广东省深圳市名校2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题

高二数学

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一章至第二章2.1．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．在空间直角坐标系中，点与点关于平面对称，则的坐标为（    ）

A．     B．     C．     D．

2．已知向量，则（    ）

A．     B．     C．     D．

3．经过两点的直线的倾斜角为（    ）

A．     B．     C．     D．

4．在长方体中，（    ）

A．     B．     C．     D．

5．若直线的斜率大于1，则的倾斜角的取值范围为（    ）

A．     B．     C．     D．

6．在直三棱柱中，，则向量在向量上的投影向量为（    ）

A．     B．     C．     D．

7．已知直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，且的斜率为，则的斜率为（    ）

A．3或     B．3     C．或     D．

8．在三棱锥中，两两垂直，为的中点，为上更靠近点的三等分点，为的重心，则到直线的距离为（    ）

A．2     B．1     C．     D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知直线的倾斜角为，则的方向向量可能为（    ）

A．     B．     C．     D．

10．已知是空间的一个基底，则可以与向量构成空间的一个基底的向量是（    ）

A．     B．     C．     D．

11．如图，在圆台中，分别为圆的直径，，圆台的体积为为内侧上更靠近的三等分点，以为坐标原点，下底面垂直于的直线为轴，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则（    ）

A．的坐标为                  B．

C．平面的一个法向量为     D．到平面的距离为

12．在正四面体中，分别是的中点，，则（    ）

A．     B．

C．     D．异面直线与所成的角为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知分别是平面的法向量，且，则________．

14．已知点，点在轴上，为直角三角形，请写出的一个坐标：________．

15．在空间直角坐标系中，向量，则的最大值为________．

16．在三棱锥中，底面为正三角形，平面为的外心，为直线上的一动点，设异面直线与所成的角为，则的取值范围为________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

已知直线经过两点，经过两点．

（1）若，求的值；

（2）若的倾斜角互余，求的值．

18．（12分）

在空间直角坐标系中，平行四边形的三个顶点为．

（1）求的坐标；

（2）求四边形的面积．

19．（12分）

如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，底面，且．

（1）证明：．

（2）若，求二面角的余弦值．

20．（12分）

《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑中，平面平面为的中点，．

（1）设，用表示；

（2）若，求．

21．（12分）

如图，在正方体中，分别是的中点．

（1）证明：平面．

（2）在直线上是否存在点，使得平面？若存在，请指出的位置；若不存在，请说明理由．

22．（12分）

如图，为圆柱底面圆周上三个不同的点，分别为半圆柱的三条母线，且是的中点，分别为的中点．

（1）证明：平面．

（2）若是上的动点（含弧的端点），求与平面所成角的正弦值的最大值．

高二数学参考答案

1．C  B的坐标为．

2．D  ．

3．A  由题意得，所以直线的倾斜角为．

4．A  因为，所以．

5．B  设的倾斜角为，易得，由，得．

6．D  如图，过作，垂足为，过作，垂足为，连接．易得平面，所以．又平面，所以平面，则．由，得，即向量在向量上的投影向量为．

7．B  设的倾斜角为，由，得或，易得的倾斜角为锐角，所以的斜率为3．

8．C  以为原点，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，得，取，则，所以点到直线的距离为．

9．AC  由题意得的斜率为，则的方向向量可能为．

10．BC  因为，所以共面，共面，A，D错误．不存在，使得，所以不共面，B正确．不存在，使得，所以不共面，C正确．

11．ABD  由，得，则，A正确．如图，连接，

设在下底面的射影为点，易得，则，因为，所以，B正确．设平面的法向量为，则取，则，所以，C错误．

因为，所以到平面的距离为，D正确．

12．BC  ，A错误，B正确．

在正四面体中，可证，则，

则，所以，C正确．

取的中点为，连接，则，且．因为，所以，所以是以为直角的等腰直角三角形，

所以异面直线与所成的角为，且，D错误．

13．  由，得，所以，得．

14．（答案不唯一，任意一个都可以）  设，由题意得，，

当为直角时，，得的坐标为．

当为直角时，，得的坐标为．

当为直角时，，化简得，该方程无解．

15．  由题意得，则，所以的最大值为．

16．  不妨设，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，

由题意得为的中点，所以．

设，得，则，

因为，所以．

当时，．当时，，得．综上，，得．

17．解：由题意得，．

（1）若，则，得．

（2）若的倾斜角互余，则，得．

18．解：（1）设的坐标为，由题意得，

因为四边形是平行四边形，所以得

即的坐标为．

（2）由题意得，

则，

所以，得．

故四边形的面积为．

19．（1）证明：四边形为正方形，．

底面平面．

又平面平面．

平面．

（2）解：如图，以为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，

，

由（1）知平面，则平面的一个法向量为，

设平面的法向量为，

则令，得，

，

由图可知二面角是锐角，故二面角的余弦值为．

20．解：（1）连接（图略）．．

因为为的中点，，所以，

所以．

（2）因为，

所以．

因为平面平面，所以．

又，所以，即．

21．（1）证明：以为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，

．

设平面的法向量为，

则取，则，得，

平面．

（2）解：存在点，使得平面在的延长线上，且．

由题意得，

设，

则，

平面，得．

22．（1）证明：因为分别为半圆柱的三条母线，

所以，且，

所以四边形为平行四边形，所以．

又因为平面平面，

所以平面．

（2）解：记的中点为，点在平面内的投影记为，连接．

因为是半圆的中点，所以．

易知平面两两相互垂直，且．

以的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，．

点在平面内的单位圆上，其坐标不妨记为，则．

设平面的法向量为，

则即令，得．

设与平面所成的角为，

则，

当且仅当时，与平面所成角的正弦值取得最大值，且最大值为．