2024年高考数学第一轮复习专题13 函数与方程（解析版）

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专题13 函数与方程
【题型归纳目录】
题型一：求函数的零点或零点所在区间
题型二：利用函数的零点确定参数的取值范围
题型三：方程根的个数与函数零点的存在性问题
题型四：分段函数的零点问题
题型五：等高线问题
题型六：二分法
【考点预测】
一、函数的零点
对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点.
二、方程的根与函数零点的关系
方程有实数根函数的图像与轴有公共点函数有零点.
三、零点存在性定理
如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有
，那么函数在区间内有零点，即存在，使得也就是方程的根.
四、二分法
对于区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点
所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函数零点的近似值.
五、用二分法求函数零点近似值的步骤
（1）确定区间，验证，给定精度.
（2）求区间的中点.
（3）计算.若则就是函数的零点；若，则令（此时零点）.若，则令（此时零点）
（4）判断是否达到精确度，即若，则函数零点的近似值为（或）；否则重复第（2）—（4）步.
用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.
【方法技巧与总结】
函数的零点相关技巧:
①若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点.
②连续不断的函数，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号.
③连续不断的函数通过零点时，函数值不一定变号.
④连续不断的函数在闭区间上有零点，不一定能推出.
【典例例题】
题型一：求函数的零点或零点所在区间
【方法技巧与总结】
求函数零点的方法：
（1）代数法，即求方程的实根，适合于宜因式分解的多项式；（2）几何法，即利用函数的图像和性质找出零点，适合于宜作图的基本初等函数.
例1．（2023·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）函数的零点是（    ）
A． B． C． D．9
【答案】B
【解析】当时，，解得
当时，，解得
所以函数的零点为：
故选：B
例2．（2023·全国·高三专题练习）若函数的零点为2，则函数的零点是（    ）
A．0， B．0， C．0，2 D．2，
【答案】A
【解析】因为函数的零点为2，所以，
∵，，∴，∴．
令，得或．
故选：A.
例3．（2023·全国·高三专题练习）若是函数的一个零点，则的另一个零点为（    ）
A．1 B．2 C．（1，0） D．（2，0）
【答案】A
【解析】因为是函数的一个零点，所以，解得．设另一个零点为，则，解得，所以的另一个零点为1．
故选：A．
变式1．（2023·全国·高三专题练习）在下列区间中，函数的零点所在的区间为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，因为，，
由零点存在定理，故函数的零点所在的区间为
故选：C
变式2．（2023·全国·高三专题练习）函数的零点所在的区间是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数在 上单调递增，且在上连续.
因为，，
所以，
所以函数的零点所在的区间是.
故选：B
变式3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的零点在区间上，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数的定义域为，且在上单调递增，故其至多一个零点；
又，，故的零点在区间，故.
故选：．
题型二：利用函数的零点确定参数的取值范围
【方法技巧与总结】
本类问题应细致观察、分析图像，利用函数的零点及其他相关性质，建立参数关系，列关于参数的不等式，解不等式，从而获解.
例4．（2023·全国·高三专题练习）函数．若在内恰有一个零点，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当时，函数为常函数，没有零点，不满足题意，
所以为一次函数，
因为在内恰有一个零点，
所以，即，解得或.
故的取值范围是.
故选：C
例5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，恰有2个零点，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得：
作出函数的图象，如图所示，由，得，则直线与的图象恰有两个交点，数形结合得的取值范围是.
故选：B

例6．（2023·全国·高三专题练习）若关于x的方程有两个不相等的实根、，且满足，则实数t的取值范围是（    ）
A．（2，5） B．
C． D．
【答案】B
【解析】令，且，
所以只需满足且即可，
即且，解得，
故选:B.
变式4．（2023·全国·高三专题练习）若函数的零点所在的区间为，则实数a的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】易知函数在上单调递增，且函数零点所在的区间为，所以，解得．
故选：C
变式5．（2023·全国·高三专题练习）若函数f（x）＝3ax＋1－2a在区间（－1，1）内存在一个零点，则a的取值范围是（    ）
A． B． C．（－∞，－1） D．（－∞，－1）∪
【答案】D
【解析】当a＝0时，f（x）＝1与x轴无交点，不合题意，所以a≠0；
函数f（x）＝3ax＋1－2a在区间（－1，1）内是单调函数，
所以f（－1）·f（1）＜0，即（5a－1）（a＋1）＞0，
解得a＜－1或a＞.
故选：D.
变式6．（2023·全国·高三专题练习）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题可知：函数单调递增，若 一个零点在区间内，则需：，
即，解得，
故选：C.
题型三：方程根的个数与函数零点的存在性问题
【方法技巧与总结】
方程的根或函数零点的存在性问题，可以依据区间端点处函数值的正负来确定，但是要确定函数零点的个数还需要进一步研究函数在这个区间的单调性，若在给定区间上是单调的，则至多有一个零点；如果不是单调的，可继续分出小的区间，再类似做出判断.
例7．（2023·全国·高三专题练习）若偶函数满足，在时，，则关于x的方程在上根的个数是___．
【答案】4
【解析】满足，故可得，所以函数是以2为周期的周期函数，且是偶函数
根据，得该函数在[0，4]上的图象为：

再在同一坐标系中做出函数的图象，当时，，当时，，而当时，
如图，当时，两函数图象有四个交点．
所以方程在[0，4]上有4个根．
故答案为：4．
例8．（2023·全国·高三专题练习）函数 的零点个数为_________．
【答案】1
【解析】当 时， 有一个零点 ；
当 时，，无零点，
故函数 的零点个数为1个
故答案为：1
例9．（2023·全国·高三专题练习）设依次表示函数的零点，则的大小关系为______．
【答案】
【解析】函数的零点，
即为方程的解，
在坐标系中分别画出函数与的图象，
如图所示，结合图象，可得.
故答案为：.


变式7．（2023·重庆璧山·高三校联考阶段练习）已知函数，则函数的零点个数为（    ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【解析】当时，由可得，解得（舍去）；
当时，由可得，即或，解得或.
综上所述，函数的零点个数为.
故选：C.
变式8．（2023·全国·高三专题练习）函数的零点个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由题意，令，即，
则函数的零点个数，等价于两个函数与的交点个数，
与两函数的图象如下图所示：

由图知，两个函数有个交点，故函数的零点个数是.
故选：B．
变式9．（2023·全国·高三专题练习）函数定义在上的奇函数满足在，则在上的零点至少有（    ）个
A．6 B．7
C．12 D．13
【答案】D
【解析】是奇函数，故，又由得周期为1，故，又，，因此，再由周期为1，总之，有，共13个零点，
故选:D．
变式10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数则方程的解的个数是（    ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】令，得，则函数零点的个数即函数与函数的交点个数．
作出函数与函数的图像，可知两个函数图像的交点的个数为2，故方程的解的个数为2个．
故选：C．

题型四：分段函数的零点问题
【方法技巧与总结】
已知函数零点个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
例10．（2023·河北·高三统考阶段练习）已知函数若函数有3个零点，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】

要使函数有三个零点，则有三个不相等的实根，即与的图象有三个交点，
当时，在上单调递减，；
当时，在上单调递增，；
当时，在上单调递增，；
由与的图象有三个交点，结合函数图象可得，
故选：A.
例11．（2023·全国·高三专题练习）若函数有且只有2个零点，则实数a的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据题意，时，，此时
时，;时，,
所以在上单调递增，在上单调递减
时，
所以在上无零点
从而时，有2个零点，根据二次函数的性质可得

故选：D.
例12．（2023·全国·高三专题练习）若函数存在2个零点，则实数的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因函数f(x)在(1，+∞)上单调递增，且f(2)=0，即f(x)在(1，+∞)上有一个零点，
函数存在2个零点，当且仅当f(x)在(-∞，1]有一个零点，
x≤1时，，即函数在(-∞，1]上的图象与直线y=m有一个公共点，
在同一坐标系内作出直线y=m和函数的图象，如图：

而在(-∞，1]上单调递减，且有，则直线y=m和函数的图象有一个公共点，.
故选：A
题型五：等高线问题
例13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝，若互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）＝f（x2）＝f（x3），则的取值范围是（    ）
A．（） B．（1，4） C．（，4） D．（4，6）
【答案】A
【解析】画出分段函数f(x)＝的图像如图：

令互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝t，t∈（0，），
则x1∈，x2∈（0，1），x3∈（1，2），
则＝1+t+1﹣t+22t﹣2＝2+22t﹣2，
又t∈（0，），
∴∈（）．
故选：A．
例14．（2023·内蒙古乌兰察布·统考一模）函数f(x)=|x2﹣2x|，x1､x2､x3､x4满足：f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)=m，x1