数学九年级上册第3章 圆的基本性质3.1 圆精品随堂练习题

这是一份数学九年级上册第3章 圆的基本性质3.1 圆精品随堂练习题，共27页。试卷主要包含了如图，四边形是的内接四边形，圆的有关概念等内容，欢迎下载使用。

第3章 圆的基本性质（A卷�）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

评卷人
得分



一、单选题
1．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（ ）

A．① B．② C．③ D．均不可能
2．在平面直角坐标系中，若的半径为5，A点的坐标是，点的坐标是，则点与的位置关系是（   ）
A．点在内 B．点在外 C．点在上 D．不能确定
3．如图，等腰的顶角为，以腰AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则的度数为（    ）

A．25 B．35 C．50 D．65
4．将一个含45°角的直角三角形和一个量角器按如图所示位置放置，其中点D所在位置在量角器外侧的读数为60°，，连接DC交AB于点E，则图中的度数是（    ）

A．75° B．65° C．55° D．45°
5．如图，四边形是的内接四边形．若，则的度数为（    ）
  
A．138° B．121° C．118° D．112°
6．如图，若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为（    ）

A．10 B．9 C．8 D．7
7．如图，正五边形和正三角形都是的内接多边形，则的度数是（    ）

A．
B．
C．
D．
8．已知扇形的半径为6，圆心角为，则它的弧长是（   ）
A． B． C． D．
9．如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为（    ）

A． B． C． D．

评卷人
得分



二、填空题
10．圆的有关概念：
（1）圆两种定义方式：
（a）在一个平面内线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点叫做 ．线段叫做 ．
（b）圆是所有点到定点的距离 定长的点的集合．
（2）弦：连接圆上任意两点的 叫做弦．（弦不一定是直径，直径一定是弦，直径是圆中最长的弦）；
（3）弧：圆上任意两点间的部分叫 （弧的度数等于这条弧所对的圆心角的度数，等于这条弧所对圆周角的两倍）
（4）等弧：在同圆与等圆中，能够 的弧叫等弧．
（5）等圆：能够 的两个圆叫等圆，半径 的两个圆也叫等圆．
11．下列说法中正确的有 （填序号）．
（1）直径是圆中最大的弦；（2）长度相等的两条弧一定是等弧；（3）半径相等的两个圆是等圆；（4）面积相等的两个圆是等圆；（5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧．
12．如图，在平面直角坐标系中，点，，的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 ．

13．正方形的四个顶点和它的中心共5个点能确定 个不同的圆．
14．已知A为⊙O外一点，若点A到⊙O上的点的最短距离为2，最长距离为4，则⊙O的半径为 ．
15．如图，的半径为2，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，当线段最短时，点的坐标为 ．

16．如图，在中，弦于点，在圆上，，，则的半径 ．

17．的半径为，、是的两条弦，．，，则和之间的距离为
18．如图所示，是的直径，，，则的度数为 ．

19．在半径为2的⊙O中，弦AB为2，则弦AB所对的圆周角的度数为 ．
20．四边形是的内接四边形，，则的度数为 ．
21．如图，A，B，C，D四个点均在⊙O上，∠AOB＝46°，弦BC的长等于半径，则∠ADC的度数等于 ．

22．如图，AB为的直径，，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折交AB于点O，则劣弧AO的弧长是 ．


评卷人
得分



三、解答题
23．如图，线段，，点，在以为直径的半圆上，且四边形是平行四边形，过点作于点，求的长．

24．如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度为，拱高为，当洪水泛滥到跨度只有时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有，即时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施.

25．如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端分米，为中点，为拱门最高点，圆心在线段上，分米，求拱门所在圆的半径．

26．如图，⊙中，弦与相交于点,,连接.
求证：⑴；
⑵.
  
27．如图，是直径，弦于点，过点作的垂线，交的延长线于点，垂足为点，连结，其中．

(1)求证：；
(2)若，求的半径．
28．如图，的半径为1，A、B、C是上的三个点，点P在劣弧AB上，，PC平分．

(1)求证：；
(2)当点P位于什么位置时，的面积最大？求出最大面积．
29．如图，已知AD是⊙O的直径，B、C为圆上的点，OE⊥AB、BC⊥AD，垂足分别为E、F．

(1)求证：2OE=CD；
(2)若∠BAD+∠EOF=150°，AD=4，求阴影部分的面积．

参考答案：
1．A
【详解】解：第①块出现两条完整的弦，
作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
故选A．
2．C
【分析】根据两点间的距离公式求出AP的长，再与5相比较即可．
【详解】解：点A的坐标为，点的坐标为，
半径，
点与的位置关系是：点在上．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理和点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．
3．C
【分析】连接AD，取AB的中点O，连接OE，OD．利用等腰三角形的性质以及圆周角定理求出∠DOE=50°，可得结论．
【详解】解：连接AD，取AB的中点O，连接OE，OD．

∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥CB，
∵AB=AC，
∴∠BAD=∠DAC=∠BAC=25°，
∴∠DOE=2∠DAC=50°，
∴ 的度数为50°，
故选：C．
【点睛】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是掌握等腰三角形的性质，属于中考常考题型．
4．A
【分析】取AB中点O，连接OD，OC，先根据等腰直角三角形的性质得到∠BAC=45°，，从而证明A、B、C、D均在以O为圆心，以AB为直径的圆上，利用圆周角定理求出∠ACD的度数，即可利用三角形外角的性质求出∠BEC的度数．
【详解】解：取AB中点O，连接OD，OC，
∵△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°，
∴∠BAC=45°，，
又∵OD=OA=OB，
∴OA=OB=OC=OD，
∴A、B、C、D均在以O为圆心，以AB为直径的圆上，
∵∠AOD=60°，
∴∠ACD=30°，
∴∠BEC=∠ACD+∠BAC=75°，
故选A．

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，直角三角形斜边上的中线，等腰直角三角形的性质，三角形外角的性质等等，正确作出辅助线是解题的关键．
5．C
【分析】由圆内接四边形的性质得，再由圆周定理可得．
【详解】解：∵四边形ABCD内接于圆O，
∴
∵
∴
∴
故选：C
【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理，熟练掌握相关性质和定理是解答本题的关键
6．D
【分析】先根据多边形的内角和公式求出正五边形的每一个内角的度数，再延长五边形的两边相交于一点，并根据四边形的内角和求出这个角的度数，然后根据周角等于求出完成这一圆环需要的正五边形的个数，然后减去3即可得解．
【详解】解：∵五边形的内角和为
∴正五边形的每一个内角为
∴正五边形的每一个外角为
如图，延长正五边形的两边相交于点O，则


∵已经有3个五边形，

即完成这一圆环还需7个五边形．
故选：D．
【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，延长正五边形的两边相交于一点，并求出这个角的度数是解题的关键，注意需要减去已有的3个正五边形．
7．C
【分析】如图，连接利用正多边形的性质求出，，可得结论．
【详解】解：如图，连接．

是等边三角形，
，
，
是正五边形，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查正多边形与圆，等边三角形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握正多边形的性质，属于中考常考题型．
8．B
【分析】直接根据弧长公式计算即可．
【详解】解：由弧长公式可知，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了弧长的计算公式，熟记弧长计算公式是解答本题的关键，如果扇形的圆心角是nº，扇形的半径是R，则扇形的弧长l的计算公式为：．
9．D
【分析】根据S阴影=S扇形AOD-S扇形BOC求解即可．
【详解】解：S阴影=S扇形AOD-S扇形BOC
=
=
=
=2.25π（m2）
故选：D．
【点睛】本题考查扇形面积，不规则图形面积，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．
10． 圆心 半径 等于 线段 弧 完全重合 完全重合 相等
【分析】根据圆、弦、弧、等弧、等圆的定义即可作答．
【详解】（1）圆两种定义方式：
（a）在一个平面内线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点叫做圆心．线段叫做半径．
（b）圆是所有点到定点的距离等于定长的点的集合．
（2）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦．（弦不一定是直径，直径一定是弦，直径是圆中最长的弦）；
（3）弧：圆上任意两点间的部分叫弧（弧的度数等于这条弧所对的圆心角的度数，等于这条弧所对圆周角的两倍）
（4）等弧：在同圆与等圆中，能够完全重合的弧叫等弧．
（5）等圆：能够完全重合 的两个圆叫等圆，半径相等的两个圆也叫等圆．
故答案为：圆心，半径；等于；线段；弧；完全重合；完全重合；相等．
【点睛】本题主要考查了圆、弦、弧的定义，牢记相关定义是解答本题的关键．
11．（1）（3）（4）
【分析】根据弦、等圆、等弧的定义分别分析即可．
【详解】解：（1）直径是圆中最大的弦，说法正确；
（2）长度相等的两条弧一定是等弧，说法错误，在同圆或等圆中，能够完全重合的两段弧为等弧，不但长度相等，弯曲程度也要相同；
（3）半径相等的两个圆是等圆，说法正确；
（4）面积相等的两个圆是等圆，说法正确；
（5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧，说法错误，同一条弦所对的两条弧不一定是等弧，除非这条弦是直径．
故答案为：（1）（3）（4）．
【点睛】本题考查了圆的有关概念，熟练掌握弦、等圆、等弧的定义是解题的关键．
12．（2，1）
【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是（2，1）．
故答案为（2，1）．

【点睛】本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”．
13．5
【分析】根据不在同一条直线上的三点可以确定一个圆分析得出．
【详解】解：正方形的四个顶点和它的中心的点的距离相等，中心与一边的两个端点可以确定一个圆，正方形有四条边，因而有四个圆；而正方形的四个顶点都在以中心为圆心的圆上，因而能确定5个不同的圆．
故答案为5．
【点睛】本题考查了确定圆的条件，解题的关键是熟记不在同一条直线上的三点可以确定一个圆．
14．1
【分析】画出图形，先表示距离，再确定最值条件．
【详解】解：如图：

连接AO并延长交圆O于点B，C两点，点A到⊙O上的点的最短距离线段AB的长，最长距离为线段AC的长度．
设圆的半径为r，则：BC＝2r＝AC−AB＝4−2＝2，
∴r＝1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查求圆的半径，确定A到圆上的点的最大距离和最小距离对应的线段是求解本题的关键．
15．
【分析】连接OP，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到OP=AB，当OP最短时，AB最短，连接OM交⊙M于点P，则此时OP最短，且OP=OM－PM，计算即可得到结论．
【详解】解：如图所示，连接OP．
∵PA⊥PB，OA=OB，
∴OP=AB，当OP最短时，AB最短．
连接OM交⊙M于点P，则此时OP最短，且OP=OM－PM==3，
∴AB的最小值为2OP=6．
∵点、点关于原点对称，
∴OA=OB=3，
∴点A的坐标为，
故答案为：．

【点睛】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质以及两点间的距离公式．解题的关键是利用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半把AB的长转化为2OP．
16．5
【分析】设OA＝OC＝r，由垂径定理可得，然后在中利用勾股定理构建方程求解．
【详解】解：设，
，是半径，
，
在中，，
，
，
故答案为：5．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
17．7cm或17cm
【分析】作OE⊥AB于E，交CD于F，连结OA、OC，如图，根据平行线的性质得OF⊥CD，再利用垂径定理得到AE＝12，CF＝5，然后根据勾股定理，在Rt△OAE中计算出OE＝5，在Rt△OCF中计算出OF＝12，再分类讨论：当圆心O在AB与CD之间时，EF＝OF＋OE；当圆心O不在AB与CD之间时，EF＝OF−OE．
【详解】解：作OE⊥AB于E，交CD于F，连结OA、OC，如图，

∵AB∥CD，
∴OF⊥CD，
∴AE＝BE＝AB＝12，CF＝DF＝CD＝5，
在Rt△OAE中，∵OA＝13，AE＝12，
∴OE＝，
在Rt△OCF中，∵OC＝13，CF＝5，
∴OF＝，
当圆心O在AB与CD之间时，EF＝OF＋OE＝12＋5＝17；
当圆心O不在AB与CD之间时，EF＝OF−OE＝12−5＝7；
即AB和CD之间的距离为7cm或17cm．
故答案为：7cm或17cm．
【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理和分类讨论的数学思想．
18．51°/51度
【分析】由，可求得∠BOC=∠EOD=∠COD=34°，继而可求得∠AOE的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求∠AEO的度数．
【详解】解：如图，∵，∠COD=34°，
∴∠BOC=∠EOD=∠COD=34°，
∴∠AOE=180°-∠EOD-∠COD-∠BOC=78°．
又∵OA=OE，
∴∠AEO=∠OAE，
∴∠AEO=×（180°-78°）=51°．
故答案为：51°．
【点睛】本题考查了弧与圆心角的关系．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
19．30°或150°
【分析】弦所对的弧有优弧和劣弧，故弦所对的圆周角也有两个，它们的关系是互补关系；弦长等于半径时，弦所对的圆心角为60°，进而即可求解．
【详解】解：如图，弦AB所对的圆周角为∠C，∠D，

连接OA、OB，
因为AB＝OA＝OB＝2，
所以，∠AOB＝60°，
根据圆周角定理知，∠C＝∠AOB＝30°，
根据圆内接四边形的性质可知，∠D＝180°−∠C＝150°，
所以，弦AB所对的圆周角的度数30°或150°．
故答案是：30°或150°．
【点睛】若圆中的一条弦等于圆的半径，则此弦和两条半径构成了等边三角形；在圆中，弦所对的圆周角有两个，不要漏解．
20．120°/120度
【分析】根据圆内接四边形对角互补，再结合已知条件求解即可．
【详解】解：四边形是的内接四边形，

，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形对角互补是解答本题的关键．
21．53°/53度
【分析】首先利用等边三角形OBC得到∠BOC=60°，再利用圆周角定理得出结果．
【详解】解：连接OC，
∵BC=OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC=60°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=46°+60°=106°，
∴∠ADC= ，
故答案为53°．

【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质以及圆周角定理，解决问题的关键是利用弧确定圆周角和圆心角的关系．
22．
【分析】连接OC，过O作OD⊥AC于D，并延长交⊙O于E，根据折叠求出OD=DE=1，求出OD=OA，求出∠OAD，求出圆心角∠AOC的度数，再根据弧长公式求出答案即可．
【详解】解：连接OC，过O作OD⊥AC于D，并延长交⊙O于E，

∵直径AB=6
∴半径OA=OE=3
∵将劣弧AC沿弦AC翻折交AB于点O，
∴OD=DE=，
∵OA=3
∴OD=OA，
∵∠ODA=90°，
∴∠OAD=30°，
∴∠AOD=60°，
同理∠COD=60°，
∴∠AOC=120°，
∴劣弧的长为，
∴劣弧的长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了弧长公式，翻折变换，直角三角形的性质等知识点，能求出圆心角∠AOC的度数是解此题的关键．
23．
【分析】根据平行四边形可得出ED=8，再根据垂径定理可得EF的长；再过点E作EG⊥AB、连接OE，从而得矩形，根据勾股定理进一步得EG、AE的长．
【详解】解：过点作于点，连接，则，，

四边形是平行四边形，
，，
，即，
，，
四边形是矩形，
，
，
在中，，
在中，．
【点睛】本题考查垂径定理，其中作垂直构造出矩形的辅助线是解题关键．
24．不需要采取紧急措施，理由详见解析.
【分析】连接OA′，OA．设圆的半径是R，则ON＝R−4，OM＝R−18．根据垂径定理求得AM的长，在直角三角形AOM中，根据勾股定理求得R的值，在直角三角形A′ON中，根据勾股定理求得A′N的值，再根据垂径定理求得A′B′的长，从而作出判断．
【详解】设圆弧所在圆的圆心为，连结，，如图所示
设半径为则
由垂径定理可知，
∵，∴，且
在中，由勾股定理可得
即，解得
∴
在中，由勾股定理可得

∴
∴不需要采取紧急措施.

【点睛】此类题综合运用了勾股定理和垂径定理，解题的关键是熟知垂径定理的应用.
25．分米
【分析】连接过圆心，为中点，由垂径定理得为中点求出的长在中，由勾股定理即解方程即可．
【详解】解：连接

过圆心，为中点，
，
为中点，
，
设半径为分米，则，
，
，
在中， ，
，
．
拱门所在圆的半径是分米．
【点睛】本题考查圆的半径问题，掌握垂径定理，与勾股定理，会利用垂径定理求线段的长度，会利用等量关系用代数式表示线段，会利用勾股定理构造方程，会解方程是解题关键．
26．（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）由AB=CD知，即，据此可得答案；
（2）由知AD=BC，结合∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠BCE可证△ADE≌△CBE，从而得出答案．
【详解】证明（1）∵AB=CD，
∴，即，
∴；
（2）∵，
∴AD=BC，
又∵∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠BCE，
∴△ADE≌△CBE（ASA），
∴AE=CE．
【点睛】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，圆心角、弧、弦三者的关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．
27．(1)见解析
(2)5

【分析】（1）先根据垂直的定义、对顶角相等可得，从而可得，再根据等腰三角形的判定即可得证；
（2）连接，设的半径为，则，再根据等腰三角形的三线合一可得，根据垂径定理可得，从而可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得．
【详解】（1）证明：，，
，
，
，
，
，
．
（2）解：如图，连接，

设的半径为，则，
，，，
，，
，
在中，，即，
解得，
的半径为5．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、垂径定理、勾股定理等知识点，熟练掌握垂径定理是解题关键．
28．(1)见解析
(2)当点P位于劣弧AB的中点时，的面积最大，

【分析】（1）在PC上截取，连接AD，先根据角平分线的定得到，则由圆周角定理得到，，即可证明为等边三角形，△ABC是等边三角形 ，  得到，，，再证明    得到，即可证明；
（2）由题意得：当点P位于劣弧AB的中点时，的面积最大，连接AO，利用等边三角形的性质求出，则，，由此即可求解．
【详解】（1）证明：如图所示，在PC上截取，连接AD

PC平分，且，
，
∴，，
为等边三角形，△ABC是等边三角形 ，  
，，，

    
        

（2）解：由题意得：当点P位于劣弧AB的中点时，的面积最大，连接AO：
由（1）可知，当P为劣弧AB的中点时，       

为的直径，设PC与AB交于点E，
又的半径为1，
∴，
∴，
，
∴的最大面积为．

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，圆周角定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟知相关知识是解题的关键．
29．(1)见解析
(2)2π-

【分析】（1）连接BD，先证，，再根据垂径定理，证得，最后通过等量代换证得结论．
（2）将代入∠BAD+∠EOF=150°，结合，解得，，由，分别求得、、，计算即可．
【详解】（1）证明：连接BD，
∵AD是⊙O的直径，B为圆上的点，
∴，
∵OE⊥AB，
∴，
∴，
∴，
∵AD是⊙O的直径，即O为AD的中点，
∴E为AB的中点，
∴．
∵AD是⊙O的直径，B、C为圆上的点， BC⊥AD，
∴，
∴，即．

（2）解：∵，
又∵∠BAD+∠EOF=150°，
∴，即．
∵，
∴，
∴，．
如图，连接BD，
∵AD=4，AD是⊙O的直径，，
∴．
同理，，，，
∴，．
∵AD是⊙O的直径，B、C为圆上的点， BC⊥AD，
∴．
∵AD=4，，
∴．
，
，
，
∴．

【点睛】本题考查了垂径定理，中位线的判定及性质，扇形相关的阴影面积计算，综合运用以上知识是解题的关键．