重难点01七种零点问题（核心考点讲与练）-2024年高考数学一轮复习核心考点讲与练（新高考专用）(原卷版）

这是一份重难点01七种零点问题（核心考点讲与练）-2024年高考数学一轮复习核心考点讲与练（新高考专用）(原卷版），共22页。试卷主要包含了转化思想在函数零点问题中的应用，判断函数零点个数的常用方法，函数零点的求解与判断方法等内容，欢迎下载使用。

重难点01七种零点问题（核心考点讲与练）

1.转化思想在函数零点问题中的应用
方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题.
2.判断函数零点个数的常用方法
(1)通过解方程来判断.
(2)根据零点存在性定理，结合函数性质来判断.
(3)将函数y＝f(x)－g(x)的零点个数转化为函数y＝f(x)与y＝g(x)图象公共点的个数来判断.
3.正弦型函数的零点个数问题，可先求出零点的一般形式，再根据零点的分布得到关于整数的不等式组，从而可求相应的参数的取值范围.
4.涉及含参的函数零点问题，利用导数分类讨论，研究函数的单调性、最值等，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.
5.函数零点的求解与判断方法：
（1）直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
6.对于复合函数的零点个数问题，求解思路如下：
（1）确定内层函数和外层函数；
（2）确定外层函数的零点；
（3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为、、、、，则函数的零点个数为.


题型一：零点存在定理法判断函数零点所在区间
一、单选题
1．（2022·河南河南·三模（理））若实数，，满足，，，则（       ）
A． B．
C． D．
2．（2022·黑龙江·双鸭山一中高三期末（理））函数的零点所在的区间为（       ）
A． B． C． D．
3．（2022·北京密云·高三期末）心理学家有时使用函数来测定在时间内能够记忆的量，其中A表示需要记忆的量，表示记忆率．假设一个学生有200个单词要记忆，心理学家测定在5min内该学生记忆20个单词．则记忆率所在区间为（       ）
A． B．
C． D．
4．（2022·河南焦作·一模（理））设函数的零点为，则（       ）
A． B． C． D．
5．（2021·江苏·泰州中学高三阶段练习）已知，函数的零点为，的极小值点为，则（       ）
A． B．
C． D．
6．（2022·安徽·安庆一中高三期末（理））函数的零点所在的区间为（       ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．（2022·湖北·荆州中学高三开学考试）函数在区间的最小值为，且在区间唯一的极大值点．则下列说法正确的有（       ）
A． B．
C． D．
8．（2022·全国·高三专题练习）设函数的定义域为R，如果存在常数，对于任意，都有，则称函数是“类周期函数”，T为函数的“类周期”．现有下面四个命题，正确的是（       ）
A．函数是“类周期函数”
B．函数是“类周期函数”
C．如果函数是“类周期函数”，那么“，”
D．如果“类周期函数”的“类周期”为，那么它是周期为2的周期函数
9．（2021·江西·模拟预测）已知实数，设方程的两个实数根分别为，则下列结论正确的是（       ）
A．不等式的解集为
B．不等式的解集可能为空集
C．
D．
三、填空题
10．（2022·全国·高三专题练习）下列命题中，正确的是___________．(写出所有正确命题的编号)
①在中，是的充要条件；
②函数的最大值是；
③若命题“，使得”是假命题，则；
④若函数，，则函数在区间内必有零点．
11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，且，为的导函数，下列命题：
①存在实数，使得导函数为增函数；
②当时，函数不单调；
③当时，函数在上单调递减；
④当时，函数有极值．
在以上命题中，正确的命题序号是______．
12．（2021·福建·三明一中高三学业考试）已知函数的零点，则__________．
13．（2022·全国·高三专题练习）已知，均为正实数，且满足，，则下面四个判断：①；②；③；④.其中一定成立的有__（填序号即可）.
14．（2020·湖南邵阳·三模（理））在数学中，布劳威尔不动点定理是拓朴学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石，简单来讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使，那么我们称该函数为“不动点”函数，给出下列函数：①；②③；④（）；⑤；其中为“不动点”函数的是_________.（写出所有满足条件的函数的序号）
15．（2020·全国·高三专题练习（理））函数f(x)＝1＋x－＋，g(x)＝1－x＋－，若函数F(x)＝f(x＋3)g(x－4)，且函数F(x)的零点均在[a，b](a 四、解答题
16．（2022·陕西西安·高三阶段练习（文））已知函数（e为自然对数的底数，）.
(1)若，求证：在区间内有唯一零点；
(2)若在其定义域上单调递减，求a的取值范围.
17．（2022·贵州遵义·高三开学考试（理））已知函数.
(1)讨论的导函数零点的个数；
(2)若的最小值为e，求a的取值范围.




题型二：方程法判断零点个数
一、单选题
1．（2022·福建福州·三模）已知函数，以下结论中错误的是（       ）
A．是偶函数 B．有无数个零点
C．的最小值为 D．的最大值为
2．（2022·北京·模拟预测）已知函数，且，则的零点个数为（       ）
A．个 B．个 C．个 D．个
3．（2022·安徽·芜湖一中一模（理））声音是由物体振动产生的声波，我们听到的声音中包含着正弦函数．若某声音对应的函数可近似为，则下列叙述正确的是（     ）
A．为的对称轴 B．为的对称中心
C．在区间上有3个零点 D．在区间上单调递增
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数?(?)=?+2,?<1,?+2?,?≥1.，则函数零点个数为（       ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、多选题
5．（2022·海南海口·模拟预测）已知函数，则（       ）
A．的定义域为R B． 是奇函数
C．在上单调递减 D． 有两个零点
6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，下列说法正确的是（       ）.
A．是周期函数
B．若，则（）
C．在区间上是增函数
D．函数在区间上有且仅有一个零点
7．（2022·全国·高三专题练习）若和都是定义在上的函数，且方程
有实数解，则下列式子中可以为的是（       ）
A． B．
C． D．
8．（2022·全国·高三专题练习（理））关于函数有下述四个结论，则（       ）
A．是偶函数 B．的最小值为
C．在上有4个零点 D．在区间单调递增
三、填空题
9．（2022·福建·模拟预测）已知函数，其中，若在区间(，)上恰有2个零点，则的取值范围是____________.
10．（2022·河南·襄城县教育体育局教学研究室二模（文））已知函数有3个零点，则实数m的取值范围为______．
四、解答题
11．（2022·全国·模拟预测（文））已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，证明在上有且仅有两个零点.



12．（2022·四川省高县中学校模拟预测（文））已知函数.
(1)当时，判定的零点的个数；
(2)是否存在实数，使得当时，恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.






题型三：数形结合法判段函数零点个数
一、单选题
1．（2022·安徽淮南·二模（文））已知函数，则下列关于函数的描述中，其中正确的是（       ）．
①当时，函数没有零点；
②当时，函数有两不同零点，它们互为倒数；
③当时，函数有两个不同零点；
④当时，函数有四个不同零点，且这四个零点之积为1．
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
2．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知函数，则关于的方程有个不同实数解，则实数满足（       ）
A．且 B．且
C．且 D．且
3．（2022·安徽·模拟预测（文））已知函数，若有4个零点，则实数a的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
4．（2022·河南河南·三模（理））函数的所有零点之和为（       ）
A．0 B．2 C．4 D．6
二、多选题
5．（2022·广东·普宁市华侨中学二模）对于函数，下列结论中正确的是（     ）
A．任取，都有
B．，其中；
C．对一切恒成立；
D．函数有个零点；
6．（2022·江苏·南京市宁海中学模拟预测）已知是定义在R上的偶函数，且对任意，有，当时，，则（       ）
A．是以2为周期的周期函数
B．点是函数的一个对称中心
C．
D．函数有3个零点
三、填空题
7．（2022·四川·成都七中三模（文））已知函数，则函数的零点个数是______个．
8．（2022·内蒙古呼和浩特·一模（理））下面四个命题：
①已知函数的定义域为，若为偶函数，为奇函数，则；
②存在负数，使得恰有3个零点；
③已知多项式，则；
④设一组样本数据的方差为，则数据的方差为
其中真命题的序号为___________.
9．（2022·四川成都·二模（文））定义在R上的奇函数f（x）满足，且当时，．则函数的所有零点之和为______．
10．（2022·全国·高三专题练习）已知，给出下列四个结论：
（1）若，则有两个零点；
（2），使得有一个零点；
（3），使得有三个零点；
（4），使得有三个零点．
以上正确结论的序号是 __．
四、解答题
11．（2022·北京·高三学业考试）给定集合，为定义在D上的函数，当时，，且对任意，都有___________．
从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，补充在横线处，使存在且唯一确定．
条件①：；
条件②：；
条件③：．
解答下列问题：
（1）写出和的值；
（2）写出在上的单调区间；
（3）设，写出的零点个数．







12．（2021·河北·高三阶段练习）已知函数的最小正周期为.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若先将函数图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将其图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，求方程在上根的个数.





13．（2021·辽宁·高三阶段练习）已知函数的最小正周期为．
（I）求函数的解析式；
（II）若先将函数的图象向左平移个单位长度，再将其图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的零点个数．











题型四：转化法判断函数零点个数
一、单选题
1．（2022·安徽·巢湖市第一中学高三期中（文））已知函数，则函数的零点个数为（       ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则函数的零点个数为（       ）
A．3 B．4 C．2 D．1
3．（2021·天津市实验中学滨海学校高三期中）已知函数则函数的零点个数不可能是（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2021·辽宁沈阳·高三阶段练习）对于任意正实数，关于的方程的解集不可能是（       ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（2022·江苏无锡·高三期末）高斯被人认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.有这样一个函数就是以他名字命名的：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，又称为取整函数.如：，.则下列结论正确的是（       ）
A．函数是上的单调递增函数
B．函数有个零点
C．是上的奇函数
D．对于任意实数，都有
6．（2022·全国·高三专题练习）定义域和值域均为（常数）的函数和图象如图所示，给出下列四个命题，那么，其中正确命题是（       ）

A．方程有且仅有三个解
B．方程有且仅有三个解
C．方程有且仅有九个解
D．方程有且仅有一个解
三、填空题
7．（2022·全国·高三专题练习）已知是定义在R上的奇函数，当时，=，则方程解的个数为___________.
8．（2021·全国·模拟预测）已知函数若直线与函数的图象交于A，B两点，且满足，其中O为坐标原点，则k值的个数为___________.
四、解答题
9．（2021·全国·高三专题练习）证明：函数的图象与的图象有且仅有一个公共点．



10．（2020·安徽·淮南市第五中学高三阶段练习（理））已知是定义在上的偶函数，当时，
（1）求，的值；
（2）求的解析式并画出函数的简图；
（3）讨论方程的根的情况.






题型五：零点存在定理与函数性质结合判断零点个数
一、单选题
1．（2022·广东韶关·二模）已知直线既是函数的图象的切线，同时也是函数的图象的切线，则函数零点个数为（       ）
A．0 B．1 C．0或1 D．1或2
2．（2022·天津·高三专题练习）设函数有5个不同的零点，则正实数的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数有两个零点，则的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
二、多选题
4．（2021·江苏·泰州中学高三阶段练习）已知函数f(x)＝sin(|cosx|)＋cos(|sinx|)，则以下结论正确的是（       ）
A．f(x)的图象关于直线对称 B．f(x)是最小正周期为2π的偶函数
C．f(x)在区间上单调递减 D．方程恰有三个不相等的实数根
5．（2021·湖北恩施·高三开学考试）已知函数，则以下说法正确的是（       ）
A．是偶函数
B．在上单调递增
C．当时，
D．方程有且只有两个实根
6．（2022·全国·高三专题练习）函数，则下列说法正确的有（       ）
A．函数是上的单调递增函数
B．对于任意实数，不等式恒成立
C．若，且，则
D．方程有3个不相等实数解
三、解答题
7．（2022·江西南昌·二模（文））已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若，证明：方程有且仅有一个正根.





8．（2022·河北·模拟预测）已知函数.
(1)请研究函数在上的零点个数并证明；
(2)当时，证明：.



9．（2022·全国·高三专题练习）设为实数，函数.
(1)若，求的取值范围；
(2)讨论的单调性；
(3)当时，讨论在上的零点个数.






10．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)若，求函数在上的零点个数；
(2)当时都有，求实数的取值范围.





题型六：利用函数零点（方程有根）求参数值或参数范围
一、单选题
1．（2022·四川成都·三模（理））若函数的零点为，则（       ）．
A． B．1 C． D．2
2．（2022·湖南岳阳·三模）已知函数，若不等式有且仅有2个整数解，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
3．（2022·山西·模拟预测（文））已知函数若函数有三个零点，则实数a的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
二、多选题
4．（2021·辽宁·东北育才学校二模）一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍跟随区间”；若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”.下列结论正确的是（       ）
A．若为的跟随区间，则
B．函数存在跟随区间
C．若函数存在跟随区间，则
D．二次函数存在“3倍跟随区间”
三、填空题
5．（2022·福建南平·三模）已知函数有零点，则实数___________.
6．（2022·四川·石室中学三模（文））若函数的图象关于直线对称，且直线与函数的图象有三个不同的公共点，则实数k的值为______．
四、解答题
7．（2021·辽宁·东北育才学校二模）已知二次函数满足以下条件：①经过原点;②，;③函数只有一个零点
(1)求二次函数的解析式；
(2)若函数与的图象有两个公共点，求实数的取值范围.





题型七：利用函数的交点（交点个数）求参数
一、单选题
1．（2022·河南安阳·模拟预测（理））已知函数（且），若函数的零点有5个，则实数a的取值范围为（       ）
A． B．或
C．或或 D．或
2．（2022·山东济宁·二模）已知函数，若函数有5个零点，则实数a的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·模拟预测（理））已知函数的图象关于直线对称，对，都有恒成立，当时，，当时，若函数的图象和直线有个交点，则的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．
二、多选题
4．（2022·福建莆田·三模）已知函数，函数，则下列结论正确的是（       ）
A．若有3个不同的零点，则a的取值范围是
B．若有4个不同的零点，则a的取值范围是
C．若有4个不同的零点，则
D．若有4个不同的零点，则的取值范围是
5．（2022·辽宁鞍山·二模）已知函数，若有四个不同的实数解，，，，且满足，则下列命题正确的是（       ）
A． B． C． D．
三、填空题
6．（2022·贵州毕节·三模（文））已知函数在有且仅有个零点，则的取值范围为__________．
7．（2022·福建宁德·模拟预测）已知是定义在R上的偶函数，当时，.若的图象与x轴恰有三个交点，则实数a的值为___________.
8．（2022·全国·三模（理））已知是定义在R上的奇函数，且是偶函数，当时，．设，若关于x的方程有5个不同的实根，则实数m的取值范围是__________．
9．（2022·新疆昌吉·二模（文））已知函数，若关于x的方程有三个不同的实根，则m的取值范围为______．
四、解答题
10．（2022·北京密云·高三期中）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，求证： 函数存在极小值；
(3)请直接写出函数的零点个数.