【期中真题】2023-2024学年八年级数学上册 期中真题分类专题汇编 专题04实数的综合运算与应用（6种题型）.zip

专题04 实数的综合运算与应用 实数的分类与性质应用1．（2022秋•新昌县期末）在实数，（每隔一个1增加一个0）中，无理数有（    ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】根据无理数的三种形式求解即可．【解析】解：在这8个数中，无理数有、、、（每各一个1增加一个这4个，故选：C．【点睛】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数．2．（2022·四川内江·统考中考真题）如图，数轴上的两点A、B对应的实数分别是a、b，则下列式子中成立的是（　　）A．1﹣2a＞1﹣2b B．﹣a＜﹣b C．a+b＜0 D．|a|﹣|b|＞0【答案】A【分析】根据数轴得出a＜b，根据不等式的性质对四个选项依次分析即可得到答案．【详解】解：由题意得：a＜b，∴﹣2a＞﹣2b，∴1﹣2a＞1﹣2b，∴A选项的结论成立；∵a＜b，∴﹣a＞﹣b，∴B选项的结论不成立；∵﹣2＜a＜﹣1，2＜b＜3，∴，∴，∴a+b＞0，∴C选项的结论不成立；∵∴，∴D选项的结论不成立．故选：A．【点睛】本题考查数轴、不等式、绝对值的性质，解题的关键是熟练掌握数轴、不等式、绝对值的相关知识．3．（2023春·山东威海·八年级统考期中）化简二次根式 的结果是（     ）A． B．－ C． D．－【答案】B【分析】首先根据二次根式有意义的条件求得a、b的取值范围，然后再利用二次根式的性质进行化简即可【详解】故选B【点睛】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条件判断字母的取值范围．本题需要重点注意字母和式子的符号．4．（2022·四川广安·统考中考真题）若（a﹣3）2+=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为________．【答案】11或13/13或11【分析】根据平方的非负性，算术平方根的非负性求得的值，进而根据等腰三角形的定义，分类讨论，根据构成三角形的条件取舍即可求解．【详解】解：∵（a﹣3）2+=0，∴，，当为腰时，周长为：，当为腰时，三角形的周长为，故答案为：11或13．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，非负数的性质，掌握以上知识是解题的关键．5．（2023春·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期中）设为的小数部分，为的小数部分，则值为 ．【答案】【分析】运用完全平方公式化简，后估算法确定整数部分和小数部分，最后分母有理化计算即可．【详解】∵，且，为的小数部分，∴；∵，且，为的小数部分，∴；∴，故答案为：．【点睛】本题考查了完全平方公式，二次根式的性质，无理数的估算，分母有理化，二次根式的加减运算，熟练掌握完全平方公式，二次根式的性质，无理数的估算，分母有理化是解题的关键．6．（2023•沭阳县模拟）把下列各数填在相应的集合里：．有理数集合：{          ，…}；无理数集合：{          ，…}；正实数集合：{          ，…}；负实数集合：{          ，…}．【答案】：；；；【分析】直接利用有理数、无理数，正实数，负实数的定义得出答案．【解析】有理数集合：；无理数集合：；正实数集合：；负实数集合：．【点睛】本题主要考查实数的分类，熟练掌握有理数、无理数，正实数，负实数的定义是解决本题的关键．7．（2023·浙江·假期作业）设n是正整数，则按整数部分的大小可以这样分组：整数部分为1：，，；，，…，．整数部分为2：，，…；，，…．整数部分为3：，，…；，，…．(1)若的整数部分为4，则n的最小值、最大值分别是多少？(2)若的整数部分为5，则n可能的值有几个？【答案】(1)最小值为64，最大值为124(2)11个【分析】（1）根据规律利用的整数部分4，即可得出答案，（2）根据规律利用的整数部分5，即可得出答案．【详解】（1）解：由题意可得：的最小值64，的最大值124；（2）的最小值25，的最大值35，可能的值有11种．【点睛】本题主要考查了根式的计算和性质应用，难度适中．8.（2023春·江西吉安·七年级统考期末）如图，数轴上有A、B、C三个点，它们所表示的数分别为a、b、c三个数，其中，且b的倒数是它本身，且a、c满足．（1）计算：的值；（2）若将数轴折叠，使得点A与点B重合，求与点C重合的点表示的数．【答案】（1）13；（2）-8【分析】（1）根据偶数次幂和绝对值的非负性，求出a和c的值，再代入求解，即可；（2）根据倒数的定义，求出b的值，再求出A，B中点所对应的数，进而即可求解．【详解】解：（1）∵，∴，解得：，则 ；（2）∵，且b的倒数是它本身，∴，∵，∴和重合，和的中点为，∵，∴与点C重合的点表示的数是．【点睛】本题主要考查数轴上点表示的数，熟练掌握倒数，绝对值的意义，是解题的关键． 实数有关的规律性及框图题计算1．（2022秋•金华期末）借助计算器可求得，，，仔细观察上面几道题的计算结果，试猜想等于（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】当根号内的两个平方的底数为1位数时，结果为5，当根号内的两个平方的底数为2位数时，结果为55，当根号内的两个平方的底数为3位数时，结果为555，据此即可找出规律，根据此规律作答即可．【解析】解：∵，，，……∴=．故选：D．【点睛】本题主要考查了与算术平方根有关的数的规律探求问题，解题的关键是由前三个式子找到规律，再根据所找到的规律解答．2.（2023·陕西咸阳·二模）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，根据如图的程序进行计算，当输入的值为64时，输出的值是__________．【答案】【分析】根据程序框图进行运算求解即可．【详解】解：由题意知，，取算术平方根为，8是有理数，取立方根，2是有理数，取算术平方根，是无理数，输出，故答案为：．【点睛】本题考查了算术平方根、立方根，无理数、有理数，程序框图．解题的关键在于理解框图以及对知识的熟练掌握．3.（2023秋·七年级单元测试）如图是小明用计算机设计的计算小程序，当输入为时，输出的值是____________【答案】【分析】将代入程序进行计算即可求解．【详解】解：当时，，当时，，当时，，输出，故答案为：．【点睛】本题考查了实数的计算，掌握求一个数的立方根，算术平方根是解题的关键．4．（2022秋•温州期末）按如图所示的程序计算，若输入的a＝3，b＝4，则输出的结果为 　 　．【答案】5【详解】解：当a＝3，b＝4时，＝＝＝5，所以输出的结果为5．故答案为：5．【点睛】本题主要考查了与算术平方根有关的数的规律探求问题，解题的关键是根据程序顺序进行求解，再根据所找到的规律解答．5．（2022秋•温州期末）计算器上的三个按键、、的功能分别是：将屏幕显示的数变成它的平方；将屏幕显示的数变成它的倒数；将屏幕显示的数变成它的算术平方根．小蕊输入一个数后，依次按照如下图所示的三步循环重复按键，则第2023次按键后，显示的结果是 ．  【答案】4【分析】根据题意分别计算出前六步显示的结果，从而得出数字的循环规律，利用周期规律求解．【解析】解：输入一个数后，第一步的结果为，第二步的结果为，第三步的结果为，第四步的结果为，第五步的结果为，第六步的结果为，第七步的结果为，由此可知，运算的结果六步为一个周期，，，第2023次按键后，显示的结果是4，故答案为4．【点睛】本题考查了计算器，通过列举例子发现规律是解题的关键．6．（2022秋•余姚市期末）如图是一个数值转换器，其工作原理如图所示．    (1)当输入的x值为时，求输出的y值；(2)若输入有意义的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由；(3)若输出的y值是，直接写出x的负整数值．【答案】(1)(2)1或2或3，理由见解析(3)【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的定义进行计算即可；（2）根据0或1的算术平方根的特殊性得出答案；（3）可以考虑1次运算输出结果，2次运算输出结果，进而得出答案．【解析】（1）解：当时，，4的算术平方根为，而2是有理数，2的算术平方根为，故答案为：；（2）解：1或2或3，理由如下：∵0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，∴当或0时，解得或2或3，∴当或2或3时，无论进行多少次运算都不可能是无理数；（3）解：若1次运算就是，∴∴∴解得或，∴x为负整数，则输入的数为；若2次运算输出的数是，∴∴∴解得或∵∴不符合题意，综上所述，．【点睛】本题考查算术平方根、有理数和无理数，理解算术平方根的定义是解题的关键． 实数有关的新定义运算1．（2022秋•瑞安市期中）对于任意实数对（a，b）和（c，d），规定运算“⊗”为（a，b）⊗（c，d）＝（ac，bd）；运算“⊕”为（a，b）⊕（c，d）＝（a+c，b+d）．例如（2，3）⊗（4，5）＝（8，15）；（2，3）⊕（4，5）＝（6，8）．若（2，3）⊗（p，q）＝（﹣4，9），则（1，﹣5）⊕（p，q）＝　 　．【答案】（﹣1，﹣2）．【详解】解：∵（2，3）⊗（p，q）＝（﹣4，9），∴2p＝﹣4，p＝﹣2，3q＝9，q＝3，∴（1，﹣5）⊕（p，q）＝（1，﹣5）⊕（﹣2，3）＝（﹣1，﹣2）．故答案为：（﹣1，﹣2）．【点睛】本题考查了新定义，实数的运算，正确确定出a，b，c，d的取值情况是解题的关键．2．（2022秋•南浔区期末）如果无理数m的值介于两个连续正整数之间，即满足（其中a，b为连续正整数），我们则称无理数m的“福区间”为．例：∵，∴的“福区间”为．若某一无理数的“福区间”为，且满足，其中是关于x，y的二元一次方程的一组正整数解，则p的值为 ．【答案】33或127或353【分析】根据“福区间”的定义和二元一次方程正整数解这两个条件确定出a，b的取值，然后分情况计算即可．【解析】解：∵无理数的“福区间”为，∴a、b为连续正整数，∵，其中是关于x、y的二元一次方程组的一组正整数解，∴符合条件的a，b有：，，或，，或，，，当，，时，，，则，即；当，，时，，，则，即；当，，时，，，则，即；综上，p的值为33或127或353，故答案为：33或127或353．【点睛】本题考查了新定义，二元一次方程的解，正确确定出a，b的取值情况是解题的关键．3.（2023·浙江·七年级假期作业）规定一种运算：，其中，为实数．例如：，则的值为__________．【答案】【分析】读懂新定义，利用新定义计算．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查新定义实数的运算，解题的关键是理解新定义的运算方法．4.（2023·浙江·七年级假期作业）定义一种运算：对于任意实数，都有，则的值为_________．【答案】【分析】根据题目所给的定义得到，据此求解即可．【详解】解：∵，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，正确理解题意是解题的关键．5．（2022秋•余姚市月考）请认真阅读下面的材料，再解答问题．依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义．比如：若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根；若，则叫的四次方根．(1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义；(2)81的四次方根为______；的五次方根为______；(3)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是______；(4)求的值：．【答案】(1)若，则叫的五次方根(2)(3)，为任意实数(4)或【分析】（1）根据题意，进行作答即可；（2）进行开方运算即可；（3）根据定义，进行计算即可；（4）利用四次方根解方程即可．【解析】（1）解：五次方根的定义：若，则叫的五次方根；（2）解：；故答案为：；（3）解：∵是一个数的四次方，∴，∴；∴若有意义，则的取值范围是；∵中是一个数的五次方，∴为任意实数．故答案为：，为任意实数；（4）解：，∴，∴，∴，∴或，∴或．【点睛】本题考查新定义．解题的关键是利用类比法，理解四次方根和五次方根的定义．6.（2023春·四川达州·校考期末）对于实数， 定义的含义为∶ 当时，；当时，，例如∶．已知，且和为两个连续正整数，则的值为 ．【答案】【分析】根据和的范围，求出和的值，然后代入即可求解．【详解】解：∵，，∴，∵和为两个连续正整数，，∴，∴．故答案为：4【点睛】本题主要考查用新定义解决数学问题及实数的运算，正确理解新定义是求解本题的关键． 实数与数轴的关系及利用数轴化简1．（2023春•魏县期末）如图，在数轴上点A表示的实数是（　　）A． B． C．2.2 D．﹣1【答案】A【详解】解：由勾股定理，得斜线的长为，由圆的性质，得点A表示的数为，故选：A．【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握实数与数轴，以及绝对值的概念及其各自的性质是解本题的关键．2．（2022秋•萧山区校级月考）a，b是有理数，它们在数轴上的位置如图所示．把a，b，﹣a，﹣b按照从小到大的顺序排列，正确的是（　　）A．b＜a＜﹣a＜﹣b B．﹣a＜b＜﹣b＜a C．b＜﹣a＜a＜﹣b D．﹣b＜﹣a＜a＜b【答案】C【详解】解：∵由图可知，b＜0＜a，|a|＜|b|，∴0＜a＜﹣b，b＜﹣a＜0，∴b＜﹣a＜a＜﹣b．故选：C．【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握实数与数轴，以及绝对值的概念及其各自的性质是解本题的关键．3．（2023春•讷河市期末）为了证明数轴上的点可以表示无理数，老师给学生设计了如下材料：如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上一点由原点（记为点0）到达点A，点A对应的数是（　　）A．π B．3.14 C．﹣π D．﹣3.14【答案】A【解答】解：∵直径为1个单位长度的圆的周长为，∴点A对应的数是π，故选：A．【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握实数与数轴，以及绝对值的概念及其各自的性质是解本题的关键．4．（2022秋•义乌市校级期中）实数、在数轴上的对应点如图所示，化简的结果是（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】首先根据数轴上的点的位置判断出的正负，然后把原式利用二次根式及立方根性质化简，最后去括号合并同类项即可得到结果．【详解】∵由数轴上点的位置得：∴∴原式．故选：D【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握实数与数轴，以及绝对值的概念及其各自的性质是解本题的关键．5．（2023春•禹城市期中）如图，数轴上，点A为线段BC的中点，A，B两点对应的实数分别是和﹣1，则点C所对应的实数是（　　）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：由题可知：AB＝﹣（﹣1）＝+1，∵点A为线段BC的中点，∴AC＝AB＝+1，∵A对应的实数是，∴C点对应的实数是2+1．故选：D．【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握实数与数轴，以及绝对值的概念及其各自的性质是解本题的关键．6．（2023·浙江杭州·统考中考真题）已知数轴上的点分别表示数，其中，．若，数在数轴上用点表示，则点在数轴上的位置可能是（    ）A．   B．  C．   D．  【答案】B【分析】先由，，，根据不等式性质得出，再分别判定即可．【详解】解：∵，，∴∵∴A、，故此选项不符合题意；B、，故此选项符合题意；C、，故此选项不符合题意；D、，故此选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查用数轴上的点表示数，不等式性质，由，，得出是解题的关键．7．（2022秋•莲都区期中）如图，以数轴的单位长度线段为边长作一个正方形，以表示数2的点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点A和点B，则点A表示的数是　 　．【答案】2﹣【详解】解：如图：由题意可知：CD＝CA＝＝，设点A 表示的数为x，则：2﹣x＝x＝2﹣即：点A 表示的数为2﹣故：答案为2﹣【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握实数与数轴，以及绝对值的概念及其各自的性质是解本题的关键．8．（2022秋•萧山区校级月考）(1)通过计算下列各式的值探究问题：①＝ ；＝ ；＝ ；＝ ．探究：对于任意非负有理数a，＝ ．②＝ ；＝ ；＝ ；＝ ．探究：对于任意负有理数a，＝ ．综上，对于任意有理数a，＝ ．(2)应用(1)所得的结论解决问题：有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，化简：－－＋|a＋b|.【答案】（1）①4，16，0，；a；②3，5，1，2；-a；|a| ；(2) －a－3b．【解析】【分析】（1）①②根据要求填空即可；（2）先根据数轴上点的位置确定：－2＜a＜－1，0＜b＜1，a－b＜0，a+b＜0，再根据（1）中的公式代入计算即可．【详解】①=4；=16；=0；=．探究：对于任意非负有理数a，=a．②=3；=5；=1；=2．探究：对于任意负有理数a，=－a．综上，对于任意有理数a，=|a|．(2)观察数轴可知：－2＜a＜－1，0＜b＜1，a－b＜0，a+b＜0．原式=|a|－|b|－|a－b|＋|a＋b|=－a－b＋a－b－a－b=－a－3b．【点睛】本题属于阅读理解问题，主要考查了算术平方根和平方的定义、数轴的知识，正确把握算术平方根定义是解题的关键．根式的计算及化简1.（2022秋•武义县期末）下列说法正确的是（    ）A．的立方根是 B．的算术平方根是C．的平方根是 D．0的平方根与算术平方根都是0【答案】D【分析】利用平方根、算术平方根、立方根的定义逐项进行判断即可．【解析】解：A．的立方根是，故此选项不符合题意；B．的算术平方根是4，故此选项不符合题意；C．的平方根是，故此选项不符合题意；D．0的平方根与算术平方根都是0，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查平方根、算术平方根、立方根，理解平方根、算术平方根、立方根的定义是正确解答的前提．2.（2023春·甘肃武威·七年级统考期中）下列各式正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据平方根、算术平方根的定义逐项判断即可．【详解】解：A，81的平方根为， ，因此该选项正确；B，16的算术平方根为4，，因此该选项错误；C，，因此该选项错误；D，被开方数应大于等于0，因此该选项错误；故选A．【点睛】本题考查平方根、算术平方根，注意两者的区别是解题的关键．3.（2023·河南洛阳·统考模拟预测）函数中自变量x的取值范围是（    ）A． B． C．且 D．且【答案】D【分析】根据被开方数是非负数，有意义的条件是，列出不等式求解即可．【详解】∵函数有意义，∴且，解得且，故选D．【点睛】本题考查了二次根式的性质，零指数幂有意义的条件，熟练掌握有意义的条件时解题的关键．4．（2022春•朝阳县期末）化简二次根式的结果是（       ）A． B． C．－ D．【答案】C【分析】根据二次根式的性质化简即可．【详解】解：∵，，∴b，