上一点，若的周长为，则椭圆的离心率为（       ）

A． B． C． D．

2．（2022·天津市第四十七中学模拟预测）已知分别是椭圆和双曲线的公共的左右焦点，是的离心率，若在第一象限内的交点为，且满足，则的关系是（       ）

A． B． C． D．

3.（2021广东省深圳市高级中学等九校联考）已知椭圆的左、右焦点分别是、

，离心率为，点A是椭圆上位于x轴上方的一点，且，则直线的斜率为（    ）

A．    B．    C．    D．1

二、多选题

4．（2022·山东淄博·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为，，左右顶点分别为，．P是椭圆上异于，的点，则下列说法正确的是（       ）

A．周长为4 B．面积的最大值为

C．的最小值为 D．若面积为2，则点P横坐标为

5．（2022·山东济宁·二模）设椭圆C：的左､右焦点分别为､，上､下顶点分别为､，点P是C上异于､的一点，则下列结论正确的是（       ）

A．若C的离心率为，则直线与的斜率之积为

B．若，则的面积为

C．若C上存在四个点P使得，则C的离心率的范围是

D．若恒成立，则C的离心率的范围是

三、填空题

6．（2022·宁夏·银川一中二模（文））已知椭圆C：的左焦点为，为椭圆C上任意一点，则的最小值为______．

四、解答题

7．（2022·江西景德镇·三模（文））是椭圆的右焦点，其中.点、分别为椭圆的左、右顶点，圆过点与坐标原点，是椭圆上异于、的动点，且的周长小于.

(1)求的标准方程；

(2)连接与圆交于点，若与交于点，求的取值范围.

椭圆的标准方程

一、单选题

1．（2022·全国·模拟预测（文））已知椭圆C：的右焦点为，右顶点为A，O为坐标原点，过OA的中点且与坐标轴垂直的直线交椭圆C于M，N两点，若四边形OMAN是正方形，则C的方程为（       ）

A． B． C． D．

2.（2021福建省莆田市第十五中学二模）阿基米德(公元前年—公元前年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“通近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆的离心率为，面积为则椭圆的方程为（    ）

A．    B．    C．    D．

二、多选题

3．（2022·辽宁·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，（如图），离心率为，过的直线垂直于x轴，且在第二象限中交E于点A，直线交E于点B（异于点A），则下列说法正确的是（       ）

A．若椭圆E的焦距为2，则短轴长为

B．的周长为4a

C．若的面积为12，则椭圆E的方程为

D．与的面积的比值为

4．（2022·重庆八中模拟预测）如图所示，用一个与圆柱底面成角的平面截圆柱，截面是一个椭圆.若圆柱的底面圆半径为2，，则（       ）

A．椭圆的长轴长等于4

B．椭圆的离心率为

C．椭圆的标准方程可以是

D．椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为

5．（2022·全国·模拟预测）已知O为坐标原点，椭圆E的方程为，离心率为，为E上一点，过点A作两条直线分别与E交于B，C两点，且直线AB与直线AC

的倾斜角互补，则下列结论正确的是（       ）

A．椭圆E的长轴长为

B．直线BC的斜率为定值

C．点O到直线BC的距离为定值

D．若，则直线BC的方程为

三、填空题

6．（2022·辽宁鞍山·二模）在平面直角坐标系中，△ABC满足A(-1，0)，B(1，0)，，，∠ACB的平分线与点P的轨迹相交于点I，存在非零实数，使得，则顶点C的轨迹方程为________．

四、解答题

7．（2022·山东泰安·二模）已知椭圆C：过点，过其右焦点且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且．

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线l：与椭圆C交于E，F两点，线段EF的中点为Q，在y轴上是否存在定点P，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

8．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学模拟预测）已知椭圆的离心率

，且点，在椭圆上．

(1)求椭圆的方程；

(2)若椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且在椭圆位于x轴上方的部分，直线与轴交于点，点是轴上一点，，直线与椭圆交于点，若的面积为，求直线的方程．

椭圆的几何性质

1.（2021天津市第二中学高三上学期期中）已知椭圆的左右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于A，B两点，若，则椭圆离心率e的取值范围为（    ）

A．    B．

C．    D．

直线与椭圆的位置关系

1.（2022北京市一六一中学高三上学期期中）已知椭圆的左､右顶点分别为A，B，右焦点为F，直线.

（1）若椭圆W的左顶点A关于直线的对称点在直线上，求m的值；

（2）过F的直线与椭圆W相交于不同的两点C，D（不与点A，B重合），直线与直线相交于点M，求证：A，D，M三点共线.

2.（2021四川省成都市嘉祥外国语高级中学高三上学期期中）已知椭圆C： (a>b>0)的左顶点为A，右焦点为F，过点A作斜率为的直线与椭圆C相交于A，B两点，且AB⊥OB，O为坐标原点.

（1）求椭圆的离心率e；

（2）若b＝1，过点F作与直线AB平行的直线l，l与椭圆C相交于P，Q两点，

①求直线OP的斜率与直线OQ的斜率乘积；

②点M满足2＝，直线MQ与椭圆的另一个交点为N，求的值.

1.（2021年全国高考乙卷）设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则

的最大值为（    ）

A.  B.  C.  D. 2

2.（2021年全国高考乙卷）设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

3.（2021年全国新高考Ⅰ卷）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ）

A. 13 B. 12 C. 9 D. 6

4.（2021年全国高考甲卷）已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．

一、单选题

1．（2022·安徽·模拟预测（理））､是椭圆的左､右焦点，点为椭圆上一点，点在轴上，满足，若，则椭圆的离心率为（       ）

A． B． C． D．

2．（2022·湖北武汉·二模）若椭圆的离心率为，则的值为（       ）

A． B． C．或 D．或

3．（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）下列与椭圆焦点相同的椭圆是（       ）

A． B． C． D．

4．（2022·广东汕头·二模）已知椭圆C的左、右焦点分别为，，直线AB过与该椭圆交于A，B

两点，当为正三角形时，该椭圆的离心率为（       ）

A． B． C． D．

5．（2022·江苏泰州·模拟预测）我国自主研发的“嫦娥四号”探测器成功着陆月球，并通过“鹊桥”中继星传回了月球背面影像图．假设“嫦娥四号”在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，其轨道的离心率为e，设月球的半径为R，“嫦娥四号”到月球表面最近的距离为r，则“嫦娥四号”到月球表面最远的距离为（       ）

A． B．

C． D．

二、多选题

6．（2022·湖南·雅礼中学二模）已知曲线：，焦点为､ ，，过的直线与交于两点，则下列说法正确的有（       ）

A．是的一条对称轴

B．的离心率为

C．对C上任意一点P皆有

D．最大值为

7．（2022·重庆·模拟预测）“出租车几何”或“曼哈顿距离”（Manhattan Distance）是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，是种被使用在几何度量空间的几何学用语．在平面直角坐标系内，对于任意两点、，定义它们之间的“欧几里得距离”，“曼哈顿距离”为，则下列说法正确的是（       ）

A．若点为线段上任意一点，则为定值

B．对于平面上任意一点，若，则动点的轨迹长度为

C．对于平面上任意三点、、，都有

D．若、为椭圆上的两个动点，则最大值为

8．（2022·重庆·模拟预测）已知椭圆的离心率为，短轴长为，两个焦点为，点

为椭圆上一点，记，则下列结论中正确的是（       ）

A．的周长与点的位置无关

B．当时，的面积取到最大值

C．的外接圆半径最小为

D．的内切圆半径最大为

9．（2022·全国·模拟预测）双曲线的左，右焦点分别为，，点P在C上.若是直角三角形，则的面积为（       ）

A． B． C．4 D．2

三、填空题

10．（2022·全国·模拟预测）已知O为坐标原点，椭圆的左焦点为F，A为C上一点，AF与x轴垂直．若的面积为，则C的离心率为__________．

11．（2022·湖南衡阳·二模）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的第一象限的交点，且，则的取值范围是___________.

12．（2022·江苏·南京市第一中学三模）椭圆：的左、下顶点分别为，，右焦点为，中点为，为坐标原点，交于点，且，，三点共线，则的离心率为____________．

13．（2022·江苏·海安高级中学二模）如图，F1，F2是平面上两点，|F1F2|＝10，图中的一系列圆是圆心分别为F1，F2的两组同心圆，每组同心圆的半径依次是1，2，3，…，点A，B，C分别是其中两圆的公共点．请写出一个圆锥曲线的离心率的值为_____________，使得此圆锥曲线可以同时满足：

①以F1，F2为焦点；

②恰经过A，B，C中的两点．

14．（2022·天津市第四中学模拟预测）设椭圆的左焦点为F，下顶点为A，上顶点为B，是等边三角形.

（1）椭圆的离心率为___________；

（2）设直线：，过点且斜率为的直线与椭圆交于点（异于点），线段的垂直平分线与直线交于点，与直线交于点，若.

（i）___________；

（ii）已知点，点在椭圆上，若四边形为平行四边形，则椭圆的方程___________.

15．（2022·河南平顶山·模拟预测（理））已知曲线的焦距为8，则___________.

四、解答题

16．（2022·湖南衡阳·二模）设椭圆的左顶点为，上顶点为.已知椭圆的离心率为.

(1)求椭圆的方程；

(2)设为椭圆上异于点的两动点，若直线的斜率之积为.

①证明直线恒过定点，并求出该点坐标；

②求面积的最大值.

17．（2022·广东韶关·二模）已知P是离心率为 的椭圆 上任意一点，且P到两个焦点的距离之和为4．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设点A是椭圆C的左顶点，直线AP交y轴于点D，E为线段AP的中点，在x轴上是否存在定点M

，使得直线DM与OE交于Q，且点Q在一个定圆上，若存在，求点M的坐标与该圆的方程；若不存在，说明理由．

18．（2022·河北唐山·二模）已知椭圆的右焦点为F，椭圆．

(1)求的离心率；

(2)如图：直线交椭圆于A，D两点，交椭圆E于B，C两点．

①求证：；

②若，求面积的最大值．

19．（2022·广东·二模）已知椭圆C：，点为椭圆的右焦点，过点F且斜率不为0的直线交椭圆于M，N两点，当与x轴垂直时，．

(1)求椭圆C的标准方程．

(2)，分别为椭圆的左、右顶点，直线，分别与直线：交于P，Q两点，证明：四边形为菱形．