2024年高考数学第一轮复习专题40 等差数列、等比数列综合运用（解析版）

专题40 等差数列、等比数列综合运用 【典型例题】例1．（2023春·江苏南京·高三校联考阶段练习）已知数列是等差数列，且，将去掉一项后，剩下三项依次为等比数列的前三项，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】在等差数列中，，解得，而，即有公差，等差数列的通项，则，显然去掉，成等比数列，则数列的首项为，公比，所以.故选：C例2．（2023秋·青海西宁·高三校考期末）设等比数列的前n项和为Sn，若，，成等差数列，且，则（    ）A．-1 B．-3 C．-5 D．-7【答案】B【解析】∵，，成等差数列，∴，由题意，∴，可得，所以∴.故选: B.例3．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）下列说法正确的是（    ）A．已知数列是等差数列，则数列是等比数列B．已知数列是等比数列，则数列是等差数列C．已知数列是等差数列且，数列是等比数列，则数列是等比数列D．已知数列是等比数列且，数列是等差数列，则数列是等差数列【答案】AC【解析】设，，故A正确．中，，但中可能，不成立，故B错误．设，且，，则，为常数，故C正确．设，，，则，．当时，不恒为定值，故D错误．故选：AC例4．（2023春·安徽·高二安徽师范大学附属中学校考阶段练习）已知数列为等比数列，且，设等差数列的前n项和为，若，则__________．【答案】【解析】因为数列为等比数列，且，所以，解得或（舍）即，又因为数列为等差数列，则.故答案为:.例5．（2023·全国·模拟预测）在数列中，a2=5，数列是首项为2，公差为4的等差数列，.(1)证明：数列为等比数列；(2)求数列的前n项和Sn.【解析】（1）由题意得，即，∴.又，∴.∵，∴，则，∴数列是首项为，公比为3的等比数列.（2）由（1）得，∴∴.例6．（2023·全国·高二专题练习）已知公差不为0的等差数列满足：①，②成等比数列；③．从①②③中选择两个作为条件，证明另一个成立．【解析】选①②：设等差数列的公差为，则，又因为成等比数列，所以，即，，联立解得：．所以．所以．选①③：设等差数列的公差为，则，，联立解得：．所以，，，，，所以成等比数列．选②③：设等差数列的公差为，因为成等比数列，所以，即，，联立解得：，所以．所以．例7．（2023春·云南曲靖·高三统考阶段练习）已知等比数列满足，且，为数列的前项和.(1)求的通项公式；(2) （）能否构成等差数列，若能，则求的值；若不能，则说明理由.【解析】（1）设数列公比为，因为，所以，即，又因为，所以，即，所以；（2）假设 能构成等差数列，则，化简得，即，又，因为等号右边为奇数，且为偶数，所以必为奇数，所以，且，此时，故能构成等差数列.例8．（2023·全国·高三专题练习）设{an}是首项为1的等比数列，已知a1，3a2，9a3成等差数列，求等比数列{an}的公比.【解析】设公比为q，因为数列{an}是首项为1的等比数列，所以，且a1，3a2，9a3成等差数列，所以23a2=a1+9a3，所以6a1q=a1+9a1q2，即9q2-6q+1=0，解得q=.例9．（2023·全国·高三专题练习）已知数列是一个公比为的等比数列，是数列的前n项和，再从条件①､②､③这三个条件中选择一个作为已知，解答下列问题:条件①:成等差数列;条件②:;条件③:. (1)求数列的通项公式;(2)令，求数列的前n项和的最小值. 注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【解析】（1）选①，因为成等差数列，所以，即，又，所以，解得或（舍去），则，所以数列的通项公式.选②，当时，，即有，所以公比，而，则，所以数列的通项公式. 选③，，即有，解得或（舍去），则，所以数列的通项公式.（2）由（1）知，所以所以当时，的最小值为.例10．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项之积为.(1)求数列的通项公式;(2)设公差不为0的等差数列中，，___________，求数列的前项和.请从①； ②这两个条件中选择一个条件，补充在上面的问题中并作答.注：如果选择多个条件分别作答，则按照第一个解答计分.【解析】（1）当 时，当时，综上，；（2）若选①，设等差数列的公差为，因为，，所以，解得所以，，所以，，所以，所以，若选②，设等差数列的公差为，因为，所以，又因为，所以，解得所以，，所以，，所以，所以，例11．（2023秋·湖南湘潭·高三校联考期末）已知等差数列和等比数列满足，.(1)求数列，通项公式(2)设数列中满足，求和【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则，解得，，，解得，，即，；（2）由（1）得，.例12．（2023·四川·校联考一模）已知等差数列与正项等比数列满足．(1)求数列和的通项公式；(2)记数列的前20项的和为，数列的前n项和为，求满足的n的最小值．【解析】（1）设等差数列与正项等比数列公差，公比分别为，因为，所以，解得，所以，数列的通项公式为数列的通项公式为.（2）由（1）得，，所以，即为，即为，因为单调递增，所以，满足的正整数最小值为【技能提升训练】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列和等差数列，满足，则（   ）A． B．1 C．4 D．6【答案】D【解析】设等比数列的公比和等差数列的公差分别为.因为，所以.由题意得，又，解得，所以，所以，故选：D.2．（2023春·广西南宁·高三南宁三中校考专题练习）设等比数列的前项和为，若，且，，成等差数列，则（    ）A．7 B．12 C．15 D．31【答案】C【解析】设公比为，因为，，成等差数列，所以，则，解得：或0（舍去）.因为，所以，故.故选：C3．（2023·全国·高三专题练习）在各项均为正数的等差数列中，，若成等比数列，则公差d=（    ）A．或2 B．2 C．1或 D．1【答案】B【解析】由题意可得，即即所以由题意，则，所以所以，所以故选：B4．（2023·全国·高三专题练习）若等差数列和等比数列满足，则的公差为（    ）A．1 B． C． D．2【答案】A【解析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，又又，故选：A5．（2023·全国·高三专题练习）已知是等差数列，是各项均为正数的等比数列，且，，，则（    ）A．7 B．4 C．1 D．–2【答案】C【解析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由题意可得：，则，即，解得或（舍去），故.故选：C.6．（2023·全国·高三专题练习）等比数列的公比为，且，，成等差数列，则的前10项和为（    ）．A． B． C．171 D．【答案】A【解析】由于，，成等差数列，所以，即，解得，所以.故选：A7．（2023·全国·高三专题练习）已知公差不为0的等差数列，满足，，成等比数列，的前n项和为，则的值为（    ）A． B． C．3 D．【答案】B【解析】设等差数列的公差为，且，又满足，，成等比数列，即，可得，所以，则，所以.故选：B.8．（2023秋·广东·高三校联考阶段练习）已知等差数列与各项均为整数的等比数列的首项分别为，且，.将数列，中所有项按照从小到大的顺序排列成一个新的数列（重复的项只计一次），则数列的前40项和为（    ）A．1843 B．2077 C．2380 D．2668【答案】B【解析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由，，得到，解得，，，根据题意，，，，故，，可与一起排列，故：，故数列的前40项和为：.故选：B9．（2023·全国·高三专题练习）已知数列为等差数列，为等比数列的前n项和，且，，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】设等差数列的公差为d，由得，解得，则，所以，，设等比数列的公比为q，则，则，故选：D．10．（2023·全国·高三专题练习）已知数列是等比数列，且，，成等差数列，则公比（    ）A． B． C． D．1【答案】C【解析】因为，，成等差数列，所以，所以，所以，所以，所以.故选：C11．（2023·全国·高三专题练习）已知在等比数列中，，等差数列的前项和为，且，则（    ）A．96 B．102 C．118 D．126【答案】B【解析】在等比数列中，，，，在等差数列中，，，，故选：B．12．（2023·全国·高三专题练习）已知数列为等差数列，且，3，成等比数列，则为（    ）A．1 B． C． D．【答案】A【解析】设数列的公差为，因为，3，成等比数列，所以，所以+，所以，故选：A.13．（2023·全国·高三专题练习）已知1，，，4成等比数列，1，，，，4成等差数列，则的值是（　　）A． B． C．2 D．1【答案】B【解析】∵1，，，4成等比数列，1，，，，4成等差数列，∴，，，则．故选：B．二、多选题14．（2023春·安徽阜阳·高三阜阳市第二中学校考阶段练习）下列命题正确的是（    ）A．若均为等比数列且公比相等，则也是等比数列B．为等比数列，其前项和为，则也成等比数列C．为等差数列，则为等比数列D．的前项和为，则“”是“为递增数列”的充分不必要条件【答案】CD【解析】对于，均为等比数列且公比相等，当时,数列不是等比数列，故选项错误；对于，当等比数列为时，当为偶数时，，则不能构成等比数列，故选项错误；对于，设等差数列的公差为，则常数，所以为等差数列，则为等比数列，故选项正确；对于，数列中，对任意,，则；所以数列是递增数列，充分性成立；当数列是递增数列时，，即，所以时，，如数列；不满足题意，所以必要性不成立，则“”是“为递增数列”的充分不必要条件，故选项正确，故选：.15．（2023·全国·高三专题练习）关于等差数列和等比数列，下列四个选项中正确的有（    ）A．若数列的前n项和（a，b，c为常数），则数列为等差数列B．若数列的前n项和，则数列为等比数列C．数列是等差数列，为前n项和，则，，，…仍为等差数列D．数列是等比数列，为前n项和，则，，，…仍为等比数列【答案】BC【解析】根据题意，依次分析选项：对于选项A：因为，，当时，，所以，所以只有当时，数列成等差数列，故A错误；对于选项B：因为，，当时，，当时，，符合上式，所以，则数列成等比数列，故B正确；对于选项C：数列是等差数列，为前项和，则，，，是公差为（为的公差）的等差数列，故C正确；对于选项D：令，则，，，是常数列，显然不是等比数列，故D错误.故选：BC.16．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的公差和首项都不等于0，且，，成等比数列，则下列说法正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】AD【解析】由题设，若的公差和首项分别为，而，∴，整理得，又公差和首项都不等于0，∴，故D正确，C错误；∵，∴，故A正确，B错误.故选：AD17．（2023·全国·高三专题练习）在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是　　A．B．数列是等比数列C．D．数列是公差为2的等差数列【答案】ABC【解析】，，，，公比为整数．解得．，．，数列是公比为2的等比数列．．．数列是公差为的等差数列．综上可得：只有ABC正确．故选：ABC．三、填空题18．（2023春·江苏镇江·高三校考开学考试）在等差数列中，公差不为，，且，，成等比数列，当______时，数列的前项和有最大值.【答案】5【解析】依题意，，即，整理得，而，解得，于是得，显然数列是递减等差数列，，所以当时，数列的前项和有最大值.故答案为：5.19．（2023·全国·高三专题练习）已知是等差数列，，公差，为其前n项和，若，，成等比数列，则________．【答案】【解析】因为，，成等比数列 ，即 解得 或（舍）故答案为：20．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的公差不为零，且，，成等比数列，则________．【答案】【解析】因为等差数列的公差d不为零，则由，知，，．故答案为：.21．（2023·全国·高三专题练习）等差数列的公差为2，前n项和为，若，，构成等比数列，则___________.【答案】【解析】由题设，，则，可得，所以，故.故答案为：22．（2023·全国·高三专题练习）已知正项等差数列的前n项和为，且，若成等比数列，则等差数列的通项公式________．【答案】【解析】等差数列中，设公差为d，，∴，解得或（舍），∴．故答案为：23．（2023·全国·高三专题练习）公比不为1的等比数列中，若成等差数列，则数列的公比为__________.【答案】【解析】由题意：为等比数列，成等差数列，则，，，又因为等比数列的公比不为1，故答案为：.24．（2023·全国·高三专题练习）已知数列是等差数列，数列是等比数列，，，则______.【答案】【解析】由题意得，所以，，所以，所以，所以.故答案为：25．（2023·全国·高三专题练习）写出同时满足以下三个条件的数列的一个通项公式______．①不是等差数列，②是等比数列，③是递增数列．【答案】【解析】因是等比数列，令，当时，，，是递增数列，令是互不相等的三个正整数，且，若，，成等差数列，则，即，则有，显然、都是正整数，，都是偶数，于是得是奇数，从而有不成立，即，，不成等差数列，数列不成等差数列，所以.故答案为：26．（2023·全国·高三专题练习）等差数列的公差为2，若，，成等比数列，则______．【答案】4【解析】由题意，.故答案为：4.27．（2023秋·北京石景山·高三统考期末）等比数列中，，，成等差数列，若，则公比 __________．【答案】【解析】因为，，成等差数列，所以，可得，因为，所以，解得：，故答案为：.28．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列的前n项和，且成等差数列，则的值为___________.【答案】-2【解析】因为等比数列的前n项和，当时；；当时，，所以①，.又成等差数列，所以，即②.由①②解得，所以.故答案为：-229．（2023春·北京·高三北京二中校考开学考试）等差数列中，且，，成等比数列，数列前20项的和____【答案】200或330【解析】设数列的公差为，则，，由成等比数列，得，即，整理得，解得或，当时，；当时，，于是，故答案为200或330.30．（2023春·天津·高三校联考阶段练习）等比数列中，各项都是正数，且,,成等差数列，则=_________．【答案】【解析】等比数列中，各项都是正数，且，，成等差数列，故公比为正数且不等于1．，即，即为，解得，，故答案为：．四、解答题31．（2023春·上海普陀·高三曹杨二中校考阶段练习）设为数列的前项和，已知.(1)证明：是等差数列；(2)若，，成等比数列，求的最小值.【解析】（1）证明：因为，即 ①，当时， ②得，，即，即,所以，且，所以是以1为公差的等差数列.（2）由（1）可得，，，又，，成等比数列，所以，即，解得，所以，所以，所以当或时，取得最小值，.32．（2023秋·江苏无锡·高三统考期末）已知等差数列的前n项和为，公差，是，的等比中项，．(1)求的通项公式；(2)若数列满足，，求．【解析】（1）设公差为d，由题意得，解得，∴．（2），①，②②－①得，，∵，∴．∴．33．（2023秋·重庆·高三统考学业考试）已知等差数列的前项和为，，且、、成等比数列.(1)求；(2)求数列的前项和.【解析】（1）设等差数列的公差为，由得，解得，因为，，整理可得，解得，所以，.（2）当时，；当时，.所以，数列的前项和为.34．（2023·全国·高三专题练习）已知数列，，，数列为等比数列，满足，且，，成等差数列.(1)求数列和的通项公式；(2)记数列满足：，求数列的前项和.【解析】（1）由题意，，，，令得，又数列为等比数列，所以，即数列为公比为等比数列.所以由可得即，数列是首项为，公差为的等差数列，数列的通项公式：.由，，成等差数列，得：，，，有.（2）由（1）知，数列的奇数项是首项为3，公差为4的等差数列，偶数项是以首项为4，公比为4的等比数列..35．（2023秋·河北唐山·高三统考期末）已知是等差数列，是公比不为1的等比数列，.(1)求数列的通项公式；(2)若集合，且，求中所有元素之和.【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，依题意，解得，.所以.（2）设，即，即，因为，所以，即，由于，所以，解得，，所以中所有元素之和为.36．（2023秋·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知等比数列的首项，公比为，前项和为，且，，成等差数列.(1)求的通项；(2)若，求的前项和.【解析】（1）若，而首项，则，不合题意，故.则由可得，，所以，则.（2）由（1）可得对，其奇数次项依次构成一个首项为1，公比为4的等比数列，而偶数次项依次构成一个首项为，公差为的等差数列，当为偶数时，当为奇数时，综上，37．（2023秋·江西吉安·高三统考期末）设数列为等差数列，，数列为等比数列，其中．(1)求，的通项公式；(2)若，求的前n项和．【解析】（1）设数列的公差为d，则，由数列为等比数列可得即，∴，或，当时，，等比数列的公比，所以；当时，等比数列的公比，所以；（2）若，由（1）可得，则，又，∴，∴．38．（2023·重庆·统考一模）已知数列是各项均为正数的等比数列，设.(1)证明：数列是等差数列；(2)设数列的前5项和为35，，求数列的通项公式.【解析】（1）设的公比为，∴故，所以，故是以为公差的等差数列；（2）∵数列的前5项和为35，∴，又，故的公差2，故，即，即，故且，从而，或，所以或.39．（2023·全国·高三专题练习）已知数列是等差数列，且，前四项的和为16，数列满足，，且数列为等比数列.(1)求数列和的通项公式：(2)求数列的前项和.【解析】（1）设等差数列的公差为，的前项和为，因为，所以，整理得，解得，所以，所以，，又，，则，因为数列为等比数列，设其公比为，则，故，所以.（2）由（1）得，，所以.