浙教版九年级上册3.1 圆精品精练

第3章 圆的基本性质（B卷�）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

1．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是（　　）

A．第一块 B．第二块 C．第三块 D．第四块

2．下列说法正确的是（ ）

A．直径是弦，弦是直径 B．过圆心的线段是直径

C．圆中最长的弦是直径 D．直径只有二条

3．已知的半径为5，点到圆心的距离为，如果点在圆内，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

4．在⊙O中，圆心O到弦AB的距离为AB长度的一半，则弦AB所对圆心角的大小为（　　）

A．30° B．45° C．60° D．90°

5．往直径为26cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示．若水面宽，则水的最大深度为（ ）

A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm

6．如图，在中，，，则的度数为（    ）

A．10° B．20°

C．30° D．40°

7．如图，是的直径，四边形内接于，，则的度数是（    ）

A． B． C． D．

8．如图，在中，，以为直径的恰好经过点B，交于点E，当点E为的中点时，下列结论错误的是（    ）

A．平分 B． C． D．的长为

9．如图，AB是的直径，弦CD交AB于点P，，，，则CD的长为（    ）

A． B． C． D．8

10．如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为（ ）

A．2 B． C． D．3

11．圆内接正五边形中，每个外角的度数      度．

12．为半圆的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点在半圆上，斜边过点，一条直角边交该半圆于点．若，则线段的长为      ．

13．如图，四边形内接于，延长交圆于点，连接.若， ，则          度.

14．如图，正方形ABCD的边长为4，分别以各边中点为圆心、边长为直径在正方形内部画圆，求阴影部分的面积     ．（结果保留π）

15．如图，在半径为1的扇形AOB中，，点P是弧AB上任意一点（不与点A，B重合），，垂足分别为C，D，则CD的长为        ．

16．如图，MN是⊙O的直径，MN=4，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为     ．

17．已知扇形的圆心角为，面积为，求扇形的弧长．

18．已知：如图，AB为⊙O的直径，OD∥AC．求证：点D平分．

19．如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12m，拱高CD为4m．

（1）求拱桥的半径；

（2）有一艘宽5m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3.6m，求此货船是否能顺利通过拱桥？

20．我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．如图，将△ABC放在每个小正方形边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上．

（1）用无刻度直尺画出△ABC的最小覆盖圆的圆心（保留作图痕迹）；

（2）该最小覆盖圆的半径是 ．

21．已知：如图，是的直径，点、在上，于，于，且，与相等吗？为什么？

22．如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．

（1）若∠E=∠F时，求证：∠ADC=∠ABC；

（2）若∠E=∠F=42°时，求∠A的度数；

（3）若∠E=α，∠F=β，且α≠β．请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．

23．如图，已知，为的直径，过点作弦垂直于直径于，点恰好为的中点，连接，．

（1）求证：；

（2）若，求的半径；

（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．

参考答案：

1．A

【分析】要确定圆的大小需知道其半径，根据垂径定理知第一块可确定半径的大小

【详解】解：第一块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．

故选：A．

【点睛】本题考查了确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．

2．C

【详解】解：A、直径是弦，但弦不一定是直径，不符合题意；

B、过圆心的弦是直径，但线段不一定是直径，不符合题意；

C、圆中最长的弦是直径，符合题意；

D、直径有无数条，不符合题意，

故选C．

3．D

【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．

【详解】解：点在圆内，且的半径为5，

，

故选：D．

【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．

4．D

【分析】利用等腰直角三角形的性质以及垂径定理得出∠BOC的度数进而求出．

【详解】解：如图所示：连接BO，AO，

∵圆心O到弦AB的距离为AB长度的一半，

∴DO=DB，DO⊥AB，

∴∠B=∠BOC=45°，

则∠A=∠AOC=45°，

∴∠AOB=90°．

故选D．

考点：垂径定理；等腰直角三角形．

5．C

【分析】连接OA，作OD⊥AB，交AB于点C，交圆于点D，根据垂径定理求得OC，利用圆的半径求得CD即可.

【详解】如图，连接OA，作OD⊥AB，交AB于点C，交圆于点D，

∵AB=24，

∴AC=12，

∵OA=13，

在直角三角形OAC中，

OC==5，

∴CD=OD-OC=13-5=8，

故选C.

【点睛】本题考查了垂径定理的应用，过圆心向弦作垂线构造垂径定理是解题的关键.

6．B

【分析】根据圆心角定理：等弧对等角，根据条件求出相应角的角度，作适当的辅助线，找到的关系，即得答案．

【详解】如图，连接，

，根据等弧对等角，

，

在中，，

是等腰三角形，

，

同理在中，得出：，

，

故选：B．

【点睛】本题主要考查了圆心角定理，在同圆或等圆中，相等的弧长对应相等的圆心角，解题的关键是：理解并掌握定理，需要把所求角转化为两个角之差．

7．B

【分析】先利用圆周角性质与∠BDC=20°，求出∠C，再根据圆内接四边形的对角互补计算即可．

【详解】解

∵CD为直径，

∴∠DBC=90º，

∵∠BDC=20°，

∴∠C=90°-∠BDC=90°-20°=70°，

∵四边形ABCD内接于⊙O，

∴∠A=180°﹣∠C=180°﹣70°=110°，

故选择：B．

【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．

8．B

【分析】根据平行线的性质和圆周角定理可判断A，根据扇形，面积公式和割补法可判断B，根据圆周角定理可判断C，根据弧长公式可判断D．

【详解】解：A.∵点E为的中点，

∴，

∴∠1=∠2，

∴平分，故A正确；

C.∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BC//AD，

∴∠2=∠3，

∴，

∵，

∴，故C正确；

B.连接OB，OE，作EH⊥OD，

∵，

∴∠AOB=∠BOE=∠DOE=60°，

∵OA=OB=OE，

∴△OAB，△OBE都是等边三角形，

∴OA=BE，

∵BC=AD，

∴CE=OD，

∵CE//OD，

∴四边形ODCE是平行四边形，

∵AD=6，

∴OD=OE=3，

∴EH=sin60°×OE=，

∴S阴影=S平行四边形ODCE-S扇形ODE，

=3×-

=，

故C错误；

D. 的长=，故D正确．

故选：B．

【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、圆周角定理的推论、弧长和扇形公式，以及锐角三角函数的知识，熟练掌握圆的有关定理和公式是解答本题的关键．

9．A

【分析】过点作于点，连接，根据已知条件即可求得，根据含30度角的直角三角形的性质即可求得，根据勾股定理即可求得，根据垂径定理即可求得的长．

【详解】解：如图，过点作于点，连接，

AB是的直径，，，

，

在中，

故选A

【点睛】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，垂径定理，掌握以上定理是解题的关键．

10．C

【详解】解：由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，

如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，

∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=2，

∴AD=BD=2，即此时圆的直径为2，

由圆周角定理可知∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°，

∴在Rt△EOH中，EH=OE•sin∠EOH=1×=

∴EF=2EH=．

故选C．

11．72

【分析】根据多边形的外角和为360°，外角的个数等于边数，根据正多边形的每一个外角都相等，用即可求解．

【详解】解：．

故答案为：72．

【点睛】本题考查了正多边形的性质，多边形的外角和问题，掌握多边形的外角和为360°是解题的关键．

12．

【分析】连接，，根据同弧所对的圆周角相等可得，根据直径所对的圆周角是直角可得是等腰直角三角形，进而勾股定理即可求解．

【详解】解：连接，，

，

，

为直径，

，

是等腰直角三角形．

，

，

．

故答案为：．

【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，掌握圆周角定理是解题的关键．

13．50°

【分析】根据圆周角定理得到∠EBC＝90°，求出∠BCE，根据圆内接四边形的性质得到∠BCD＝180°−∠A＝70°，计算即可．

【详解】∵EC是⊙O的直径，

∴∠EBC＝90°，

∴∠BCE＝90°−∠E＝20°，

∵四边形ABCD内接于⊙O，

∴∠BCD＝180°−∠A＝70°，

∴∠OCD＝∠BCD−∠BCE＝50°，

故填：50°.

【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．

14．8π﹣16/-16+8π

【分析】阴影部分的面积是四个半圆的面积的和减去正方形的面积，据此求解即可．

【详解】S阴影＝4S半圆﹣S正方形

＝4×π×22﹣4×4

＝8π﹣16，

故答案为：8π﹣16

【点睛】本题考查了扇形的面积的计算方法，解题的关键是了解阴影部分的面积计算方法，难度不大．

15．

【分析】连接AB，如图，先计算出AB=，再根据垂径定理得到AC=PC，BD=PD，则可判断CD为△PAB的中位线，然后根据三角形中位线定理求解．

【详解】解：连接AB，如图，

∵OA=OB=1，∠AOB=90°，

∴AB=OA=，

∵OC⊥AP，OD⊥BP，

∴AC=PC，BD=PD，

∴CD为△PAB的中位线，

∴CD=AB=．

故答案为：．

【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了三角形的中位线定理．

16．

【分析】作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，与MN的交点即为点P，此时PA+PB的最小值即为A′B的长，连接OA′、OB、OA，先求∠A′OB=∠A′ON+∠BON=60°+30°=90°，再根据勾股定理即可得出答案．

【详解】解：作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，与MN的交点即为点P，PA+PB的最小值即为A′B的长，连接OA′、OB、OA，

 ∵A′点为点A关于直线MN的对称点，∠AMN=30°，

∴∠AON=∠A′ON=2∠AMN=2×30°=60°，

又∵B为的中点， ∴，

 ∴∠BON=∠AOB=∠AON=×60°=30°，

∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=60°+30°=90°，

 又∵MN=4， ∴OA′=OB=MN=×4=2，

 ∴Rt△A′OB中，A′B=，

即PA+PB的最小值为．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查作图-复杂作图及轴对称的最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质和圆周角定理、圆心角定理是解题的关键．

17．厘米

【分析】设扇形的半径和弧长分别为和，则根据扇形面积公式求得半径，进而根据弧长公式即可求解．

【详解】解：设扇形的半径和弧长分别为和，则

，

，

．

扇形的弧长为厘米．

【点睛】本题考查了扇形面积公式与弧长公式，掌握公式是解题的关键．

18．见解析.

【分析】连接BC，根据圆周角定理求出∠ACB＝90°，求出OD⊥BC，根据垂径定理求出即可．

【详解】证明：连接CB，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∵OD∥AC，

∴∠OEB＝∠ACB＝90°，

即OD⊥BC，

∵OD过O，

∴点D平分．

【点睛】本题考查了圆周角定理和垂径定理，能正确运用定理进行推理是解此题的关键．

19．（1）r＝6.5；（2）此货船不能顺利通过这座拱桥，见解析

【分析】（1）根据垂径定理和勾股定理求解；

（2）连接ON，OB，通过求距离水面2米高处即ED长为2时，桥有多宽即MN的长与货船顶部的3米做比较来判定货船能否通过．先根据半弦，半径和弦心距构造直角三角形求出半径的长，再根据Rt△OEN中勾股定理求出EN的长，从而求得MN的长．

【详解】解：（1）如图，连接ON，OB．

∵OC⊥AB，

∴D为AB中点，

∵AB＝12m，

∴BD＝AB＝6m．

又∵CD＝4m，

设OB＝OC＝ON＝r，则OD＝（r﹣4）m．

在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2＝（r﹣4）2+62，

解得：r＝6.5．

（2）∵CD＝4m，船舱顶部为长方形并高出水面AB＝2m，

∴CE＝4﹣3.6＝0.4（m），

∴OE＝r﹣CE＝6.5﹣0.4＝6.1（m），

在Rt△OEN中，EN2＝ON2﹣OE2＝6.52﹣6.12＝5.04（m2），

∴EN＝（m）．

∴MN＝2EN＝2×≈4.48m＜5m．

∴此货船能不顺利通过这座拱桥．

【点睛】此题考查了垂径定理的应用．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．

20．（1）见解析；（2）

【分析】（1）作出线段AB，AC的垂直平分线的交点O即可．

（2）连接OA，利用勾股定理求出OA即可．

【详解】解：（1）如图，点O即为所求．

（2）半径OA=．

故答案为：．

【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，三角形的外接圆，勾股定理等知识，解题的关键是理解三角形的外心是各边垂直平分线的交点．

21．相等，理由见解析

【分析】连接、，证明≌可得，则有，即有．

【详解】解：与相等．理由如下：

连接、，如图，

∵，，

∴，

∵，，

∴，

在和中，

，

∴≌，

∴，

∴，

∴，

【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系和全等三角形的判定与性质，掌握在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等是解题的关键．

22．（1）见解析；（2）48°；（3）∠A=90°﹣．

【详解】试题分析：（1）在△CDE与△CBF中，根据三角形内角和定理以及∠E=∠F，∠ECD=∠FCB，可得∠CDE=∠CBF，从而得∠ADC=∠ABC，由圆内接四边形定理可得∠ADC+∠ABC=180°，从而可得∠ADC=∠ABC=90°；

由（1）可知∠ABC=90°，从而∠A=90°-∠E=48°；

由四边形ABCD内接于⊙O，可得∠ADC+∠ABC=180°，从而得∠EDC+∠FBC=180°，在利用三角形内角和定理可得∠E+∠F+∠ECD+∠FCB=180°，从而得∠ECD+∠FCB=180°-（α+β），由周角可得∠BCD+∠FCE=180°+（α+β），从而可得∠BCD=90°+，从而得∠A=90°-；

试题解析：（1）在△CDE与△CBF中，∵∠E=∠F，∠ECD=∠FCB，∴∠CDE=∠CBF，∴180°-∠CDE=180°-∠CBF，即∠ADC=∠ABC，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC=180°，∴∠ADC=∠ABC=90°；

∵∠E=∠F=42°，由（1）可知∠ABC=90°，∴∠A=90°-∠E=48°；

∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC=180°，∴∠EDC+∠FBC=180°，∵∠E+∠EDC+∠ECD=180°，∠F+∠FCB+∠FBC=180°，∴∠E+∠F+∠ECD+∠FCB=180°，∴∠ECD+∠FCB=180°-（α+β），∴∠BCD+∠FCE=360°-（∠ECD+∠FCB）=180°+（α+β），∵∠BCD=∠FCE，∴∠BCD=90°+，∵∠A+∠BCD=180°，∴∠A=90°-；

考点：1．三角形内角和定理；2．圆内接四边形定理．

23．（1）证明见解析；（2）的半径为2；（3）．

【分析】（1）连接BD，根据圆周角定理得出∠CBD=∠AEB=90°，∠A=∠C，进而求得∠ABE=∠CDB，得出，即可证得结论；

（2）根据垂径定理和圆周角定理易求得∠A=∠ABE，得出∠A=30°，解直角三角形求得AB，即可求得⊙O的半径；

（3）根据S阴=S扇形-S△EOB求得即可．

【详解】（1）证明：连接，

∵，为的直径，

∴，

∵点恰好为的中点，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴；

（2）解：∵过点作弦垂直于直径于，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

在中，，

∴，

∴的半径为2．

（3）连接，

∵，

∴，

∴是等边三角形，

∵，

∴，

∴．

【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理、扇形的面积以及解直角三角形等，作出辅助线构建直角三角形和等边三角形是解题的关键．