数学4.5 函数的应用（二）教案配套ppt课件

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4.5　函数的应用(二)4.5.1　函数的零点与方程的解
 1．理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系．2．会求函数的零点．3．掌握函数零点存在定理并会判断函数零点的个数． 1．借助零点的求法，培养数学运算和逻辑推理的素养．2．借助函数的零点同方程根的关系，培养直观想象的数学素养.
(1)函数f(x)的零点是使f(x)＝0的________.(2)函数的零点、函数的图象、方程的根的关系．
(3)函数的零点对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的________叫做函数y＝f(x)的零点．想一想：函数的零点是函数与x轴的交点吗？提示：不是．函数的零点不是一点，而是一个数，该数是函数图象与x轴交点的横坐标．
2．若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是( 　　)A．a＜1B．a＞1C．a≤1D．a≥1[解析]　函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，即方程x2＋2x＋a＝0没有实数根，所以Δ＝4－4a＜0，得a＞1.
(1)条件：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是________________，且有f(a)f(b)<0；(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)使f(c)＝0，这个c也就是f(x)＝0的根．提醒：关于零点存在定理(1)在区间端点处的函数值异号；(2)存在零点，具体的零点个数不能确定．
想一想：函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，是不是一定有f(a)f(b)<0?提示：不一定，如f(x)＝x2在区间(－1,1)上有零点0，但是f(－1)f(1)＝1×1＝1>0.
练一练：1．函数f(x)＝x－2＋lg2x，则f(x)的零点所在区间为( 　　)A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)[解析]　f(1)＝－1＋lg21＝－1，f(2)＝lg22＝1，∴f(1)·f(2)<0，故选B.
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数有____个零点．[解析]　令ax2＋bx＋c＝0，Δ＝b2－4ac，∵a·c<0，∴b2－4ac>0，∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等实根，∴二次函数y＝ax2＋bx＋c(a·c<0)有2个零点．
[解析]　(1)当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；当x>0时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2.
[归纳提升]　函数零点的求法(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．
(1)求下列函数的零点：①f(x)＝x2－2x－3零点为__________；②g(x)＝lg x＋2零点为_____.(2)已知－1和4是函数f(x)＝ax2＋bx－4的零点，则f(1)＝______.
函数f(x)＝ln x＋x3－9的零点所在的区间为( 　　)A．(0,1)　B．(1,2)C．(2,3)　D．(3,4)[分析]　根据函数零点的存在性原理判断函数零点所在的区间．[解析]　f(1)＝1－9＝－8<0，f(2)＝ln 2＋8－9＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3＋27－9＝ln 3＋18>0，∴f(2)·f(3)<0，∴函数f(x)的零点所在的区间为(2,3)．
[归纳提升]　判断函数零点所在区间的3个步骤(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值．(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断．(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．
函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是( 　　)A．(－2，－1)　B．(－1,0)C．(0,1)　D．(1,2)
函数f(x)＝(x－2)(x－5)－1有两个零点x1，x2，且x12且x2>5C．x1<2，x2>5D．25[分析]　f(x)的图象是由g(x)＝(x－2)·(x－5)的图象向下平移1个单位得到的，由g(x)的零点可判断x1，x2的取值范围．
[解析]　作出函数g(x)＝(x－2)(x－5)的图象如图，将y＝g(x)的图象向下平移1个单位即得y＝f(x)的图象，由图象易知x1<2，x2>5，故选C.
[归纳提升]　判断函数零点个数的4种常用方法(1)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点；(2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数；(3)结合单调性，利用零点存在定理，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数；(4)转化成两个函数图象的交点问题．
(1)已知0[解析]　(1)函数y＝a|x|－|lgax|(0画出函数f(x)＝a|x|(0(2)当x>0时，由f(x)＝ln x＝0，得x＝1.因为函数f(x)有两个不同的零点，则当x≤0时，函数f(x)＝2x－a有一个零点，令f(x)＝0得a＝2x，因为0<2x≤20＝1，所以0 已知函数f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4.(1)若f(x)有且只有一个零点，求实数m的值；(2)若f(x)有两个零点，且均比－1大，求m的取值范围．[分析]　(1)f(x)有且只有一个零点，即方程x2＋2mx＋3m＋4＝0有两个相等实数根；(2)f(x)有两个零点，且均比－1大，即方程x2＋2mx＋3m＋4＝0在(－1，＋∞)上有两个实数根．
[归纳提升]　解决一元二次方程根的分布问题，要利用数形结合，结合判别式、对称轴、区间端点的函数值的正负等情况进行求解．
若方程kx2－(2k＋1)x－3＝0的两根x1，x2满足－11．函数f(x)＝x3－x的零点个数是( 　　)A．0　B．1C．2　D．3[解析]　f(x)＝x(x－1)(x＋1)，令x(x－1)(x＋1)＝0，解得x＝0或x＝1或x＝－1，即函数的零点为－1,0,1，共3个．
2．“m<1”是“函数f(x)＝x2＋x＋m有零点”的( 　　)A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件
3．函数f(x)＝2x＋x的零点所在的一个区间是( 　　)A．(1,2)B．(0,1)C．(－1,0)D．(－2，－1)