高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列教案配套课件ppt

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列教案配套课件ppt，共47页。PPT课件主要包含了素养目标•定方向，必备知识•探新知，从第2项，它前一项，同一个常数，an＋1－an，a1＋n－1d，－22，关键能力•攻重难，课堂检测•固双基等内容，欢迎下载使用。

4.2　等差数列4.2.1　等差数列的概念第1课时　等差数列的概念
1．借助教材实例理解等差数列、等差中项的概念．2．借助教材实例了解等差数列与一次函数的关系．3．会求等差数列的通项公式，并能利用等差数列的通项公式解决相关问题．
1．能够通过实际问题理解等差数列、公差、等差中项的概念，提升分析问题、解决问题的能力．(数学抽象)2．掌握等差数列的通项公式及其推导方法，并能够灵活地进行运算．(逻辑推理、数学运算)3．掌握等差数列的判定方法，能运用定义法证明等差数列．(数学抽象、逻辑推理)
一般地，如果一个数列___________起，每一项与___________的差都等于_____________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的_______，公差通常用字母d表示．
想一想：对等差数列的理解，有哪些问题需要注意？提示：1.“从第2项起”因为首项没有“前一项”．2．一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差即使等于常数，这个数列也不一定是等差数列，因为当这些常数不同时，该数列不是等差数列，因此定义中强调“同一个常数”，注意不要漏掉这一条件．3．求公差d时，可以用d＝an－an－1(n≥2)来求，也可以用d＝an＋1－an来求．注意公差是每一项与其前一项的差，且用d＝an－an－1求公差时，要求n≥2，n∈N*.
练一练：已知数列{an}满足an≠0，则a1＋a4＝a2＋a3是{an}为等差数列的(　　)A．充分条件但不是必要条件B．必要条件但不是充分条件C．充要条件D．既不是充分条件也不是必要条件
[解析]　例如a1＝1，a4＝－1，a2＝3，a3＝－3，满足a1＋a4＝a2＋a3，但是a2－a1＝2≠a3－a2＝－6，不符合等差数列的定义，故推不出{an}为等差数列；若{an}为等差数列，设公差为d，所以a1＋a4＝a1＋a1＋3d＝2a1＋3d，a2＋a3＝a1＋d＋a1＋2d＝2a1＋3d，则a1＋a4＝a2＋a3.所以a1＋a4＝a2＋a3是{an}为等差数列的必要条件但不是充分条件．故选B.
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项．
想一想：“数列{an}是等差数列”与“2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈　N＋)”之间是什么关系？提示：等价关系．
练一练：在等差数列{an}中，a3、a5是方程x2－4x＋3＝0的两根，则a4的值为(　　)A．2　　B．3　　[解析]　由韦达定理和等差中项的性质可得a3＋a5＝4＝2a4，因此a4＝2.故选A．
想一想：等差数列的通项公式有怎样的内涵？提示：(1)由等差数列的通项公式可知，等差数列中的任一项均可用首项和公差表示出来，因此，要确定等差数列的通项公式，只需确定该数列的首项和公差即可，因此我们把等差数列的首项和公差称为等差数列的基本量．(2)等差数列的通项公式中涉及an，a1，d，n四个量，知道其中三个量可以求出第四个量．练一练：已知{an}是等差数列，首项a1＝－1，公差d＝－3，则a8＝_________.
由于an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，所以当d≠0时，等差数列{an}的第n项an是一次函数f(x)＝dx＋(a1－d)(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f(n)．
想一想：等差数列与一次函数有怎样的联系与区别？提示：
练一练：已知点(1,5)，(2,3)是等差数列{an}图象上的两点，则数列{an}为(　　)A．递增数列　　　　B．递减数列C．常数列 D．无法确定
　　　　　已知{an}为等差数列，分别根据下列条件写出它的通项公式．(1)a3＝5，a7＝13；(2)前三项为：a,2a－1,3－a.
[解析]　(1)设首项为a1，公差为d，则∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.∴通项公式为an＝2n－1.
[规律方法]　要想求出等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，那么a1和d就是必须求出的量，我们称之为基本量，在解题中，要时刻把握这两个量，它们常常是我们解题的基础．
　　　　　　　　(1)在等差数列{an}中，已知a2＝2，a5＝8，则a9＝(　　)A．8　　　　　　　 B．12C．16 D．24(2)等差数列{an}中，①已知a3＝－2，d＝3，求an的值；②若a5＝11，an＝1，d＝－2，求n的值．
[解析]　(1)设公差为d，首项为a1，∴a9＝a1＋8d＝16.(2)①由a3＝a1＋(3－1)d，得a1＝a3－2d＝－8，an＝－8＋(n－1)×3＝3n－11.②an＝a1＋(n－1)d，所以a5＝a1＋4d，所以11＝a1－4×2，所以a1＝19，所以an＝19＋(n－1)×(－2)＝－2n＋21，令－2n＋21＝1，得n＝10.
(2)等差数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于(　　)A．0 B．9C．12 D．18
[分析]　(1)求a，b的等差中项⇒等差中项的定义⇒等式⇒计算．(2)先根据已知求出x的值，再求出数列的第四项．
[解析]　(1)a，b的等差中项为(2)由题意得2(3x＋3)＝x＋(6x＋6)，所以x＝0.所以等差数列的前三项为0,3,6，公差为3，所以等差数列的第四项为9.故选B.
[规律方法]　1.等差中项的应用策略(1)涉及等差数列中相邻三项问题可用等差中项求解．(2)在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项，即2an＝an－1＋an＋1(n≥2)；实际上，等差数列中的某一项是与其等距离的前后两项的等差中项，即2an＝an－m＋an＋m(m，n∈N*，m　　　　　　　　若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项．[解析]　由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10.两式相加，得m＋n＝6.
　　　　　(1)判断下列数列是否为等差数列？①an＝3n＋2；②an＝n2＋n.求证：数列{bn}是等差数列，并求出首项和公差．
[解析]　(1)①an＋1－an＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(常数)，n为任意正整数，所以此数列为等差数列．②因为an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2(不是常数)，所以此数列不是等差数列．
[规律方法]　证明一个数列是等差数列常用的方法有：(1)利用定义法，即证an＋1－an＝常数．(2)利用等差中项的概念来进行判定，即证2an＝an－1＋an＋1(n≥2)．
　　　　　　　(1)若数列{an}的通项公式为an＝10＋lg 2n(n∈N*),求证：数列{an}为等差数列；
[证明]　(1)因为an＝10＋lg 2n＝10＋nlg 2，所以an＋1＝10＋(n＋1)lg 2.所以an＋1－an＝[10＋(n＋1)lg 2]－(10＋nlg 2)＝lg 2(n∈N*)．所以数列{an}为等差数列．
求等差数列的公差时因考虑不周致误　　　　　首项为－24的等差数列从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是(　　)
[误区警示]　该等差数列的首项为负数，从第10项起开始为正数，说明公差为正数，且第9项为非正数，第10项为正数，解决此类问题时容易忽视第9项的要求．
1．(多选题)下列数列是等差数列的是(　　　)A．0,0,0,0,0，…B．1,11,111,1 111，…C．－5，－3，－1,1,3，…D．1,2,3,5,8，…[解析]　根据等差数列的定义可知A，C中的数列是等差数列，故选AC．
2．等差数列－3,1,5，…的第15项的值是(　　)A．40　　　　　　　B．53　　　C．63　　　 D．76[解析]　设这个等差数列为{an}，其中a1＝－3，d＝4，∴a15＝a1＋14d＝－3＋4×14＝53.
3．等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，它的项数为(　　)A．92　　　 B．47　　　C．46　　　 D．45[解析]　a1＝1，d＝－1－1＝－2，∴an＝1＋(n－1)·(－2)＝－2n＋3，由－89＝－2n＋3，得n＝46.
4．(多选题)以下选项中能构成等差数列的是(　　　)A．2,2,2,2B．3m,3m＋a,3m＋2a,3m＋3aC．cs 0，cs 1，cs 2，cs 3D．a－1，a＋1，a＋3[解析]　C项不满足等差数列的定义．故选ABD.