2024年高考数学第一轮复习专题03 等式与不等式的性质（解析版）

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专题03等式与不等式的性质 【考点预测】1、比较大小基本方法 关系方法做差法与0比较做商法与1比较或或2、不等式的性质（1）基本性质性质性质内容对称性传递性可加性可乘性同向可加性同向同正可乘性可乘方性 【方法技巧与总结】1、应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率.2、比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性.比较法又分为作差比较法和作商比较法.作差法比较大小的步骤是：（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论.作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论.其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小.作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法.【题型归纳目录】题型一：不等式性质的应用题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围题型四：不等式的综合问题【典例例题】 题型一：不等式性质的应用例1．（2023·全国·高三专题练习）如果，那么下列不等式成立的是（　　）A． B． C． D．【答案】D【解析】由于，不妨令，，可得，，故A不正确．可得，，，故B不正确．可得，，，故C不正确．故选：D．例2．（2023·全国·高三专题练习）若非零实数a，b满足，则下列不等式一定成立的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】对于A中，由，因为，可得，因为不确定，所以A错误；对于B中，只有当不相等时，才有成立，所以B错误；对于C中，例如，此时满足，但，所以C错误；对于D中，由不等式的基本性质，当时，可得成立，所以D正确.故选：D例3．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知均为实数，则下列命题正确的是（    ）A．若则.B．若则.C．若，则D．若，则【答案】AD【解析】若，则，又，则，A选项正确；若，满足，但，不成立，B选项错误；若，，满足，但，不成立，C选项错误；，则，又，∴，即，D选项正确.故选：AD变式1．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知，则下列命题正确的是（    ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】BD【解析】当时，如，时成立，A错；若则一定有，所以时，一定有，B正确；，但，C错；，则，D正确．故选：BD．变式2．（多选题）（2023·福建三明·模拟预测）设，且，则（       ）A． B． C． D．【答案】BC【解析】因为，，所以，的符号不能确定，当时，，故A错误，因为，，所以，故B正确，因为，所以，故C正确，因为，所以，所以，所以，故D错误，故选：BC【方法技巧与总结】1、判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明．2、充分利用基本初等函数性质进行判断．3、小题可以用特殊值法做快速判断．题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式例4．（2023·全国·高一）（1）试比较与的大小；（2）已知，，求证：．【解析】（1）由题意，，所以．（2）证明：因为，所以，即，而，所以，则．得证．例5．（2023·湖南·高一课时练习）比较与的大小．【解析】,<.例6．（2023·全国·高三专题练习）设，，则s与t的大小关系是________.【答案】【解析】,.故答案为：.变式3．（2023·全国·高三专题练习）（1）已知a，b均为正实数.试比较与的大小；（2）已知a≠1且a∈R，试比较与的大小.【解析】（1）∵a，b均为正实数，∴，即≥.（2）由.①当a=0时，0，则；②当a<1且a≠0时，0，则；③当a>1时，0，则.综上，当a=0时，；当a<1且a≠0时，；当a>1时，.【方法技巧与总结】比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性.比较法又分为作差比较法和作商比较法.作差法比较大小的步骤是：（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论.作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论.其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小.作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法，作商法比较大小的原理是：若，则；；； 若，则；；.题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围例7．（2023·全国·高三专题练习）已知，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，所以，解得：，因为，所以，故选：A.例8．（2023·全国·高三专题练习）已知且满足，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】设，可得，解得，，因为可得，所以.故选：C.例9．（2023·全国·高三专题练习）已知，则的取值范围为（     ）A． B． C． D．【答案】C【解析】，故，，得故选：C变式4．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】设，则解得，∴，又，，∴即.故选：B.变式5．（2023·全国·高三专题练习）已知－3<a<－2，3<b<4，则的取值范围为（    ）A．(1，3)B．C．D．【答案】A【解析】因为－3<a<－2，所以a2∈(4，9)，而3<b<4，故的取值范围为(1，3)，故选：A．【方法技巧与总结】在约束条件下求多变量函数式的范围时，不能脱离变量之间的约束关系而独立分析每个变量的范围，否则会导致范围扩大，而只能建立已知与未知的直接关系.题型四：不等式的综合问题例10．（2023·全国·高三专题练习）已知有理数a，b，c，满足，且，那么的取值范围是_________．【答案】【解析】由于，且，所以，，，所以.故答案为：例11．（2023·全国·高三专题练习）若,则将从小到大排列为______.【答案】【解析】，不妨令，则有，有，即.故答案为：.例12．（2023·全国·高三专题练习）能够说明“设是任意实数,若,则”是假命题的一组整数的值依次为__________.【答案】【解析】，矛盾，所以−1，−2，−3可验证该命题是假命题.变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数满足，则的取值范围是_________.【答案】【解析】由题意得解得所以,因为，所以；因为，所以．两式相加得，故的取值范围是.  【过关测试】一、单选题1．（2023·上海·高三专题练习）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，则，故，A对B错；，即，当且仅当时，即当时，等号成立，CD都错.故选：A.2．（2023·全国·高三专题练习）若，，则下列不等式中一定正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】当，时，，但，故A错误；因为在是单调递增函数，所以当，则，故B正确；因为的定义域为，所以当时，不存在与，故C错误；当时，，故D错误.故选：B3．（2023·全国·高三专题练习）若，则下列不等式正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，，满足，但不满足，故A错误；，，故B错误；，，，，，故C正确；，，故D错误．故选：C．4．（2023·全国·高三专题练习）若，则下列不等式正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】对于A，若，则，所以A错误，对于B，因为，所以，所以B正确，对于C，因为，所以，所以C错误，对于D，若，则，所以D错误，故选：B5．（2023·全国·高三专题练习）已知，则下列不等式一定成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】当时，，则A错误；当时，，则B错误；当时，，则C错误；当时，，当时，，当时，，则D正确.故选：D.6．（2023·全国·高三专题练习）已知，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意知：，又，则，显然异号，又，所以.故选：B.7．（2023·全国·高三专题练习）若，且，则下列不等式中一定成立的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】A显然错误，例如，；时，由得，B错；，但时，，C错；，又，所以，D正确．故选：D．8．（2023·全国·高三专题练习）若，则下列命题正确的是（    ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】D【解析】对于A，若，则，所以A错误，对于B，若，则，所以B错误，对于C，若，则，所以C错误，对于D，因为，所以，所以，所以，所以D正确，故选：D9．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为，所以，由，得.故选：A.10．（2023·全国·高三专题练习）已知实数满足，则下列不等式恒成立的是（       ）A． B．C． D．【答案】D【解析】令，则，即.所以A选项错误；令，则，即，所以B选项错误；令，则，所以C选项错误；因为，由得，所以D选项正确.故选:D.11．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，，，所以，，，故的取值范围是，故选：C.12．（2023·全国·高三专题练习）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“< ”和“> ”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列结论错误的是（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为，则，故A正确；若，，满足，但此时，故B错；因为，由不等式的可开方性，可得，故C正确；因为函数为增函数，由可得，故D正确.故选：B.二、多选题13．（2023·全国·高三专题练习）已知，则下列不等关系中正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】CD【解析】对A，由，得，当，时，A错误；对B，当，时，B错误；对C，由，得，根据基本不等式知，C正确：对D，由，得，所以，因为，所以D正确．故选：CD．14．（2023·全国·高三专题练习）下列命题为真命题的是（    ）A．若，，则 B．若，，则C．若，则 D．若，，则【答案】AD【解析】A．由不等式的性质可知同向不等式相加，不等式方向不变，故正确；B. 当时，，故错误；C.当时，故错误；D.，因为，，，所以，故正确；故选：AD15．（2023·全国·高三专题练习）已知非零实数a，b满足，则下列不等关系一定成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】对于非零实数，满足，则，即，故A一定成立；因为，故B一定成立；又，即，所以，故C一定成立；对于D：令，，满足，此时，故D不一定成立．故选：ABC16．（2023·全国·高三专题练习）设，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】BC【解析】因为，，所以，的符号不能确定，当时，，故A错误，因为，，所以，故B正确，因为，所以，故C正确，因为，所以，所以，所以，故D错误，故选：BC17．（2023·全国·高三专题练习）若，则下列不等式中正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】选项A，由，可得，故选项A正确；选项B，由可得，而，所以，故选项B错误；选项C，由，可得，故选项C正确；选项D，由可得，而，所以，故选项D正确.故选：ACD.三、填空题18．（2023·上海·高三专题练习），，则的最小值是___________.【答案】【解析】设，则，解得，所以，，因此，的最小值是.故答案为：.19．（2023·全国·高三专题练习）已知实数、满足，，则的取值范围为______．【答案】【解析】设，则，解得，所以，因为，，所以，，所以，故答案为：.20．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则的取值范围是___________.【答案】【解析】，，，，的取值范围是：．故答案为：.21．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则的取值范围为__________．【答案】【解析】因为，所以，因为，当时，，所以，所以；当时，；当时，；综上可得，即故答案为：22．（2023·全国·高三专题练习）设、满足，则的最大值为______.【答案】【解析】，由于，，可得，，由不等式的基本性质可得，即，因此，的最大值为.故答案为：.