【期中真题】（苏科版）2023-2024学年九年级数学上册 期中真题分类专题汇编 专题05 正多边形与圆、弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积（经典基础题4种题型 优选提升题）.zip

专题05 正多边形与圆、弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积


正多边形与圆
1．（2022秋•洪泽区期中）若一个圆内接正多边形的中心角是40°，则这个多边形是（　　）
A．正九边形 B．正八边形 C．正七边形 D．正六边形
【分析】根据正多边形的中心角的计算公式计算即可．
【解答】解：设这个多边形的边数是n，
由题意得，，
解得，n＝9，
故选：A．
【点评】本题考查的是正多边形和圆的有关知识，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键．
2．（2022秋•盐都区期中）如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若∠ADB＝18°，则这个正多边形的边数为（　　）

A．10 B．12 C．15 D．20
【分析】根据圆周角定理得到∠AOB＝2∠ADB＝36°，于是得到结论．
【解答】解：∵A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，
∴点A、B、C、D在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上，
∵∠ADB＝18°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝36°，
∴这个正多边形的边数＝＝10，
故选：A．
【点评】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，正确的理解题意是解题的关键．
3．（2022秋•天宁区校级期中）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F为⊙O上一点，则∠EFC的度数为（　　）

A．36° B．45° C．60° D．72°
【分析】先由正多边形内角和定理求出∠CDE，再根据圆内接四边形的性质即可求出∠EFC．
【解答】解：∵正五边形ABCDE内接于⊙O，
∴∠CDE＝＝108°，
∵四边形CDEF是⊙O内接四边形，
∴∠EFC+∠CDE＝180°，
∴∠EFC＝180°﹣∠CDE＝180°﹣108°＝72°，
故选D．
【点评】本题主要考查了正多边形和圆，圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解决问题的关键．
4．（2022秋•宿城区期中）已知四个正六边形如图摆放在图中，顶点A，B，C，D，E，F在圆上．若两个大正六边形的边长均为4，则小正六边形的边长是（　　）

A． B． C． D．
【分析】在边长为4的大正六边形中，根据正六边形和圆的性质可求出ON和半径OD，进而得出小正六边形对应点的距离MF，再根据正六边形的性质求出半径GF，即边长FH即可．
【解答】解：连接AD交PM于O，则点O是圆心，过点O作ON⊥DE于N，连接MF，取MF的中点G，连接GH，GQ，
由对称性可知，OM＝OP＝EN＝DN＝2，
由正六边形的性质可得ON＝4，
∴OD＝＝2＝OF，
∴MF＝2﹣2，
由正六边形的性质可知，△GFH、△GHQ、△GQM都是正三角形，
∴FH＝MF＝﹣1，
故选：B．

【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形和圆的性质是解决问题的关键．
5．（2022秋•灌云县期中）周长相等的正方形与正六边形的面积分别为S1、S2，S1和S2的关系为（　　）
A．S1＝S2 B．S1：S2＝3：16
C．S1：S2＝：3 D．S1：S2＝：2
【分析】设正方形的边长为3a，根据正方形与正六边形的周长相等，可求出正六边形的边长；然后根据正方形的面积公式S＝边长×边长，可求出S1；再把正六边形分成六个小正三角形，结合等边三角形的性质和勾股定理，先求出一个小正三角形的面积，即可得到正六边形的面积，再比较即可解答．
【解答】解：设正方形的边长为3a，则正六边形的边长为2a，
∴S1＝（3a）2＝9a2．
∵正六边形的边长为2a，
∴把正六边形分成六个小正三角形，其高为＝a，
∴S2＝6××2a×a＝6a2．
∵S1：S2＝9a2：6a2＝：2，
故选：D．
【点评】本题考查的是正多边形的性质及特殊角的三角函数值，能用a分别表示出正方形及正六边形的面积是解答此类题目的关键．
6．（2022秋•铜山区期中）如图，圆内接正六边形ABCDEF的周长为12cm，则该正六边形的内切圆半径为（　　）

A．cm B．2cm C．2cm D．cm
【分析】首先得出正六边形的边长，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出．
【解答】解：连接OA，作OM⊥AB于M，得到∠AOM＝30°，
∵圆内接正六边形ABCDEF的周长为12cm，
∴AB＝2cm，则AM＝1cm，
因而OM＝OA•cos30°＝cm．
正六边形的边心距是cm．
故选：A．

【点评】此题主要考查了正多边形和圆，正确掌握正六边形的性质是解题关键．
7．（2022秋•宝应县期中）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F在劣弧AB上，则∠CFE的度数为 　72　°．

【分析】先由正多边形内角和定理求出∠CDE，再根据圆内接四边形的性质即可求出∠EFC．
【解答】解：∵正五边形ABCDE内接于⊙O，
∴∠CDE＝＝108°，
∵四边形CDEF是⊙O外接四边形，
∴∠EFC+∠CDE＝180°，
∴∠EFC＝180°﹣∠CDE＝180°﹣108°＝72°，
故答案为：72．
【点评】本题主要考查了正多边形和圆，圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解决问题的关键．
8．（2022秋•玄武区校级期中）如图，⊙O是正八边形ABCDEFG的外接圆，则下列结论：
①AE＝DF；
②的度数为90°；
③S正八边形ABCDEFGH＝AE•DF．
其中所有正确结论的序号是（　　）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【分析】连接OD，OF，求出正八边形的中心角∠DOE＝45°，得到∠DOF＝90°，根据这条弧的度数等于它所对的圆心角的度数可得到②正确；由勾股定理求得OD＝DF，可得①正确；由于S四边形ODEF＝DF•OE，可得S正八边形ABCDEFGH＝2DF•OE，于是得到③正确．
【解答】解：连接OD，OF，
∵∠DOE＝∠EOF＝360°÷8＝45°，
∴∠DOF＝90°，
∴弧DF的度数为90°，故②正确；
∵∠DOF＝90°，OD＝OF，
∴2OD2＝DF2，
∴OD＝DF，
∵AE＝2OD，
∴AE＝DF，故①正确；
∵S四边形ODEF＝DF•OE，
∴S正八边形ABCDEFGH＝4S四边形ODEF＝2DF•OE，
∵OE＝AE，
∴S正八边形ABCDEFGH＝AE•DF，故③正确；
故选：D．

【点评】本题主要考查了正多边形和圆，勾股定理，三角形的面积公式，熟练掌握正多边形的中心角和边数的关系是解决问题的关键．
9．（2022秋•仪征市期中）如图，点O是正方形AB'C'D'和正五边形ABCDE的中心，连接AD、CD'交于点P，则∠APD'＝（　　）

A．72° B．81° C．76° D．80°
【分析】根据正多边形与圆的性质以及圆周角定理、三角形内角和定理进行计算即可．
【解答】解：如图，连接AC、OA、OC、OD、OD′，⊙O是正方形AB'C'D'和正五边形ABCDE的外接圆，
∵正方形AB'C'D'内接于⊙O，
∴∠ACD′＝∠AOD′＝×＝45°，
又∵正五边形ABCDE内接于⊙O，
∴∠CAD＝∠COD＝×＝36°，
∴∠APD′＝∠CAD+∠ACD′
＝36°+45°
＝81°，
故选：B．

【点评】本题考查正多边形与圆，掌握正多边形与圆的性质，圆周角定理、三角形内角和定理是正确解答的前提．
弧长的计算
10．（2022秋•泗洪县期中）一条弧所对的圆心角是144°，那么这条弧长与这条弧所在圆的周长之比为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据弧长公式以及圆的周长公式列式化简即可．
【解答】解：设这条弧所在圆的半径为r，
则这条弧长为：，这条弧所在圆的周长为2πr，
：2πr＝．
故选：B．
【点评】本题考查了弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r），熟记公式是解题的关键．
11．（2022秋•盱眙县期中）钟面上分针的长为1，从12点到12点20分，分针针尖在钟面上走过的轨迹长度是（　　）

A． B． C． D．π
【分析】首先要明确分针的尖端20分钟走的路程是圆周长的，根据圆的周长公式l＝2πr，把数据代入公式进行解答．
【解答】解：l＝×2πr＝2π×1＝π．
故选：B．
【点评】本题考查了弧长的计算．此题解答关键是明确分针的尖端20分钟走的路程是圆周长的，然后根据圆的周长公式解决问题．
12．（2022秋•泗阳县期中）如图，在半径为6的⊙O中，A、B、C都是圆上的点，∠ABC＝30°，则的长为 　2π　．

【分析】根据圆周角定理可得∠AOC＝2∠ABC的度数，再根据弧长计算公式进行计算即可得出答案．
【解答】解：∵∠ABC＝30°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝2×60°＝60°．
∴l＝＝＝2π．
∴的长为2π．
故答案为：2π．
【点评】本题主要考查了弧长的计算及圆周角定理，熟练掌握弧长的计算方法及圆周角定理进行计算是解决本题的关键．
13．（2022秋•涟水县期中）如图，D是以AB为直径的半圆O的中点，＝2，E是直径AB上一个动点，已知AB＝4cm，则图中阴影部分周长的最小值是 　（2+）　cm．

【分析】连接DO，延长DO至F，使得DO＝OF，连接OC、CF、EF，当点D、E、F三点依次在同一直线上时，CE+DE＝DF＝2OD＝2cm的值最小，再根据弧长公式求得的长度，便可得阴影部分周长的最小值．
【解答】解：连接DO，延长DO至F，使得DO＝OF，连接OC、CF、EF、CD，

∵D是以AB为直径的半圆O的中点，
∴∠AOD＝∠BOD＝90°，
∴点D、点E关于AB对称，
∴CE＝EF，
∴CE+DE＝CE+EF≥CF，
当点C、E、F三点依次在同一直线上时，CE+DE＝CF的值最小，
∵＝2，
∴∠COD＝2∠BOC＝60°，
∵CO＝OD＝OF＝2（cm），
∴△OCD为等边三角形，∠F＝∠OCF＝30°，∠OCD＝60°，
∴∠DCF＝90°，DC＝OD＝2cm，
∴CF＝2（cm），
∴CE+DE的最小值为2cm，
∵弧CD的长为：＝（cm），
∴图中阴影部分周长的最小值是（2+）cm．
故答案为：（2+）．
【点评】本题考查弧长公式和最值问题，正确记忆相关公式求解是解题关键．
14．（2022秋•建邺区期中）如图，半圆O的直径AD＝8cm，B、C是半圆上的两点，且∠ABC＝110°，则的长度为 　　cm．

【分析】连接OC，CD，由∠ABC＝110°，得∠D＝180°﹣110°＝70°，根据OC＝OD，所以∠OCD＝∠D＝70°，∠COD＝40°，即可求出答案．
【解答】解：如图，连接OC，CD，

∵∠ABC＝110°，
∴∠D＝180°﹣110°＝70°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠D＝70°，
∴∠COD＝40°，
∴弧CD的长度为＝（cm）．
故答案为：．
【点评】本题考查了圆周角定理和弧长公式，熟记弧长公式和正确求出∠COD＝40°是关键．
15．（2022秋•惠山区校级期中）如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边△ABC，分别以点A、B、C为圆心，以AB长为半径，作、、，三弧所围成的图形就是一个曲边三角形．若AB＝4，则此曲边三角形的面积为 　8π﹣8　．

【分析】此三角形是由三段弧组成，先求弓形的面积．那么曲边三角形的面积就等于三角形的面积加上三个弓形的面积．
【解答】解：扇形ABC的面积为＝，
三角形ABC的面积为×4×2＝4，
弓形的面积为﹣4，
∴曲边三角形的面积为4+3×（﹣4）＝8π﹣8．
故答案为：8π﹣8．
【点评】本题考查了扇形面积的计算．此题的关键是明确曲边三角形的面积＝三角形的面积+三个弓形的面积．
16．（2022秋•徐州期中）如图，四边形ABCD是正方形，曲线DA1B1C1D1A2B2…叫做“正方形的渐开线”，其中的圆心为点A，半径为AD；的圆心为点B，半径为BA1；的圆心为点C，半径为CB1；的圆心为点D，半径为DC1；…，、、、、…的圆心依次按A、B、C、D循环，当AB＝1时，则的长是 　4043π　．

【分析】曲线DA1B1C1D1A2…是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径+1，到ADn﹣1＝AAn＝4（n﹣1）+1，BAn＝BBn＝4（n﹣1）+2，再计算弧长．
【解答】解：由图可知，曲线DA1B1C1D1A2…是由一段段90度的弧组成的，
半径每次比前一段弧半径+1，
AD＝AA1＝1，BA1＝BB1＝2，
……，
ADn﹣1＝AAn＝4（n﹣1）+1，BAn＝BBn＝4（n﹣1）+2，
故的半径为BA2022＝BB2022＝4（2022﹣1）+2＝8086，
的弧长＝×8086π＝4043π．
故答案为：4043π．
【点评】此题主要考查了弧长的计算，弧长的计算公式：l＝，找到每段弧的半径变化规律是解题关键．
17．（2022秋•高新区期中）如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A（0，4），B（4，4），C（6，2）．
（1）该圆弧所在圆的圆心坐标为 　（2，0）　．
（2）求弧ABC的长．

【分析】（1）根据垂径定理结合网格的性质可得答案；
（2）借助网格求出圆心角度数和半径，再利用弧长公式进行计算即可．
【解答】解：（1）由垂径定理可知，圆心是AB、BC中垂线的交点，
由网格可得该点P（2，0），
故答案为：（2，0）；
（2）根据网格可得，OP＝CQ＝2，OA＝PQ＝4，
∠AOP＝∠PQC＝90°，
由勾股定理得，
AP＝＝＝2＝PC，
∵AP2＝22+42＝20，CP2＝22+42＝20，AC2＝22+62＝40，
∴AP2+CP2＝AC2，
∴∠APC＝90°，
∴弧ABC的长为＝π，
答：弧ABC的长为π．

【点评】本题考查弧长的计算、垂径定理，掌握垂径定理以及网格特征是确定圆心坐标的关键，求出弧所在圆的半径和相应圆心角度数是求弧长的前提．
扇形面积的计算
18．（2022秋•涟水县期中）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝3m，OB＝1.5m，则阴影部分的面积为（　　）

A．4.25πm2 B．3.25πm2 C．3πm2 D．2.25πm2
【分析】根据S阴＝S扇形DOA﹣S扇形BOC，计算即可．
【解答】解：S阴＝S扇形DOA﹣S扇形BOC
＝﹣
＝2.25πm2．
故选：D．
【点评】本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式S＝是解题的关键．
19．（2022秋•大丰区期中）已知一个扇形的面积是240π，弧长是20π，则这个扇形的半径为（　　）
A．22 B．22π C．24 D．24π
【分析】根据扇形的面积公式求出半径，扇形的面积公式＝lr．
【解答】解：根据题意得240π＝×20πr，
解得r＝24．
故选：C．
【点评】本题主要考查扇形的面积公式，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．
20．（2022秋•崇川区期中）如图．将扇形AOB翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与交于点C，连接AC．若OA＝6，则图中阴影部分的面积是（　　）

A． B．3π C． D．
【分析】根据翻折的性质，可得到AD＝OD＝OA，进而求出∠OCD，∠AOC，再根据S阴影部分＝S扇形AOC﹣S△AOC进行计算即可．
【解答】解：由翻折的性质可知，AD＝OD＝OA，AC＝OC，
在Rt△COD中，OD＝OC＝3，
∴∠OCD＝30°，
∴∠AOC＝90°﹣30°＝60°，
∴CD＝OD＝3，
∴S阴影部分＝S扇形AOC﹣S△AOC
＝﹣×6×3
＝6π﹣9，
故选：C．

【点评】本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法，翻折的性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
21．（2022秋•邗江区期中）如图，在锐角三角形△ABC中，分别以三边AB，BC，CA为直径作圆．记三角形外的阴影面积为S1，三角形内的阴影面积为S2，在以下四个选项的条件中，不一定能求出S1﹣S2的是（　　）

A．已知△ABC的三条中位线的长度
B．已知△ABC的面积
C．已知AB，AC的长度及∠ACB＝30°
D．已知BC的长度，以及AB，AC的长度和
【分析】由题意S1＝S3个半外圆﹣S6个弓形＝S3个外半圆﹣（S3个内半圆﹣2S△ABC﹣S2）推出S1＝2S△ABC+S2，推出S1﹣S2＝2S△ABC．再一一判断即可．
【解答】解：∵S1＝S3个半外圆﹣S6个弓形＝S3个外半圆﹣（S3个内半圆﹣2S△ABC﹣S2），
∴S1＝2S△ABC+S2，
∴S1﹣S2＝2S△ABC．
A：若已知△ABC的三条中位线的长度，即可得到△ABC三边的长度，再根据海伦公式S＝（a，b，c是三角形的三边，p＝（a+b+c）），据此求得三角形的面积，即可得到S1﹣S2的值，故A选项不符合题意；B：已知△ABC的面积，代入S1﹣S2＝2S△ABC即可求得，故B选项不符合题意；
C：如解图，过点A作AD⊥BC于点D．
∵AD＝AC•sin∠ACB＝AC，
在△ADC和△ADB中，
∴CD＝AC，BD＝＝，
∴S△ABC＝•AD•（BD+CD），据此即可求得S1﹣S2的值，故C选项不符合题意；
D：∵已知AB，AC两边长度和，
∴AB，AC的长度不确定，
∴△ABC的面积也不确定，
∴不一定能求出S1﹣S2的值，故D选项符合题意；
故选：D．

【点评】本题三角形综合题，考查了三角形的面积，圆等知识，解题的关键是学会用割补法求阴影部分的面积，本题的突破点是证明S1﹣S2＝2S△ABC．
22．（2022秋•锡山区期中）将四边形ABCD绕顶点A顺时针旋转45°至四边形AB′C′D′的位置，若AB＝12cm，则图中阴影部分的面积为 　18πcm2　．

【分析】由旋转的性质得：∠BAB'＝45°，四边形AB'C'D'≌四边形ABCD，图中阴影部分的面积＝四边形ABCD的面积+扇形ABB'的面积﹣四边形AB'C'D'的面积＝扇形ABB'的面积，代入扇形面积公式计算即可．
【解答】解：由旋转的性质得：∠BAB'＝45°，四边形AB'C'D'≌四边形ABCD，
则图中阴影部分的面积＝四边形ABCD的面积+扇形ABB'的面积﹣四边形AB'C'D'的面积＝扇形ABB'的面积＝＝18π（cm2）．
故答案为：18πcm2．
【点评】本题考查了旋转的性质、扇形面积公式；熟练掌握旋转的性质，得出阴影部分的面积＝扇形ABB'的面积是解题的关键．
23．（2022秋•滨海县期中）如图，扇形AOB的圆心角为直角，边长为3的正方形OCDE的顶点C、E、D分别在OA、OB及上，过点A作AF⊥ED，交ED的延长线于点F，则图中阴影部分的面积等于 　9﹣9　．

【分析】根据题意可得出两个矩形全等，则阴影部分的面积等于等于矩形ACDF的面积．
【解答】解：连接OD，

∵正方形的边长为3，即OC＝CD＝3，
∴OD＝＝＝3，
∴AC＝OA﹣OC＝3﹣3，
∵DE＝DC，BE＝AC，弧BD＝弧AD，
∴S阴＝长方形ACDF的面积＝AC•CD＝（3﹣3）×3＝9﹣9．
故答案为：9﹣9．
【点评】本题考查了扇形面积的计算，做题的关键是掌握正方形的性质以及勾股定理．
24．（2022秋•连云港期中）如图，将半径为5cm的扇形OAB沿西北方向平移，得到扇形O′A′B′．若∠AOB＝90°，则阴影部分的面积为 　（+2﹣1）　cm2．（sin12°≈）

【分析】如图，设O′A′交于点D，O′B′交于点E，连接OE，OD，过点D作DJ⊥OA于点J．根据S阴＝S扇形BOE+S扇形AOD+S△OO′E+S△OO′D，求解即可．
【解答】解：如图，设O′A′交于点D，O′B′交于点E，连接OE，OD，过点D作DJ⊥OA于点J．

将半径为5cm的扇形OAB沿西北方向平移，即将半径为5cm的扇形OAB向西平移1cm，再向上平移1cm，
∴O′E＝EC﹣O′C＝﹣1＝2﹣1，
∵sin∠AOD＝＝，
∴∠AOD＝∠BOE＝12°，
∴S阴＝S扇形BOE+S扇形AOD+S△OO′E+S△OO′D
＝2×+2××1×（2﹣1）
＝（+2﹣1）（cm2）．
故答案为：（+2﹣1）．
【点评】本题考查扇形的面积，解题的关键是学会割补法求阴影部分的面积．
25．（2022秋•滨湖区校级期中）如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为的中点，以AC为边向左侧作面积为24的正方形ACDE，顶点D恰好落在OB上，则扇形AOB的面积为 　（6+）π　．

【分析】过点C作CH⊥OA于点H，连接OC，根据已知条件可知∠AOC＝45°，设OH＝CH＝x，根据勾股定理，得OC＝x，在Rt△AHC中，根据勾股定理，得，求出x2＝12+6，进一步求扇形AOB的面积即可．
【解答】解：过点C作CH⊥OA于点H，连接OC，如图所示：

则∠OHC＝90°，
∵扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为的中点，
∴∠AOC＝45°，
∴∠OCH＝45°，
∴OH＝CH，
设OH＝CH＝x，
根据勾股定理，得OC＝x，
∴OA＝x，
∴AH＝（﹣1）x，
∵以AC为边向左侧作面积为24的正方形ACDE，
∴AC2＝24，
在Rt△AHC中，根据勾股定理，得，
∴x2＝12+6，
∴OC2＝2x2＝24+12，
∴扇形AOB的面积＝＝（6+）π，
故答案为：（6+）π．
【点评】本题考查了正方形的性质，扇形面积的计算，勾股定理等，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
26．（2022秋•宝应县期中）如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个相邻刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（　　）

A．π﹣ B．π﹣ C．π﹣2 D．π﹣
【分析】连接OA、OB，过点O作OC⊥AB，根据等边三角形的判定得出△AOB为等边三角形，再根据扇形面积公式求出S扇形AOB＝π，再根据三角形面积公式求出S△AOB＝，进而求出阴影部分的面积．
【解答】解：连接OA、OB，过点O作OC⊥AB，

由题意可知：∠AOB＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB为等边三角形，
∴AB＝AO＝BO＝2
∴S扇形AOB＝＝π，
∵OC⊥AB，
∴∠OCA＝90°，AC＝1，
∴OC＝，
∴S△AOB＝＝，
∴阴影部分的面积为：π﹣；
故选：B．
【点评】本题考查有关扇形面积、弧长的计算，熟练应用面积公式，其中作出辅助线是解题关键．
27．（2022秋•句容市期中）如图，从一块半径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为60°的扇形，则此扇形的面积为 　2π　m2．

【分析】如图，作OD⊥AB于D，则AD＝BD，利用含30°度的直角三角形的性质和勾股定理计算出，然后利用扇形的公式计算扇形围成的圆锥的侧面积．
【解答】解：如图，作OD⊥AB于D，则AD＝BD，
∵OA＝2，∠BAC＝60°，
∵圆和扇形都是轴对称图形，且扇形内接于⊙O，
∴，
∴，，
∴，
∴扇形围成的圆锥的侧面积为：．
故答案为：2π．

【点评】本题考查圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了圆和扇形的性质，垂径定理，含30°度的直角三角形，勾股定理．掌握圆锥的侧面积等于扇形的面积是解题的关键．
28．（2022秋•灌云县期中）如图，将半径为5cm的扇形OAB沿西北方向平移，得到扇形O'A'B'，若∠AOB＝90°，则阴影部分的面积为 　　cm2．

【分析】设分别与O'A'、O'B'交于F、E，延长OO'交于G，根据进行求解即可．
【解答】解：设分别与O'A'、O'B'交于F、E，延长OO'交于G，
由题意得，∠A'O'B'＝∠AOB＝90°，
∴，
故答案为：．


【点评】本题主要考查了求不规则图形的面积，平移的性质，正确理解题意得到S阴影＝S扇形AOB﹣S△EO'F是解题的关键．
29．（2022秋•高邮市期中）若从一个腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮中剪出一个面积最大的扇形，则该扇形的面积为 　300π　cm2．
【分析】根据等腰三角形的性质得到OE的长，再利用扇形公式计算即可．
【解答】解：过O作OE⊥AB于E，当扇形的半径为OE时扇形OCD面积最大，
∵OA＝OB＝60cm，∠AOB＝120°，
∴∠A＝∠B＝30°，
∴OE＝OA＝30cm，
∴该扇形的面积为：＝300πcm2，
故答案为：300π．

【点评】本题考查扇形面积的计算，等腰三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
30．（2022秋•海陵区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB，BC，CA为直径作半圆围成两月牙形，过点C作DF∥AB分别交三个半圆于点D，E，F．
（1）连结AF、BD，求证四边形AFDB为矩形．
（2）若CF＝，CD＝，求阴影部分的面积．

【分析】（1）根据有三个角是直角的四边形是矩形，证明即可．
（2）阴影部分面积可以看成是以AC、BC为直径的两个半圆的面积加上一个直角三角形ABC的面积减去一个以AB为直径的半圆的面积．
【解答】（1）证明：连接AF、BE，

∵AC是直径，
∴∠AFC＝90°．
∵BC是直径，
∴∠CDB＝90°．
∵DF∥AB，
∴∠ABD+∠D＝180°，
∴∠ABD＝∠D＝∠F＝90°，
∴四边形ABDF是矩形；

（2）解：∵四边形ABDF是矩形，
∴AF＝BD，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠F＝∠D＝90°，
∴∠ACF+∠BCD＝90°，∠BCD+∠CBD＝90°，
∴∠ACF＝∠CBD，
∴△AFC∽△CDB，
∴＝，
∴AF＝BD＝2，
∴AC＝＝＝5，BC＝＝＝10，
∴S阴影＝直径为AC的半圆的面积+直径为BC的半圆的面积+S△ABC﹣直径为AB的半圆的面积
＝π（）2+π（）2+AC×BC﹣π（）2
＝π（AC）2+π（BC）2﹣π（AB）2+AC×BC
＝π（AC2+BC2﹣AB2）+AC×BC
＝AC×BC
＝×5×10
＝25．
【点评】此题主要考查了扇形面积的计算公式，阴影部分的面积可以看作是几个规则图形的面积的和或差．
31．（2022秋•邗江区期中）如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为 　π﹣　．

【分析】连接OA、OB，过点O作OC⊥AB，根据等边三角形的判定得出△AOB为等边三角形，再根据扇形面积公式求出S扇形AOB＝π，再根据三角形面积公式求出S△AOB＝，进而求出阴影部分的面积．
【解答】解：连接OA、OB，过点O作OC⊥AB于点C，

由题意可知：∠AOB＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB为等边三角形，
∴AB＝AO＝BO＝2，
∴S扇形AOB＝＝π，
∵OC⊥AB，
∴∠OCA＝90°，AC＝1，
∴OC＝，
∴S△AOB＝＝，
∴阴影部分的面积为：π﹣；
故答案为：π﹣；
【点评】本题考查有关扇形面积、弧长的计算，熟练应用面积公式，其中作出辅助线是解题关键．
32．（2022秋•工业园区校级期中）如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，∠A＝30°，OB＝4，以O为圆心，OB为半径画弧，分别交OA、AB于点C、D，则阴影部分面积为 　4﹣　（结果保留π）．

【分析】过D作DC⊥OA于C，由含30度角的直角三角形和勾股定理求得OA，证得△OBD是等边三角形，△ADO是等腰三角形，进而求出∠DOA＝30°，CD＝2，根据S阴影＝S△AOD﹣S扇形即可求出阴影部分面积．
【解答】解：在△AOB中，∠AOB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°，AB＝2OB＝8，
∴OA＝＝＝4，
∵OB＝OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠BOD＝60°，
∴∠DOA＝∠AOB﹣∠BOD＝30°，
∴∠DOA＝∠A，
∴DO＝DA，过D作DC⊥OA于C，
∴OC＝AC＝OA＝2，
在Rt△ODC中，
∵∠DOA＝30°，
∴CD＝OD＝OB＝×4＝2，
∴S阴影＝S△AOD﹣S扇形＝×4×2﹣＝4﹣，
故答案为：4﹣．

【点评】本题主要考查了扇形的面积公式，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，证得△OBD是等边三角形，△ADO是等腰三角形是解决问题的关键．
圆锥的计算
33．（2022秋•天宁区校级期中）圆锥底面半径是3cm，母线是4cm，则圆锥侧面积是（　　）
A．6πcm2 B．9πcm2 C．12πcm2 D．20πcm2
【分析】由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据扇形的面积公式可计算出圆锥侧面积．
【解答】解：根据题意得圆锥侧面积＝×2π×3×4＝12π（cm2）．
故选：C．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
34．（2022秋•建湖县期中）如图，矩形纸片ABCD中，AD＝12cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为（　　）

A．4cm B．6cm C．8cm D．9cm
【分析】设圆锥的底面的半径为rcm，则DE＝2rcm，AE＝AB＝（12﹣2r）cm，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到＝2πr，解方程求出r，然后计算9﹣2r即可．
【解答】解：设圆锥的底面的半径为rcm，则DE＝2rcm，AE＝AB＝（12﹣2r）cm，
根据题意得＝2πr，
解得r＝2，
所以AB＝12﹣2r＝12﹣2×2＝8（cm）．
故选：C．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
35．（2022秋•天宁区校级期中）如图是一个圆锥形冰淇淋外壳（不计厚度），已知其母线长为12cm，圆锥口圆面半径为3cm，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于（　　）cm2．

A．15π B．36π C．30π D．18π
【分析】根据圆的周长公式求出圆锥底面圆的周长，得到圆锥侧面展开图扇形的弧长，根据扇形面积公式计算，得到答案．
【解答】解：∵底面圆的半径为3cm，
∴底面圆的周长为6π（cm），即圆锥侧面展开图扇形的弧长为6π cm，
∴这个冰淇淋外壳的侧面积＝×12×6π＝36π（cm2）
故选：B．
【点评】本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．
36．（2022秋•徐州期中）若圆锥的底面直径为4cm，侧面展开图的面积为6πcm2，则圆锥的母线长为（　　）
A． B． C．3cm D．2cm
【分析】根据圆锥侧面积公式S＝πrl代入数据求出圆锥的母线长即可．
【解答】解：根据圆锥侧面积公式：S＝πrl，圆锥的底面半径为2cm，侧面展开图的面积为6πcm2，
故6π＝π×2×l，
解得：l＝3（cm）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了圆锥侧面积公式的应用，正确记忆圆锥侧面积公式是解题关键．
37．（2022秋•洪泽区期中）圆锥底面圆的半径4，母线长12，则这个圆锥的侧面积为 　48π　．
【分析】根据圆锥的侧面展开图为扇形，先计算出圆锥的底面圆的周长，然后利用扇形的面积公式求得扇形的面积即可．
【解答】解：∵圆锥的底面半径为4，
∴圆锥的底面圆的周长＝2π•4＝8π，
∴圆锥的侧面积＝•8π•12＝48π．
故答案为：48π．
【点评】本题考查了圆锥的侧面积的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长为圆锥的底面周长，扇形的半径为圆锥的母线长．也考查了扇形的面积公式：S＝lR，（l为弧长）．
38．（2022秋•邗江区期中）如图所示，矩形纸片ABCD中，AD＝8cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为 　cm　．

【分析】设圆锥的底面的半径为rcm，则DE＝2rcm，AE＝AB＝（8﹣2r）cm，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到 ＝2πr，解方程求出r，然后计算8﹣2r即可．
【解答】解：设圆锥的底面的半径为rcm，则DE＝2rcm，AE＝AB＝（8﹣2r）cm，
根据题意得＝2πr，
解得r＝，
所以AB＝8﹣2r＝8﹣2×＝（cm）．
故答案为：cm．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
39．（2022秋•句容市期中）某同学在数学实践活动中，制作了一个侧面积为40π，底面半径为4的圆锥模型，则此圆锥的母线长为 　10　．
【分析】设此圆锥的母线长为l，利用扇形的面积公式得到，然后解方程即可．
【解答】解：如图，设此圆锥的母线长为l，根据题意得：，
解得：l＝10，
∴此圆锥的母线长为10．
故答案为：10．

【点评】本题考查圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．掌握圆锥的相关知识是解题的关键．
40．（2022秋•盐都区期中）若圆锥的母线长为10cm，底面半径为6cm，则圆锥的侧面积为 　60π　cm2．
【分析】利用圆锥的底面半径为6cm，母线长为10cm，直接利用圆锥的侧面积公式求出即可．
【解答】解：依题意知母线长＝10cm，底面半径r＝6cm，
则由圆锥的侧面积公式得S＝πrl＝π×10×6＝60πcm2．
故答案为：60π．
【点评】此题主要考查了圆锥侧面面积的计算，熟练记忆圆锥的侧面积公式是解决问题的关键．
41．（2022秋•铜山区期中）如图，从一块半径为1m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为120°的扇形ABC，如果剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的周长为 　　m．

【分析】求出阴影扇形的弧长，进而可求出围成圆锥的底面半径，从而求得底面圆的周长．
【解答】解：如图，连接OA，OB，OC，

则OB＝OA＝OC＝1m，
因此阴影扇形的半径为1m，圆心角的度数为120°，
则扇形的弧长为：m，
而扇形的弧长相当于围成圆锥的底面周长，因此有：
2πr＝，
解得，r＝（m），
∴圆的周长为2πr＝π（cm），
故答案为：π．
【点评】本题考查圆锥的有关计算，明确扇形的弧长相当于围成圆锥的底面周长是解决问题的关键．
42．（2022秋•姑苏区校级期中）若圆锥的底面圆半径为2，母线长为5，则该圆锥的侧面积是 　10π　．（结果保留π）
【分析】根据圆锥的底面半径为2，母线长为5，直接利用圆锥的侧面积公式求出它的侧面积．
【解答】解：根据圆锥的侧面积公式：πrl＝π×2×5＝10π，
故答案为：10π．
【点评】此题主要考查了圆锥侧面积公式．掌握圆锥侧面积公式：S侧＝πrl是解决问题的关键．

一．选择题（共3小题）
1．（2022秋•姜堰区期中）如图，正n边形A1A2A3…An两条对角线A1A7、A4A6的延长线交于点P，若∠P＝24°，则n的值是（　　）

A．12 B．15 C．18 D．24
【分析】连接A2A6，A2A4，根据正n边形的性质知A1A7∥A2A6，得∠P＝∠A2A6A4＝24°，则正n边形中心角为24°，即可解决问题．
【解答】解：连接A2A6，A2A4，

∵多边形是正n边形，
∴A1A7∥A2A6，
∴∠P＝∠A2A6A4＝24°，
∴正n边形中心角为24°，
∴n＝360°÷24°＝15，
故选：B．
【点评】本题主要考查了正n边形和圆的知识，熟练掌握正n边形的性质是解题的关键．
2．（2022秋•阜平县期中）如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的两边AB、BC上的点．且AM＝BN，点O是正五边形的中心，则∠MON的度数是（　　）

A．45度 B．60度 C．72度 D．90度
【分析】连接OA、OB、OC，根据正多边形的中心角的计算公式求出∠AOB，证明△AOM≌△BON，根据全等三角形的性质得到∠BON＝∠AOM，得到答案．
【解答】解：连接OA、OB、OC，
∠AOB＝＝72°，
∵∠AOB＝∠BOC，OA＝OB，OB＝OC，
∴∠OAB＝∠OBC，
在△AOM和△BON中，
，
∴△AOM≌△BON（SAS）
∴∠BON＝∠AOM，
∴∠MON＝∠AOB＝72°，
故选：C．

【点评】本题考查的是正多边形和圆的有关计算，掌握正多边形与圆的关系、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
3．（2022秋•龙岩期中）如图所示，AB为半圆O的直径，C、D、E、F是上的五等分点，P为直径AB上的任意一点，若AB＝4，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．π B．π C．π D．π
【分析】连接OE、OD，利用同底等高的三角形面积相等可知阴影部分的面积等于扇形EOD的面积，然后计算扇形面积即可．
【解答】解：连接OE、OD，
∵C、D、E、F是半圆O的五等分点，
∴∠EOD＝180°÷5＝36°，
∵AB＝4，
∴OD＝2，
∵DE＝DE，点O、P都在直径上，
∴△EOD和△EPD等底等高，
∴S△EOD＝S△EPD．
∴阴影部分的面积＝S扇形EOD＝＝π．
故选：C．

【点评】此题主要考查了扇形面积求法，利用已知条件得出阴影部分的面积等于扇形EOD的面积是解题关键．
二．填空题（共12小题）
4．（2022秋•铜山区期中）已知正六边形的边长为1cm，分别以它的三个不相邻的顶点为圆心，1cm长为半径画弧（如图），则所得到的三条弧的长度之和为 　2π　cm（结果保留π）．

【分析】本题主要考查求正多边形的每一个内角，以及弧长计算公式．
【解答】解：方法一：
先求出正六边形的每一个内角＝，
所得到的三条弧的长度之和＝3×＝2πcm；

方法二：先求出正六边形的每一个外角为60°，
得正六边形的每一个内角120°，
每条弧的度数为120°，
三条弧可拼成一整圆，其三条弧的长度之和为2πcm．
故答案为：2π．
【点评】与圆有关的计算，注意圆与多边形的结合．
5．（2022秋•丰台区校级期中）斛是中国古代的一种量器．据《汉书•律历志》记载：“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiāo）焉．”意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆．”如图所示．问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的边长为 　　尺．

【分析】根据正方形性质确定△CDE为等腰直角三角形，CE为直径，根据题意求出正方形外接圆的直径CE，求出CD，问题得解．
【解答】解：如图，

∵四边形CDEF为正方形，
∴∠D＝90°，CD＝DE，
∴CE为直径，∠ECD＝45°，
由题意得AB＝2.5，
∴CE＝2.5﹣0.25×2＝2，
∴CD＝CE＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了正方形外接圆的性质，等腰直角三角形性质，解题关键是判断出正方形对角线为其外接圆直径．
6．（2022秋•玄武区期中）如图，正五边形ABCDE和正三角形APQ都内接于⊙O，则的度数为 　24　°．

【分析】如图，连接OA，OB，OC．利用正多边形的性质求出∠AOP，∠AOB，∠BOC，可得结论．
【解答】解：如图，连接OA，OB，OC．

∵正五边形ABCDE和正三角形APQ都内接于⊙O，
∴∠AOP＝＝120°，∠AOB＝∠BOC＝＝72°，
∴∠POC＝72°﹣（120°﹣72°）＝24°，
∴的度数为24°．
故答案为：24．
【点评】本题考查正多边形与圆，等边三角形的性质，正五边形的性质等知识，解题的关键是掌握正多边形的性质，属于中考常考题型．
7．（2022秋•龙湾区期中）如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，E是的中点，AE交BC于点F，则∠1＝　67.5　度．

【分析】根据四边形ABCD是⊙O的内接正方形，得∠BAC＝45°，∠B＝90°，根据＝，得∠BAE＝∠CAE＝∠BAC＝22.5°，即可求出∠1的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，
∴∠BAC＝45°，∠B＝90°，
∵E是的中点，
∴＝，
∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC＝22.5°，
∴∠1＝90°﹣22.5°＝67.5°．
故答案为：67.5．
【点评】本题考查正多边形与圆，正方形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
8．（2022秋•如东县期中）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．设半径为1的圆的面积与其内接正n边形的面积差为△n，如图①，图②，若用圆的内接正八边形和内接正十二边形逼近半径为1的圆，则△8﹣△12＝　3﹣2　．

【分析】由题意△8﹣△12＝（S圆﹣S八边形）﹣（S圆﹣S十二边形）＝S十二边形﹣S八边形，由此计算即可．
【解答】解：如图，由题意，△8﹣△12＝（S圆﹣S八边形）﹣（S圆﹣S十二边形）
＝S十二边形﹣S八边形
＝12××1×1×sin30°﹣8××1×1×sin45°
＝3﹣2．
故答案为：3﹣2．

【点评】本题考查正多边形和圆，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
9．（2022秋•朝阳区校级期中）如图，正方形ABCD是⊙O的内接正方形，点P在劣弧上不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数是　45　度．

【分析】连接OB，OC，由正方形的性质知，△BOC是等腰直角三角形，有∠BOC＝90°，由圆周角定理可以求出．
【解答】解：连接OB，OC，如图所示：
∵四边形ABCD为正方形，∴∠BOC＝90°，
∴∠P＝∠BOC＝45°．
故答案为：45．

【点评】本题利用了正方形的性质，等腰直角三角形的性质及圆周角定理求解．
10．（2022秋•福清市期中）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为2，则这个正六边形的边心距OM的长为　　．

【分析】根据正六边形的性质求出∠BOM，利用余弦的定义计算即可．
【解答】解：连接OB，
∵六边形ABCDEF是⊙O内接正六边形，
∴∠BOM＝＝30°，
∴OM＝OB•cos∠BOM＝，
故答案为：．

【点评】本题考查的是正多边形和圆的有关计算，掌握正多边形的中心角的计算公式、熟记余弦的概念是解题的关键．
11．（2022秋•姑苏区期中）如图，正方形ABCD内接于⊙O，其边长为2，则⊙O的内接正三角形EFG的边长为　　．

【分析】连接AC、OE、OF，作OM⊥EF于M，先求出圆的半径，在Rt△OEM中利用30度角的性质即可解决问题．
【解答】解；连接AC、OE、OF，作OM⊥EF于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，
∴AC是直径，AC＝2，
∴OE＝OF＝，
∵OM⊥EF，
∴EM＝MF，
∵△EFG是等边三角形，
∴∠GEF＝60°，
在Rt△OME中，∵OE＝，∠OEM＝∠GEF＝30°，
∴OM＝，EM＝OM＝，
∴EF＝．
故答案为．

【点评】本题考查正多边形与圆、等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是熟练应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
12．（2022秋•商丘期中）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D、E、F均在小正方形的顶点上，且弦BG上有4个正方形的格点（包括端点），则阴影部分的面积为 　　．

【分析】如图，连接AD，CF交于点O，连接BC，OG．证明∠COG＝90°，可得结论．
【解答】解：如图，连接AD，CF交于点O，连接BC，OG．

由题意AD＝CF＝5，是⊙O的直径，O是圆心，
∵∠COG＝2∠CBD＝90°，
∴S弓形CDG＝S扇形COG﹣S△COG＝﹣××＝﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题考查扇形的面积，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
13．（2022秋•柯桥区期中）如图，边长为2的等边△ABC，将边BC不改变长度，变为弧BC，得到以A为圆心，AB为半径的扇形ABC，由三角形变成扇形，下列量的变化情况是：∠A的度数 　变小　，图形的面积 　变大　．（空格处填“变大”，“变小”或“不变”）

【分析】连接BC，则弦BC的长小于弧BC的长，可知∠A的度数变小了，分别求出扇形的面积和等边△ABC的面积，即可判断出答案．
【解答】解：如图，连接BC，则弦BC的长小于弧BC的长，

∴∠A的度数变小了，
∵扇形的面积为×2×2＝2，
原等边△ABC的面积为×2×＝，
＜2，
∴图形的面积变大了．
故答案为：变小，变大．
【点评】本题考查了扇形的面积公式，等边三角形的性质，熟记扇形的面积公式S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）是关键．
14．（2022秋•南宁期中）如图，Rt△BCO中，∠BCO＝90°，∠CBO＝30°，BO＝4cm，将△BCO绕点O逆时针旋转至△B'C'O，点C'在BO的延长线上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为 　4π　cm2．（结果保留π）

【分析】根据旋转的性质得出OC＝OC′，∠C′OB′＝∠COB，OB＝OB′＝4cm，S△COB＝S△C′OB′，根据直角三角形的性质求出∠COB＝90°﹣∠OBC＝60°，OC＝OB＝2cm，求出∠COC′＝∠BOB′＝120°，根据图形得出阴影部分的面积S＝S扇形BOB′+S△C′OB′﹣S扇形COC′﹣S△COB＝S扇形BOB′﹣S扇形COC′，再求出答案即可．
【解答】解：∵将△BCO绕点O逆时针旋转至△B'C'O，∠OBC＝30°，
∴OC＝OC′，∠C′OB′＝∠COB，OB＝OB′＝4cm，S△COB＝S△C′OB′，
∵∠BCO＝90°，∠OBC＝30°，BO＝4cm，
∴∠COB＝90°﹣∠OBC＝60°，OC＝OB＝2cm，
∴∠COC′＝120°，
∴阴影部分的面积S＝S扇形BOB′+S△C′OB′﹣S扇形COC′﹣S△COB
＝S扇形BOB′﹣S扇形COC′
＝﹣
＝﹣
＝4π（cm2），
故答案为：4π．
【点评】本题考查了扇形的面积计算，旋转的性质，直角三角形的性质等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．
15．（2022秋•余干县期中）如图，在边长为6的正六边形ABCDEF中，连接BE，CF，其中点M，N分别为BE和CF上的动点．若以M，N，D为顶点的三角形是等边三角形，且边长为整数，则该等边三角形的边长为 　9或10或18　．

【分析】连接DF，DB，BF．则△DBF是等边三角形．解直角三角形求出DF，可得结论．当点N在OC上，点M在OE上时，求出等边三角形的边长的最大值，最小值，可得结论．
【解答】解：连接DF，DB，BF．则△DBF是等边三角形．

设BE交DF于J．
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴由对称性可知，DF⊥BE，∠JEF＝60°，EF＝ED＝6，
∴FJ＝DJ＝EF•sin60°＝6×＝9，
∴DF＝18，
∴当点M与B重合，点N与F重合时，满足条件，
∴△DMN的边长为18，
如图，当点N在OC上，点M在OE上时，

等边△DMN的边长的最大值为6≈10.39，最小值为9，
∴△DMN的边长为整数时，边长为10或9，
综上所述，等边△DMN的边长为9或10或18．
故答案为：9或10或18．
【点评】本题考查正多边形与圆，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是判断出△BDF是等边三角形，属于中考常考题型．
三．解答题（共7小题）
16．（2022秋•西山区校级期中）如图，D是等边△ABC内的一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE和扇形EAD，连接CD、BE、DE．
（1）若AD＝2，求阴影部分的面积；（结果保留根号和π）
（2）若∠ADC＝110°，求∠BED的度数．

【分析】（1）利用扇形面积公式和三角形面积公式求得即可；
（2）由SAS证△EAB≌△DAC可得∠AEB＝∠ADC＝110°，证△EAD为等边三角形，则∠AED＝60°，继而得出答案．
【解答】解：（1）∵AD＝AE＝2，∠DAE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴S△ADE＝××2＝，
∴S阴影＝﹣＝﹣；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC，
∵线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，
∴∠DAE＝60°，AE＝AD，
∴∠BAD+∠EAB＝∠BAD+∠DAC，
∴∠EAB＝∠DAC，
在△EAB和△DAC中，
，
∴△EAB≌△DAC（SAS），
∴∠AEB＝∠ADC＝110°，
∵∠DAE＝60°，AE＝AD，
∴△EAD为等边三角形，
∴∠AED＝60°，
∴∠BED＝∠AEB﹣∠AED＝110°﹣60°＝50°．
【点评】本题主要考查扇形面积的计算，旋转的性质，等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握旋转的性质，证得三角形的全等是解题的关键．
17．（2022秋•拱墅区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB＝10，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接DE，过点B作BP平行于DE，交⊙O于点P，连接CP、OP．
（1）求证：点D为BC的中点；
（2）求的长度．

【分析】（1）连接AD，由圆周角定理得∠ADB＝90°，再由等腰三角形的性质可证明结论；
（2）由圆内接四边形对角互补可得∠CDE＝∠BAE＝30°，则∠ABP＝∠ABC﹣∠PBC＝75°﹣30°＝45°，从而∠AOP＝2∠ABP＝90°，代入弧长公式计算即可．
【解答】（1）证明：连接AD，

∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，
∴AD是中线，
∴点D为BC的中点；
（2）解：∵AB＝AC，∠A＝30°，
∴∠ABC＝，
∵四边形ABDE是圆内接四边形，
∴∠BAE+∠BDE＝∠BDE+∠CDE＝180°，
∴∠CDE＝∠BAE＝30°，
∵BP∥DE，
∴∠PBC＝∠EDC＝30°，
∴∠ABP＝∠ABC﹣∠PBC＝75°﹣30°＝45°，
∴∠AOP＝2∠ABP＝90°，
∴的长为：
【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，弧长，掌握作辅助线证明四边形OHCP是矩形是解题的关键．
18．（2022秋•黔西南州期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O在斜边AB上，且AO＝AC，连接CO，并延长至D，使∠D＝∠OCB，以O为圆心，OD为半径画圆，交DB延长线于E点．
（1）求证：BD＝BE；
（2）已知AC＝1cm，BC＝cm．
①连接CE，过B作BF⊥EC于F点，求线段BF的长；
②求图中阴影部分面积．

【分析】（1）只要证得OB⊥DE即可；
（2）①证得BF是△DCE的中位线，得到BF＝CD，即可求得BF的长；
②由S阴影＝S扇形ODE﹣S△ODE求得即可．
【解答】（1）证明：∵AO＝AC，
∴∠ACO＝∠AOC，
∵∠D＝∠OCB，∠BOD＝∠AOC，
∴∠ACO+∠OCB＝∠BOD+∠D，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BOD+∠D＝90°，
∴OB⊥DE，
∴BD＝BE；
（2）解：①在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1cm，BC＝cm．
∴tan∠ABC＝＝＝，
∴∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝2cm，∠A＝60°，
∵OA＝AC，
∴△AOC为等边三角形，
∴OC＝AC＝1cm，∠AOC＝60°，
∴∠D＝∠OCB＝30°，OB＝AB﹣OA＝1cm，
∴OD＝2OB＝2cm，
∴CD＝OD+OC＝3cm，
∵∠D＝∠OCB，
∴BD＝BC，
∵BD＝BE，
∴BC＝BE，
∴∠BCE＝∠BEC，
∴∠D+∠BEC＝∠DCE＝90°，
∵BF⊥CE，
∴BF∥CD，
∵BD＝BE，
∴BF＝CD＝cm；
②解：连接OE，
∵OD＝2cm、OB＝1cm，
∴BD＝cm，
则DE＝2BD＝2cm，
∵OD＝OE，
∴∠D＝∠OED＝30°，
∴∠DOE＝120°，
S阴影＝S扇形ODE﹣S△ODE＝﹣×2×1＝（π﹣）cm2．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，锐角三角函数，垂径定理，三角形中位线定理，等边三角形的判定和性质，扇形的面积的计算，第（1）问的关键在于证明∠BOD+∠D＝90°；第（2）问的①的关键在于证明∠DCE＝90°；②的关键在于明确S阴影＝S扇形ODE﹣S△ODE．
19．（2022秋•鹿城区校级期中）如图，以△ABC的边AB为直径作半圆，分别交边AC，BC于点D，E，点O为圆心，连结AE，OE．已知点E是弧DB的中点，∠C＝75°．
（1）求∠EOB的度数．
（2）若直径AB＝8，求阴影部分的面积．

【分析】（1）连接OE，证明AC＝CB，求出∠CAB＝30°，再证明OE∥AC，可得结论；
（2）连接OD，过点O作OT⊥AD于点T，过点E作EJ⊥OB于点J，根据S阴＝S△ABC﹣S△AOD﹣S扇形ODE﹣S△OEB，求解即可．
【解答】解：（1）如图，连接EO．
∵E是的中点，
∴∠DAE＝∠EAB，
∵AB是直径，
∴∠AEB＝∠AEC＝90°，
∴∠C+∠DAE＝90°，∠B+∠EAB＝90°，
∴∠C＝∠B＝75°，
∴AC＝AB，
∴EC＝EB，
∵AO＝OE，
∴∠OAE＝∠OEB＝∠EAC，
∴EO∥AC，
∴∠EOB＝∠CAB＝180°﹣2×75°＝30°；

（2）连接OD，过点O作OT⊥AD于点T，过点E作EJ⊥OB于点J，
∵OT⊥AD，OT经过圆心O，
∴AT＝TD＝AO•cos30°＝2，OT＝OA＝2，
∵EJ⊥OB，
∴EJ＝OE•sin30°＝2，
∴S阴＝S△ABC﹣S△AOD﹣S扇形ODE﹣S△OEB
＝2××8×2﹣××2﹣﹣×4×2
＝12﹣4﹣．

【点评】本题考查扇形的面积，垂径定理，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
20．（2022秋•富阳区期中）已知在圆O中，弦AB垂直弦CD于点E
（1）如图1：若CE＝BE，求证：AB＝CD；
（2）如图2：若AB＝8，CD＝6，OE＝；
①求圆的半径；
②求弓形CBD的面积．


【分析】（1）连接AD、BC，如图，根据等腰三角形的性质由CE＝BE得∠B＝∠C，再根据圆周角定理得∠A＝∠C，∠B＝∠D，则∠A＝∠D，然后根据等腰三角形的判定即可得到结论；
（2）①根据垂径定理得AM＝AB＝4，DN＝CD＝3，再根据勾股定理得OM2＝OA2﹣AM2，ME2＝ON2＝OD2﹣DN2，OM2+ME2＝OE2，r2﹣42+r2﹣32＝（）2，即可求出圆的半径；
②根据勾股定理求出ON＝3，得∠COD＝90°，所以弓形CBD的面积为扇形的面积减去三角形的面积即可．
【解答】解：（1）证明：连接AD、BC，如图1，

∵CE＝BE，
∴∠B＝∠C，
∵∠A＝∠C，∠B＝∠D，
∴∠A＝∠D，
∴AE＝DE，
∴AB＝CD；
（2）解：①连接OA，OC，OD，OM⊥AB于点M，ON⊥CD于点N，设圆的半径为r，
则AM＝AB＝4，DN＝CD＝3，ME＝ON，
∵OM2＝OA2﹣AM2，ME2＝ON2＝OD2﹣DN2，OM2+ME2＝OE2，
∴r2﹣42+r2﹣32＝（）2，
解得r＝3，
∴圆的半径为3；
②∵DN＝3，
∴ON＝＝3，
∴∠D＝∠C＝45°，
∴∠COD＝90°，
∴弓形CBD的面积为﹣×3×＝﹣9．
【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，扇形的面积公式等，解答本题需要我们熟练各部分的内容，一定要注意将所学知识贯穿起来，正确作出辅助线．
21．（2022秋•新吴区期中）如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格中进行下列操作：
（1）请在图中确定该圆弧所在圆心D点的位置，D点坐标为　（2，0）　；
（2）连接AD、CD，求⊙D的半径及扇形DAC的圆心角度数；
（3）若扇形DAC是某一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面半径．

【分析】（1）找到AB，BC的垂直平分线的交点即为圆心坐标；
（2）利用勾股定理可求得圆的半径；易得△AOD≌△DEC，那么∠OAD＝∠CDE，即可得到圆心角的度数为90°；
（3）求得弧长，除以2π即为圆锥的底面半径．
【解答】解：（1）如图；D（2，0）（4分）

（2）如图；；
作CE⊥x轴，垂足为E．
∵△AOD≌△DEC，
∴∠OAD＝∠CDE，
又∵∠OAD+∠ADO＝90°，
∴∠CDE+∠ADO＝90°，
∴扇形DAC的圆心角为90度；

（3）∵弧AC的长度即为圆锥底面圆的周长．l弧＝，
设圆锥底面圆半径为r，则，
∴．

【点评】本题用到的知识点为：非直径的弦的垂直平分线经过圆心；圆锥的弧长等于底面周长．
22．（2022秋•定海区期中）如图，O为半圆的圆心，直径AB＝12，C是半圆上一点，OD⊥AC于点D，OD＝3．
（1）求AC的长；
（2）求图中阴影部分的面积．

【分析】（1）根据垂径定理可知AD＝DC，由OA＝OB，推出BC＝2OD＝6，Z在Rt△ACB中，利用勾股定理求出AC．
（2）首先证明△OBC设等边三角形，推出∠AOC＝120°，根据S阴＝S扇形OAC﹣S△AOC计算即可．
【解答】解：（1）∵OD⊥AC，
∴AD＝DC，∵AO＝OB，
∴BC＝2OD＝6，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC＝＝＝6．

（2）连接OC，∵OC＝OB＝BC＝6，
∴∠BOC＝60°，
∴∠AOC＝120°，
∴S阴＝S扇形OAC﹣S△AOC＝﹣•6•3＝12π﹣9．

【点评】本题考查扇形的面积公式、垂径定理、勾股定理．三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用方法求阴影部分面积，属于中考常考题型．