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新教材适用2023_2024学年高中数学第5章三角函数5.1任意角和蝗制5.1.1任意角课件新人教A版必修第一册
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第五章 三角函数5.1 任意角和弧度制5.1.1 任意角1.了解任意角的概念,能正确区分正角、零角和负角.2.理解象限角的意义,掌握终边相同的角的意义与表示.通过正角和负角理解角的大小、旋转方向,通过角的终边所在的象限的讨论,培养数学抽象与逻辑推理核心素养.必备知识•探新知 1.角的概念角可以看成平面内__________绕着它的______旋转所成的图形.2.角的表示如图,(1)始边:射线的______位置OA;(2)终边:射线的______位置OB;(3)顶点:射线的端点O;(4)记法:图中的角α可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”.一条射线端点起始终止3.角的分类想一想:(1)正角、负角、零角是根据什么区分的?(2)如果一个角的终边与其始边重合,这个角一定是零角吗?提示:(1)角的分类是根据组成角的射线的旋转方向确定的.(2)不一定.零角的终边与始边重合,但终边与始边重合的角不一定是零角,如360°,-360°等,角的大小不是根据始边、终边的位置,而是根据射线的旋转.练一练:1.下列各角:-60°,126°,-63°,0°,99°,其中正角的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.4[解析] 正角有126°,99°共2个.2.将射线OM绕端点O按逆时针方向旋转120°所得的角为( )A.120° B.-120° C.60° D.240°BA设α,β是任意两个角:(1)角的加法:把角α的终边旋转角β,这时终边所对应的角是________.α+β角的始边为α的始边,终边为β的终边;(2)相反角:把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为________,角α的相反角记为______;(3)角的减法:像实数减法的“减去一个数等于加上这个数的相反数”一样,我们有α-β=α+(-β).这样,角的减法可以转化为角的加法.α+β相反角-α练一练:如图(1),∠AOC=__________;如图(2),∠AOC=__________.[解析] ∠AOC=∠AOB+∠BOC=20°+90°=110°,∠AOC=∠BOC+∠AOB=-90°+20°=-70°.110°-70°如果角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,那么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限.想一想:“锐角”“第一象限角”“小于90°的角”三者有何不同?提示:锐角是第一象限角也是小于90°的角,而第一象限角可以是锐角,也可以是大于360°的角,还可以是负角,小于90°的角可以是锐角,也可以是零角或负角.练一练:-215°是( )A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角[解析] 由于-215°=-360°+145°,而145°是第二象限角,则-215°也是第二象限角.B所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合________ __________________________,即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.S={β|β=α+k·360°,k∈Z}提醒:对集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}的理解(1)角α为任意角,“k∈Z”不能省略;(2)k·360°与α中间要用“+”连接,k·360°-α可理解成k·360°+(-α);(3)相等的角的终边一定相同,而终边相同的角不一定相等;终边相同的角有无数个,它们相差360°的整数倍.练一练:1.下列各角中,与-1 110°的角终边相同的角是( )A.60° B.-60°C.30° D.-30°[解析] -1 110°=-3×360°-30°,所以与-30°的角终边相同.D2.与-457°角的终边相同的角的集合是( )A.{α|α=457°+k·360°,k∈Z}B.{α|α=97°+k·360°,k∈Z}C.{α|α=263°+k·360°,k∈Z}D.{α|α=-263°+k·360°,k∈Z}[解析] 由于-457°=-1×360°-97°=-2×360°+263°,故与-457°角的终边相同的角的集合是{α|α=263°+k·360°,k∈Z}.C关键能力•攻重难 (1)下列命题正确的是( )A.终边与始边重合的角是零角B.终边和始边都相同的两个角一定相等C.在90°≤β