2023北京东直门中学初三（上）第一次月考数学（含答案）

这是一份2023北京东直门中学初三（上）第一次月考数学（含答案），共25页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023北京东直门中学初三（上）第一次月考
数 学
（考试时长：120分钟）
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1 ~ 8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 若关于的一元二次方程的一个根为1，则的值为（ ）
A. 2 B. 3 C. －2 D. －1
3. 如图，点，，在上，是等边三角形，则的大小为（ ）

A. 60° B. 40° C. 30° D. 20°
4. 如图所示的正方形网格中有，则的值是（ ）

A. B. C. D. 1
5. 将一元二次方程通过配方转化为的形式，下列结果中正确的是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，A，B，C是某社区的三栋楼，若在中点处建一个基站，其覆盖半径为，则这三栋楼中在该基站覆盖范围内的是（ ）

A. A，B，C都不在 B. 只有
C. 只有A，C D. A，B，C
7. 如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是（ ）

A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
8. 如图，直线，点A在直线上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线，于B，C两点，以点C为圆心，长为半径画弧，与前弧交于点D（不与点B重合），连接，，，，其中交于点E．若，则下列结论：①；②；③；④，正确的是（ ）

A. ①② B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③④
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 点（﹣1，﹣3）关于原点的对称点的坐标为_____．
10. 反比例函数的图象经过，两点，则______．（填“”“”或“”）
11. “两免一补”政策让某地区2011年投入经费2500万元，预计2013年投入3600万元．设这两年投入经费年平均增长百分率为x，可列方程_____．
12. 如图，在平面直角坐标系中，射线l的端点为轴，请写出一个图象与射线l有公共点的反比例函数的表达式：_______．

13. 如图，已知反比例函数的图象经过点A，且．的面积为2，则k的值为______

14. 如图，在正方形网格中，点A，B，C在⊙O上，并且都是小正方形的顶点，P是上任意一点，则∠P的正切值为______．

15. 如图，A，B两点的坐标分别为，，将线段绕点B顺时针旋转得到线段．若点C恰好落在x轴的负半轴上，则旋转角为______°．

16. 某兴趣小组外出登山，乘坐缆车的费用如下表所示：
乘坐缆车方式
乘坐缆车费用（单位：元/人）
往返
180
单程
100

已知小组成员每个人都至少乘坐一次缆车，去程时有8人乘坐缆车，返程时有17人乘坐缆车，他们乘坐缆车的总费用是2400元，该小组共有___________人．
三、解答题（本题共68分，17题5分，18题每小题4分，第19－25题，每小题5分， 26题6分，第27，28题，每小题7分）
17. 计算：．
18. 解一元二次方程：
（1）．
（2）（公式法）
19. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦长为，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．

小明同学根据题意作于点E，交于点D．
请你参照小明同学添加辅助线的方法补充完整解题过程．
20. 已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根大于3，求的取值范围．
21. 如图，在平面直角坐标系中，已知点轴于A．

（1）画出将绕原点O逆时针旋转后所得的的，并写出点B的对应点的坐标为______；
（2）在（1）的条件下，连接，则线段的长度为______．
22. 某校举办了“冰雪运动进校园”活动，计划在校园一块矩形的空地上铺设两块完全相同的矩形冰场．如下图所示，已知空地长27m，宽12m，矩形冰场的长与宽的比为4：3，如果要使冰场的面积是原空地面积的，并且预留的上、下通道的宽度相等，左、中、右通道的宽度相等，那么预留的上、下通道的宽度和左、中、右通道的宽度分别是多少米？

23. 如图，在平行四边形中，，交于点O，且．

（1）求证：四边形是矩形；
（2）的角平分线交于点E，当，时，求的长．
24. 在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点和点B．
（1）若点，求该一次函数和反比例函数的解析式；
（2）当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出k的取值范围
25. 如图，AB 为圆O的直径， PQ切圆O于T ， AC⊥PQ于C ，交圆O于 D ．

（1）求证： AT 平分∠BAC ;
（2）若 AD =2， TC=，求圆O的半径．
26. 有这样一个问题：探究函数的图象与性质并解决问题．
小明根据学习函数的经验，对问题进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）函数的自变量x的取值范围__________；
（2）取几组y与x的对应值，填写在下表中．
x
…



0
1




3
4
5
6
8
…
y
…
1

2
3
6

8
8

6
3
m

1
…
m的值为______；

（3）如下图，在平面直角坐标系中，描出补全后的表中各组对应值所对应的点，并画出该函数的图象；
（4）获得性质，解决问题：
①通过观察、分析、证明，可知函数的图象是轴对称图形，它的对称轴是______；
②过点作直线轴，与函数的图象交于点M，N （点M在点N的左侧），则的值为______．
27. 如图，中，，，点在的延长线上，连接，以为中心，将线段逆时针旋转，得到线段，连接，．


（1）依题意补全图形，并证明；
（2）求证：；
（3）取的中点，连接，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
28. 对于平面直角坐标系中的点P和矩形M．给出如下定义：若矩形 M各边分别与坐标轴平行，且在矩形M上存在一点Q，使得P、Q两点间距离小于1，则称P为矩形M的“近距点”．

（1）如图，若矩形对角线交点与坐标原点O重合，且顶点．
①在点中，矩形的“近距点”是______；
②点P在直线上，若P为矩形的“近距点”，求点P横坐标m的取值范围；
（2）将（1）中的矩形沿着x轴平移得到矩形，矩形对角线交点为，直线与x轴、y轴分别交于点E、F．若线段上的所有点都是矩形的“近距点”，真接写出n的取值范围．
参考答案
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1 ~ 8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 【答案】B
【分析】利用轴对称图形和中心对称图形的定义逐一判断即可得到答案．
【详解】、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：．
【点睛】此题考查了中心对称图形与轴对称图形的定义，解题的关键是知道轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后两部分重合．
2. 【答案】A
【分析】根据方程的解的定义，把x=1代入方程，即可得到关于a的方程，再求解即可．
【详解】解：根据题意得：1-3+a=0
解得：a=2．
故选A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，特别需要注意的条件是二次项系数不等于0．
3. 【答案】C
【分析】由为等边三角形，得：∠AOB=60°，再根据圆周角定理，即可求解．
【详解】解：∵为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴=∠AOB =×60°=30°．
故选C．
【点睛】本题主要考查圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键．
4. 【答案】B
【分析】利用网格特点，构建，然后利用正弦的定义求解．
【详解】解：如图，

在中，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．灵活应用勾股定理和锐角三角函数．
5. 【答案】A
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，即，
故选A．
【点睛】本题考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
6. 【答案】D
【分析】根据勾股定理的逆定理证得是直角三角形，可以根据直角三角形斜边中线的性质求得的长，然后与比较大小，即可解答本题．
【详解】解：，，，
，
是直角三角形，且，
点是斜边的中点，
，，
，
点A，B，C都在覆盖范围内，
这三栋楼中在该基站覆盖范围内的是A，B，C．
故选：D．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是求出三角形三个顶点到点的距离．
7. 【答案】B
【分析】连接、、，作的垂直平分线，作的垂直平分线，作的垂直平分线，交点即为旋转中心．
【详解】解：如图，

由绕某点旋转一定的角度，得到，则连接、、，
作的垂直平分线，作的垂直平分线，作的垂直平分线，
三条线段的垂直平分线正好都过点B，
旋转中心是点B．
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的基本性质，注意：旋转时，对应顶点到旋转中心的距离应相等且旋转角也相等，旋转中心在连接对应点线段的垂直平分线上．
8. 【答案】C
【分析】根据题意首先证得，进而证明、、是等腰三角形解答即可．
【详解】解：根据题意可知，则，
，
，
，
，
，，故②④正确；
，
，故①正确；
，
，
，
，
，故③错误；
故正确的结论是①②④．
故选：C．
【点睛】本题综合考查了圆心角、弦、弧之间的关系定理、等腰三角形的判定和性质、平行线的性质等，解题的关键是熟练掌握相关的定理和性质并灵活运用．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 【答案】（1，3）
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案．
【详解】解：点（﹣1，﹣3）关于原点的对称点的坐标为：（1，3）．
故答案为：（1，3）．
【点睛】本题主要考查了关于原点对称点的坐标，准确计算是解题的关键．
10. 【答案】
【分析】利用反比例函数的表达式将横坐标代入即可判断．
【详解】∵反比例函数的图象经过，两点，
∴，，
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查利用反比例函数比较函数值的大小问题，掌握反比例函数的性质是解决问题的关键．
11. 【答案】2500（1+x）2＝3600．
【分析】根据2011年投入经费额×（1+平均年增长率）2＝2013年投入经费额，列出方程即可．
【详解】设这两年投入经费年平均增长百分率为x，根据题意得2500（1+x）2＝3600，
故答案为2500（1+x）2＝3600．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用﹣﹣求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．（当增长时中间的“±”号选“+”，当下降时中间的“±”号选“﹣”）．
12. 【答案】（答案不唯一）
【分析】直接利用射线的特点得出符合题意的反比例函数解析式．
【详解】解：∵射线l的端点为轴，
∴写出一个图象与射线l有公共点的反比例函数的表达式为．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
13. 【答案】4
【分析】根据反比例函数的性质可以得到的面积等于的一半，由此可以得到它们的关系．
【详解】解：依据比例系数k的几何意义可得面积等于，
解得：，
∵反比例函数（k为常数，）的图象在第一和第三象限，
．
故答案为：4．
【点睛】本题考查反比例系数k的几何意义，熟练掌握过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于是解题的关键．
14.【答案】
【分析】连接OA、OB，作OD⊥AB于D，如图，利用等腰三角形的性质和圆周角定理得到∠AOD=∠APB，再利用正切的性质得到tan∠AOD=，从而得到tan∠P的值．
【详解】解：连接OA、OB，作OD⊥AB于D，如图，

∵OA=OB，OD⊥AB，
∴∠AOD= ∠AOB，
∵∠APB= ∠AOB，
∴∠AOD=∠APB，
在Rt△AOD中，tan∠AOD= =，
∴tan∠P=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理和正切的定义，解决本题的关键是要熟练利用圆周角的性质和正切定义.
15. 【答案】120
【分析】根据图形旋转的性质，可得：BA=BC，由等腰三角形的性质，可知：∠OBC=∠OBA，由，，可知：∠OBA=60°，从而可得旋转的角度.
【详解】∵A，B两点的坐标分别为，，
∴OA=3，OB=，
∴在Rt∆AOB中，，
∴∠OAB=30°，
∴∠OBA=90°-30°=60°，
∵线段绕点B顺时针旋转得到线段，
∴BA=BC，
∵BO⊥AC，
∴∠OBC=∠OBA=60°，
∴∠ABC=∠OBC+∠OBA=60°+60°=120°，
故答案是：120.
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握“当腰三角形三线合一”是解题的关键.
16. 【答案】20
【分析】设此旅行团单程搭乘缆车，单程步行的有x人，其中去程及回程均搭乘缆车的有y人，根据题意列出二元一次方程，求解即可．
【详解】解：设此旅行团单程搭乘缆车，单程步行的有x人，去程及回程均搭乘缆车的有y人，
根据题意得，
解得，
则总人数为：15+5=20（人），
故答案为：20．
【点睛】此题考查二元一次方程组的应用，解题关键是读懂题意，找出等量关系，列出方程．
三、解答题（本题共68分，17题5分，18题每小题4分，第19－25题，每小题5分， 26题6分，第27，28题，每小题7分）
17. 【答案】
【分析】根据二次根式的性质、零指数幂的性质、45°的余弦值和绝对值的性质计算即可．
【详解】解：


=．
【点睛】本题考查的是实数的混合运算，掌握二次根式的性质、零指数幂的性质、45°的余弦值和绝对值的性质是解题关键．
18. 【答案】（1），
（2），
【分析】（1）利用直接开平方法解方程；
（2）利用求根公式法解方程．
【小问1详解】
解：


解得：，；
【小问2详解】
解：
，，，
，
，
解得：，．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，根据不同的方程选择合适的方法是解题的关键．
19. 【答案】
【分析】过O点作半径于E，如图，利用垂径定理得到，再利用勾股定理计算出，然后计算出的长即可．
【详解】解：过O点作半径于E，如图，

，
在中，，
，
答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为．
【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
20. 【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据判别式与一元二次方程根个数的关系，判断判别式的大小即可得到答案；
（2）通过因式分解得到两根，再根据有一个根大于3求解即可得到答案；
【详解】（1）证明：∵

，
∵无论取何值时，，
∴原方程总有两个实数根；
（2）∵原方程可化为，
∴，，
∵该方程有一个根大于3，
∴．
∴．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的个数与判别式的关系、因式分解法求解二元一次方程，掌握判别式，方程有两个实数根是解题的关键．
21. 【答案】（1）图形见解析，
（2）
【分析】（1）根据旋转中心为原点O，旋转方向逆时针，旋转角度得到点A、B的对应点，连接得到即可；根据点所在象限及距离坐标轴的距离可得相应坐标．
（2）根据勾股定理计算得到答案．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；点的坐标为；
【小问2详解】
线段的长度为，
故答案为：
【点睛】本题考查了作图-旋转变换及求旋转后的点的坐标，勾股定理，正确画出图形是关键．
22. 【答案】：预留的上、下通道的宽度和左、中、右通道的宽度分别是1.5米和1米．
【分析】设矩形冰场的长与宽分别为4x米、3x米，根据冰场的面积是原空地面积的列出方程，解方程后再求通道的宽度即可．
【详解】解：设矩形冰场的长与宽分别为4x米、3x米，根据题意列方程得，
，
解得，，（舍去），
则上、下通道的宽度为（米），左、中、右通道的宽度（米），
答：预留的上、下通道的宽度和左、中、右通道的宽度分别是1.5米和1米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是准确把握题目中的数量关系，列出方程求解．
23. 【答案】（1）见解析 （2）
【分析】（1）由平行四边形性质和已知条件得出，即可得出结论；
（2）过点E作于点G，由角平分线的性质得出．由三角函数定义得出，，设，则，在中，由三角函数定义得出，即可得出答案．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
，．
，
．
平行四边形为矩形．
【小问2详解】
解：过点E作于点G，如图所示：

∵四边形是矩形，
，
，
为的角平分线，
．
，
．
，，
．
．
，．
设，则，
在中，，
．
解得：，
．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、三角函数定义等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和三角函数定义是解题的关键．
24. 【答案】（1）一次函数的解析式为；反比例函数的解析式为；
（2）
【分析】（1）利用待定系数法即可求出该一次函数和反比例函数的解析式；
（2）解方程组求出一次函数和反比例函数图象的交点，根据题意列出不等式，解不等式得到答案．
【小问1详解】
解：∵一次函数的图象过点和点，
∴，解得，
∴一次函数的解析式为；
∵反比例函数的图象过点，
，
∴反比例函数的解析式为；
【小问2详解】
解：∵一次函数的图象过点，
，.
解方程组，得，，
由题意得，，
解得，
则k的取值范围是．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了利用待定系数法求函数的解析式以及不等式的解法．
25. 【答案】（1）证明见解析；（2）2．
【分析】（1）PQ切⊙O于T，则OT⊥PC，根据AC⊥PQ，则AC∥OT，要证明AT平分∠BAC，只要证明∠TAC=∠ATO就可以了．
（2）过点O作OM⊥AC于M，则满足垂径定理，在直角△AOM中根据勾股定理就可以求出半径OA．
【详解】（1）连接OT；

∵PQ切⊙O于T，
∴OT⊥PQ，
又∵AC⊥PQ，
∴OT∥AC，
∴∠TAC=∠ATO；
又∵OT=OA，
∴∠ATO=∠OAT，
∴∠OAT=∠TAC，
即AT平分∠BAC．
（2）过点O作OM⊥AC于M，
∴AM=MD==1，
又∠OTC=∠ACT=∠OMC=90°，
∴四边形OTCM为矩形，
∴OM=TC=，
∴在Rt△AOM中，
AO===2；
即⊙O的半径为2．
【点睛】考点：1．切线的性质；2．勾股定理；3．矩形的性质；4．圆周角定理．
26. 【答案】（1）
（2）2 （3）见解析
（4）①，②6
【分析】（1）根据分式有意义的条件即可得到结论；
（2）把代入函数解析式求出函数值即可．
（3）利用描点法画出函数图象即可．
（4）①根据轴对称图形的定义即可判断是轴对称图形．
②求出，的长（用n表示）即可解决问题．
【小问1详解】
解：函数的自变量x的取值范围是，
解得：，
故答案为：；
【小问2详解】
解：由题意时，，
∴，
故答案为：2．
【小问3详解】
解：函数图象如图所示：

【小问4详解】
解：①观察图象可知函数的图象关于对称；
图象的对称轴为：，
故答案为：．
②由题意，
，点M在点N的左侧，
，即，
解得：，，
，
，
，，
，
，，，
故答案为：6．
【点睛】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是学会用描点法画出函数图象，属于中考常考题型．
27. 【答案】（1）见解析；
（2）见解析； （3），理由见解析．
【分析】（）根据要求作出图形，由旋转性质可知：，，然后证明即可；
（）由可得，，通过角度和差可证，根据勾股定理即可求解；
（）延长到，使得，连接，证明，从而可得，，通过角度和差可以得出，最后证明即可．
【小问1详解】
依题意补全图形，如图

由旋转性质可知：，，
∵，
∴，即，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
【小问2详解】
由（）得：
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
，理由：
延长到，使得，连接，

∵ 是的中点，
∴ ，
在和中，
，
∴
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，正确构造全等三角形．
28. 【答案】（1）①；②或
（2）
【分析】（1）①分别计算各点与矩形各边的最小距离，从而根据定义得出结果；②在上取点P，点P在矩形的内部时，作于Q，计算当时，的长，从而求得临界时点P的横坐标，当点P在矩形的外部时，时，此时点P的横坐标，从而得出m的范围，根据对称性求得点P在第三象限时m的范围；
（2）先求得，当时，轴，设交x轴于点R，此时，，可求得；当C'在y轴上时，当在y轴上时，设交x轴于点V，同理，进一步得出结果．
【小问1详解】
解：∵矩形对角线交点与坐标原点O重合，且顶点，
∴，
①∵在矩形M上存在一点Q，使得P、Q两点间距离小于1，
∴即在M上至少找到一点到P的距离小于1．
当时，P到M上最小距离为，成立，
∴为近距点．
当时，最小距离为，不成立，
∴不是近距点．
当时，最小距离为，不成立，
∴不是近距点．
故答案为： P1．
②如图1，在上取点P，作于点Q，

当时，
∵点P在直线上，
∴，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∴或；
【小问2详解】
解：如图2，

∵直线与x轴、y轴分别交于点E、F．
∴点，
∴，
由（1）得：，
∴，
∴，
当时，轴，设交x轴于点R，此时，，
∴，
∴，
∴点，
当在y轴上时，设交x轴于点V，
同理，
∴，
综上所述，．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，直观观察和数形结合．