人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用教课内容ppt课件

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5．3　导数在研究函数中的应用5．3.3　利用导数解决与函数有关的问题
 1．借助教材实例进一步掌握导数在研究函数的单调性、极值、图象、零点等问题中的应用．2．能利用导数解决简单的实际问题．3．能利用导数研究函数的性质、解决简单的实际问题．
 1．通过分析实际问题，理解导数的实际意义，掌握导数的几何意义，能够利用导数讨论函数的单调性、极值和最值问题，培养学生综合应用知识的能力．(逻辑推理、数学运算)2．通过导数证明不等式以及求参数或取值范围等综合问题．(逻辑推理、数学运算)3．能够利用导数判断函数零点的个数，由函数零点个数求参数．(直观想象、数学运算)4．通过实际例子，体会导数在解决最优问题中的应用，培养学生解决实际问题的能力．(数学建模、数学运算)
给定函数f(x)＝ex－x.(1)判断函数f(x)的单调性，并求出f(x)的值域；(2)画出函数f(x)的大致图象；(3)求出方程f(x)＝m(m∈R)在区间[－1,2]上的根的个数．
[解析]　(1)函数f(x)的定义域为R，f ′(x)＝ex－1，令f ′(x)＝0，解得x＝0.当x变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表所示：
所以f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增．当x＝0时，f(x)的极小值f(0)＝1，也是最小值，故函数f(x)的值域为[1，＋∞)．
[规律方法]　利用导数研究函数的零点，可利用导数判断函数的单调性，借助函数零点存在定理判断；另外，也可将函数的零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．
[规律方法]　构造函数法证明不等式一般地，待证不等式的两边都含有同一个变量，可通过构造函数，转化为函数的最值问题来证明，其一般步骤如下：1．移项，使不等式的一边为0，将另一边构造为“左减右”或“右减左”的函数．2．利用导函数研究所构造的函数的单调性．3．借助构造函数的单调性可证结论成立．
有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元与5a元．问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省．[分析]　适当选定变元，构造相应的函数关系，通过求导的方法或其他方法求出函数的最小值．可确定点C的位置．
在(0,50)上，y只有一个极值点，根据实际问题的意义，函数在x＝30(km)处取得最小值，此时AC＝50－x＝20 km.∴供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省．
[规律方法]　用导数解最值应用题，一般应分为五个步骤：①建立函数关系式y＝f(x)；②求y′；③令y′＝0，求出相应的x0；④指出x＝x0处是最值点的理由；⑤对题目所问作出回答．求实际问题中的最值问题时，可以根据实际意义确定取得最值时变量的取值．
(1)求y关于x的函数解析式，并指出该函数的定义域；(2)试问：x为何值时，广告位出租的总收入最大？并求出其最大值．
请你设计一个包装盒．如图1所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去白色部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图2中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E，F两点在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x cm.
(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
[规律方法]　解决面积、体积的最值问题，要正确引入变量，将面积或体积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值．
在半径为R的半圆内，以直径为一底边作一个内接等腰梯形，如何使其面积最大？最大面积是多少？[解析]　方法一：设上底长为2x，如图所示：
利用参变分离时忽视自变量的取值范围 设函数f(x)＝ax3－3x＋1，若对任意的x∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为_____.
[误区警示]　本题上述解法中有两处错误．(1)是在参数分离的过程中，要在不等式两边同时除以x3才能实现参数的分离，若x的取值范围在正数区间上，可以避免讨论；若x的取值范围中包含零或负数，则需要进行分类讨论．(2)是换元后未求新元t的范围，t的范围不再是[－1,1]．
4．从边长为10 cm×16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，做成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为_________cm3.
5．如图所示，两个工厂A，B相距0.6 km，变电站C距A，B都是0.5 km，计划铺设动力线，先由C沿AB的中垂线至D，再与A，B相连，D点选在距AB______km处时，动力线最短．