【期中真题】2023-2024学年八年级数学上册 期中真题分类专题汇编 专题06一次函数的图象与应用.zip

专题06 一次函数的图像与应用 一次函数的相关概念1．（2023春•右玉县期末）下列各曲线中不能表示y是x的函数的是（　　）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：A，B，D的图象都满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故A、B、D的图象是函数，不符合题意，C的图象不满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故C错误，符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了函数的定义及其图象性质。2.（2023春·贵州六盘水·八年级校考阶段练习）下列函数中，是一次函数的有（ ）个①；②；③；④；⑤A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】一次函数解析式为（是常数）的形式．一次函数解析式的结构特征：；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数．【详解】解：由题可得，①是一次函数；②是反比例函数；③是一次函数；④是一次函数；⑤是二次函数；∴一次函数有3个，故选：C．【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，解题时注意：一次函数解析式为（是常数）．3．（2023春•武城县期末）已知y＝（m﹣1）x|m|+4是一次函数，则m的值为（　　）A．1 B．2 C．﹣1 D．±1【答案】C【解答】解：∵y＝（m﹣1）x|m|+4是一次函数，∴m﹣1≠0且|m|＝1，解得：m＝﹣1，故选：C．【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，解题时注意：一次函数解析式为（是常数）．4．（2022春·河北张家口·八年级统考期中）2016年元旦假期，某市各大商场、超市纷纷采取满额减赠、团购等等多种促销方式聚人气，热卖商品主要集中在服装、数码产品、生鲜果蔬等方面．若该市某商场中所有服装均降价20%，且某件服装的原价为x元，则降价后的价格y(元)与原价x(元)之间的函数关系式为(　　)A．y＝0.8x B．y＝0.2x C．y＝1.2x D．y＝x－0.2【答案】A【分析】所有服装均降价20%，且某件服装的原价为x元，这降价后为(1－20%)x，则可列出函数关系式.【详解】依题意得：y＝(1－20%)x＝0.8x，故选A.【点睛】此题主要考查列函数关系式，解题的关键是根据题意列出等量关系.5.（2023春·江苏南通·八年级校考期中）若与成正比例，且当时，．(1)求y与x的函数解析式．(2)求当时，x的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）设，把，代入可得，从而可得答案；（2）把代入函数解析式求解x即可．【详解】（1）解：设，把，代入得，解得，所以，所以y与x之间的函数关系式为；（2）当时，，解答．【点睛】本题考查的是成正比例的含义，利用待定系数法求解函数解析式，求解函数自变量的值，理解成正比例的含义是解本题的关键．6．（2023春•岳阳楼区校级期末）已知函数y＝（m﹣1）x+m2﹣1．（1）当m为何值时，y是x的一次函数？（2）当m为何值时，y是x的正比例函数？【答案】（1）m≠1；（2）m＝﹣1．【解答】解：（1）由题意得：m﹣1≠0，解得：m≠1；（2）由题意得：m2﹣1＝0，且m﹣1≠0，解得：m＝﹣1．【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，解题时注意：一次函数解析式为（是常数）．7.（2023春·河南新乡·八年级统考期中）已知y与成正比例，且当时，．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)设点在（1）中函数的图象上，求m的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解；（2）把点代入（1）中解析式，即可求解．【详解】（1）解：根据题意：设y与x之间的函数解析式为，把，代入得：，解得：．则y与x函数关系式为，即y与x之间的函数解析式为；（2）解：把点代入，得：，解得．【点睛】本题考查了正比例函数、待定系数法求一次函数的表达式、一次函数图象与函数关系式；其中熟练运用待定系数法求参数的值，是解决本题的关键． 函数值与自变量取值范围应用1．（2023春•定陶区期末）函数中自变量x的取值范围是（　　）A．且x≠0 B． C．x≠0 D．且x≠0【答案】D【详解】解：由题意得：1﹣2x≥0且x≠0，解得：x≤且x≠0，故选：D．【点睛】本题考查函数中变量取值范围及根式有意义的条件，解题时注意不等式的解法。2．（2023春·山东济宁·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，已知点在直线上，则的值为（    ）A．1 B． C．2 D．【答案】C【分析】将代入，变形即可得答案．【详解】解：∵点在直线上，∴，∴，故选∶C．【点睛】本题考查一次函数图象上点坐标的特征，解题的关键是掌握一个点在函数图象上，则这个点的坐标满足该函数的解析式．3．（2023春•长安区期中）变量y与x之间的关系是y＝﹣2x+3，当自变量x＝6时，因变量y的值是（　　）A．﹣6 B．﹣9 C．﹣12 D．﹣15【答案】B【解答】解：当x＝6时，y＝﹣2×6+3＝﹣9．故选：B．【点睛】本题考查了根据一次函数的表达式求值，熟练运用带入求值，是解决本题的关键．4．（2023春·天津和平·八年级天津市第五十五中学校考期末）已知一次函数的图象经过第一、二、三象限，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据一次函数的性质列出关于的不等式，求出的取值范围即可．【详解】解：一次函数的图象经过第一、二、三象限，，，解得．故选：．【点睛】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数中，当，时函数图象经过第一、二、三象限是解答此题的关键．5．（2023春·福建泉州·八年级校考期中）若点在一次函数的图象上，则的大小关系是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据一次函数的递增性解答 ．【详解】解：由题意可知：随着x的增大，一次函数的函数值也是增大的，∴随着x的减小，一次函数的函数值也是减小的，∵，∴，故选B ．【点睛】本题考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的增减性是解题关键．6.（2022春·四川成都·八年级统考期末）已知y与x之间满足的函数关系如图所示，其中，当x≥0时，y＝x；当x＜0时，y＝－2x+1，则当函数值y＞3时，x的取值范围为（　　）A．x＜－1 B．x＞3 C．－1＜x＜3 D．x＜－1或x＞3【答案】D【分析】把y=3分别代入y=x和y=－2x+1中，求得对应的x的值，结合图象即可求得．【详解】解：把y=3代入y=x，则x=3，把y=3代入y=－2x+1得，3=－2x+1，解得x=－1，∴直线y=3与函数的图象的交点为（3，3），（－1，3），观察图象，当函数值y＞3时，x的取值范围为x＜－1或x＞3，故选：D．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，数形结合是解题的关键．7.（2023春·辽宁沈阳·八年级校考期中）在直角坐标平面内，一次函数的图像如图所示，那么下列说法正确的是（   ）A．当时， B．方程 的解是C．当时， D．不等式 的解集是【答案】C【分析】根据函数的图象直接进行解答即可．【详解】解：由函数的图象可知，当时，，A选项错误，不符合题意；方程 的解是，B选项错误，不符合题意；当时，，故C正确，符合题意；不等式 的解集是，故D错误，不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查的是一次函数的图象，利用数形结合求解是解答此题的关键． 一次函数的图象与性质综合应用1．（2023•益阳）关于一次函数y＝x+1，下列说法正确的是（　　）A．图象经过第一、三、四象限 B．图象与y轴交于点（0，1） C．函数值y随自变量x的增大而减小 D．当x＞﹣1时，y＜0【答案】B【解答】解：∵一次函数y＝x+1中，k＞0，b＞0，∴图象经过第一、二、三象限，故A不正确；当x＝0时，y＝1，∴图象与y轴交于点（0，1），故B正确；∵一次函数y＝x+1中，k＞0，∴函数值y随自变量x的增大而增大，故C不正确；∵当x＝﹣1时，y＝0，函数值y随自变量x的增大而增大，∴当x＞﹣1时，y＞0，故D不正确；故选：B．【点评】本题考查一次函数的图象及性质；熟练掌握一次函数解析式y＝kx+b中，k与b对函数图象的影响是解题的关键．2．（2023•临沂）对于某个一次函数y＝kx+b（k≠0），根据两位同学的对话得出的结论，错误的是（　　）A．k＞0 B．kb＜0 C．k+b＞0 D．kb【答案】C【分析】根据一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征判断即可．【详解】解：∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象不经过第二象限，∴b≤0，又∵函数图象经过点（2，0），∴图象经过第一、三、四象限，∴k＞0，kb，∴kb＜0，∴k+bb＜0，∴错误的是k+b＞0．故选：C．【点评】本题考查一次函数的图象及性质；熟练掌握一次函数解析式y＝kx+b中，k与b对函数图象的影响是解题的关键．3．（2023春•博兴县期末）两个y关于x的一次函数y＝ax+b和y＝bx+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：A、对于y＝ax+b，当a＞0，图象经过第一、三象限，则b＞0，y＝bx+a也要经过第一、三象限，所以A选项不符合题意；B、对于y＝ax+b，当a＞0，图象经过第一、三象限，则b＜0，y＝bx+a经过第二、四象限，与y轴的交点在x轴上方，所以B选项符合题意；C、对于y＝ax+b，当a＞0，图象经过第一、三象限，则b＞0，y＝bx+a也要经过第一、三象限，所以C选项不符合题意；D、对于y＝ax+b，当a＜0，图象经过第二、四象限，若b＞0，则y＝bx+a经过第一、三象限，所以D选项不符合题意．故选：B．【点评】本题考查一次函数的图象及性质；熟练掌握一次函数解析式y＝kx+b中，k与b对函数图象的影响是解题的关键．4.（2022秋·八年级课时练习）将直线向上平移2个单位长度后得到直线y=kx+b，则下列关于直线y=kx+b的说法正确的是（  ）A．直线经过一、三、四象限 B．y随x的增大而减小C．与y轴交于（1， 0） D．与x轴交于（－3， 0）【答案】D【分析】根据平移的性质，得；根据代数式的性质，得直线与y轴交于（0， 1）；根据一元一次方程的性质，得直线与x轴交于（-3， 0），根据直角坐标系的性质，得直线经过一、二、四象限，即可得到答案．【详解】直线向上平移2个单位长度后得到直线y=kx+b∴ ∴y随x的增大而增大，当时，，即直线与y轴交于（0， 1）当时，得： ∴，即直线与x轴交于（-3， 0）∴直线经过一、二、四象限，∴选项A、B、C错误，选项D正确；故选：D．【点睛】本题考查了一次函数、平移、一元一次方程、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数和平移的性质，从而完成求解．5．（2022春·河南郑州）如图，一次函数的图象与轴的交点坐标为，则下列说法正确的有（    ）①随的增大而减小；②；③关于的方程的解为；④当时，．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据一次函数的性质，一次函数与一元一次方程的关系对各个小项分析判断即可得解．【详解】图象过第一、二、三象限，∴，，故①②错误；又∵图象与轴交于，∴的解为，③正确．当时，图象在轴上方，，故④正确．综上可得③④正确故选:B．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程，利用一次函数的性质、一次函数与一元一次方程的关系是解题关键．6．（2023•济宁）一个函数过点（1，3），且y随x增大而增大，请写出一个符合上述条件的函数解析式 　 　．【答案】y＝x+2【分析】设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0），利用一次函数图象上点的坐标特征可求出k+b＝3，利用一次函数的性质可得出k＞0，取k＝1，b＝2即可得出结论．【解答】解：设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0）．∵一次函数y＝kx+b的图象经过点（1，3），∴3＝k+b，又∵函数值y随自变量x的增大而增大，∴k＞0，∴k＝1，b＝2符合题意，∴符合上述条件的函数解析式可以为y＝x+2．故答案为：y＝x+2（答案不唯一）．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键． 一次函数与方程（组）的综合应用1．（2023春·全国·八年级专题练习）若直线与x轴交于点，则方程的解是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据一次函数与一元一次方程的关系，即可解答．【详解】解：直线与x轴交于点，方程的解是，故选：A．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，熟练掌握和运用一次函数与一元一次方程的关系是解决本题的关键．2．（2023•聊城）甲乙两地相距a千米，小亮8：00乘慢车从甲地去乙地，10分钟后小莹乘快车从乙地赶往甲地．两人分别距甲地的距离y（千米）与两人行驶时刻t（×时×分）的函数图象如图所示，则小亮与小莹相遇的时刻为（　　）A．8：28 B．8：30 C．8：32 D．8：35【答案】A【分析】设小亮与小莹相遇时，小亮乘车行驶了x小时，因为小亮、小莹乘车行驶的速度分别是a千米/时，2a千米/时，即可得到方程：ax+2a（x）＝a，求出x的值，即可解决问题．【解答】解：设小亮与小莹相遇时，小亮乘车行驶了x小时，∵小亮、小莹乘车行驶完全程用的时间分别是小时，小时，∴小亮、小莹乘车行驶的速度分别是a千米/时，2a千米/时，由题意得：ax+2a（x）＝a，∴x，小时＝28分钟，∴小亮与小莹相遇的时刻为8：28．故选：A．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，关键是由题意列出方程：ax+2a（x）＝a．3.（2023秋·河南平顶山·八年级统考期末）如图已知函数和的图象交于点，点的横坐标为，则关于的方程组的解是（    ）  A． B． C． D．【答案】C【分析】利用确定交点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．【详解】解：由图象可知，两条直线的交点的横坐标是，当时，，即两直线的交点坐标为，，∴关于，的方程组的解为．故选C．【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），解决本题的关键是：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．4．（2022秋·八年级课时练习）如图，一次函数与图象的交点坐标是，则方程组的解为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据“从图形的角度看，确定两条直线交点的坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解”即可得出结论．【详解】解：∵一次函数y＝x＋1与y＝2x−1图象的交点是（2，3），∴方程组的解为．故选：D．【点睛】此题主要考查了图象法解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解与相应的两个函数图象的交点坐标之间的关系是解题的关键．5．（2022秋•余姚市校级期末）如图，直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m，2），则关于x的方程kx+b＝2的解是 　 　．【答案】x＝1．【详解】解：∵直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m，2），∴2＝2m，∴m＝1，∴P（1，2），∴当x＝1时，y＝kx+b＝2，∴关于x的方程kx+b＝2的解是x＝1，故答案为：x＝1．【点睛】此题主要考查了二元一次方程组与一次函数的关系，掌握二元一次方程组的解与相应的两个函数图象的交点坐标之间的关系是解题的关键．6．（2022•济南）为增加校园绿化面积，某校计划购买甲、乙两种树苗．已知购买20棵甲种树苗和16棵乙种树苗共花费1280元，购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元．（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？（2）若购买甲、乙两种树苗共100棵，且购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的3倍．则购买甲、乙两种树苗各多少棵时花费最少？请说明理由．【分析】（1）设甲种树苗每棵的价格是x元，乙种树苗每棵的价格是y元，可得：，即可解得甲种树苗每棵的价格是40元，乙种树苗每棵的价格是30元；（2）设购买两种树苗共花费w元，购买甲种树苗m棵，根据购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的3倍，得m≥25，而w＝40m+30（100﹣m）＝10m+3000，由一次函数性质可得购买甲种树苗25棵，则购买乙种树苗75棵，花费最少．【详解】解：（1）设甲种树苗每棵的价格是x元，乙种树苗每棵的价格是y元，根据题意得：，解得，答：甲种树苗每棵的价格是40元，乙种树苗每棵的价格是30元；（2）购买甲种树苗25棵，乙种树苗75棵，花费最少，理由如下：设购买两种树苗共花费w元，购买甲种树苗m棵，则购买乙种树苗（100﹣m）棵，∵购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的3倍，∴100﹣m≤3m，解得m≥25，根据题意：w＝40m+30（100﹣m）＝10m+3000，∵10＞0，∴w随m的增大而增大，∴m＝25时，w取最小值，最小值为10×25+3000＝3250（元），此时100﹣m＝75，答：购买甲种树苗25棵，乙种树苗75棵，花费最少．【点评】本题考查二元一次方程组及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式．一次函数与不等式（组）的综合应用1.（2023春·广东深圳·八年级校考期中）如图，函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用函数图像得出不等式的解集．【详解】解：∵函数与的图像相交于点，∴关于x的不等式的解集是：．故选：B．【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，注重数形结合是解答本题的关键．2．（2023春·湖南长沙·八年级统考期末）函数，，当时，的范围是（    ）  A． B． C．或 D．【答案】B【分析】由图象可知：函数与的图象交于点，，的图象落在图象下方的部分对应的的取值范围即为所求．【详解】解：由图象可知：当时，的图象落在图象的下方，即，所以当时，的范围是．故选：B．【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．3．（2023春·四川达州·八年级校考期中）某花农培育甲种樱花3株，乙种樱花2株，共需要成本元；培育甲种樱花1株，乙种樱花2株，共需成本元．(1)求甲、乙两种樱花每株成本分别为多少元？(2)据市场调研，1株甲种樱花售价为元，1株乙种樱花售价为元．该花农决定在成本不超过元的前提下培育甲、乙两种樱花，若培育乙种樱花的株数是甲种樱花的3倍还多10株，那么要使总利润不少于元，花农有哪几种具体的培育方案？(3)求出选何种方案成本最少？【答案】(1)甲种樱花每株成本为元，乙种樱花每株成本为元．(2)培育甲种樱花株，则培育乙种樱花株；培育甲种樱花株，则培育乙种樱花株；培育甲种樱花株，则培育乙种樱花株．(3)培育甲种樱花株，培育乙种樱花株，可使成本最少．【分析】（1）根据题意建立相应的二元一次方程组即可求解；（2）根据题意建立相应的不等式组即可求解；（3）建立成本与培育甲种樱花株数的关系即可求解．【详解】（1）解：设甲、乙两种樱花每株成本分别为元则：解得：故甲种樱花每株成本为元，乙种樱花每株成本为元．（2）解：设培育甲种樱花株，则培育乙种樱花株则：解得： 培育方案为：①培育甲种樱花株，则培育乙种樱花株；②培育甲种樱花株，则培育乙种樱花株；③培育甲种樱花株，则培育乙种樱花株；（3）解：在（2）的前提下，设成本为则因为，故随着的增大而增大为整数，则当时，故培育甲种樱花株，培育乙种樱花株，可使成本最少．【点睛】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组、一次函数等在实际问题中的应用．根据题意列出正确的方程组、不等式组、函数解析式是解题的关键．4．（2023春·天津南开）学校打算购买A，B两种教具，若购买60件A种教具和30件B种教具共需花费1650元：购买50件A种教具和10件B种教具共需花费1150元．(1)求A种教具和B种教具的单价；(2)实际购买时，发现厂家有两种优惠方案，方案一：购买A种教具超过20件时，超过的部分按原价的8折付款，B种教具没有优惠；方案二；无论购买多少件A，B教具，两种教具都按原价的9折付款，该校决定购买n且为整数)件A种教具和40件B种教具．请根据上述信息填空①当_________时，“方案一”与“方案二”的花费相同，此时花费金额为_________；②当时，方案_________更优惠(填“一”或“二”)．【答案】(1)A种教具的单价为20元，B种教具的单价为15元(2)①70；1800；②一【分析】（1）设每件A种教具的价格为x元，每件B种教具的价格为y元，根据题意列出二元一次方程组求解即可；（2）①首先表示出方案一费用，方案二费用，然后当当时求解即可；②将分别代入和求解即可．【详解】（1）设每件A种教具的价格为x元，每件B种教具的价格为y元，依题意得∶       解得∶，答∶A种教具的单价为20元，B种教具的单价为15元；（2）方案一费用元，方案二费用元，当时，，解得；∴∴当70时，“方案一”与“方案二”的花费相同，此时花费金额为1800元；故答案为：70；1800；②当时，；∵∴方案一更优惠．【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用与一次函数的实际应用，解题的关键是弄清楚题意，找出题目中的数量关系列得方程组．5．（2023春·安徽淮南·八年级统考期末）某幼儿园计划购进一批小桌子和小椅子，数量共有50个，某商家给出的内部价如下表：设该商家所获利润为y（单位：元），幼儿园购进小桌子的个数为x（单位：个）．(1)请写出y与x之间的函数解析式（不要求写出x的取值范围）；(2)该幼儿园购进这批小桌子和小椅子的资金控制在6000元以内，请你设计一种购进方案使得幼儿园尽可能多的购进小桌子且使得该商家利润最小，并求最小利润．【答案】(1)(2)购进张小桌子，该商家利润最小，最小利润为元【分析】（1）根据利润＝小桌子数（小桌子售价－进价）+小椅子数（小椅子售价-进价），可得出相应函数解析式；（2）根据资金总额，可求出小桌子数量的取值范围．结合一次函数的性质可求得最小利润．【详解】（1）解：商家所获利润为 y元，幼儿园购进小桌子个，则购进小椅子个，根据题意，得∴y与x之间的函数解析式为（2）解：幼儿园购进小桌子x个，则购进小椅子个，根据题意，得解得   又∵函数的一次项系数，∴y随x的增大而减小．∴当时，y有最小值，最小值为（元）．答：当时，该商家利润最小，最小利润为元【点睛】本题考查一次函数在实际问题中的应用．根据实际问题中的等量关系建立一次函数模型是解决问题的关键．一次函数与几何图形的综合应用1.（2023春·江苏南通·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点A在x轴上，顶点B的坐标为（6，4）．若直线l经过点（1，0），且将▱OABC分割成面积相等的两部分，则直线l的函数解析式是（　　）A．y＝x+1 B． C．y＝3x﹣3 D．y＝x﹣1【答案】D【分析】首先根据条件l经过点D（1，0），且将▱OABC分割成面积相等的两部分，求出E点坐标，然后设出函数关系式，再利用待定系数法把D，E两点坐标代入函数解析式，可得到答案．【详解】解：设D（1，0），∵线l经过点D（1，0），且将▱OABC分割成面积相等的两部分，∴OD＝BE＝1，∵顶点B的坐标为（6，4）．∴E（5，4）设直线l的函数解析式是y＝kx+b，∵图象过D（1，0），E（5，4），∴，解得：，∴直线l的函数解析式是y＝x﹣1．故选D．【点睛】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是求出E点坐标．2.（2023春·山东聊城·八年级统考期末）把8个边长为1的正方形按如图所示摆放在直角坐标系中，经过原点O的直线l将这8个正方形分成面积相等的两部分，则该直线的函数表达式是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过A作AB⊥OB于B，易知OB＝3，利用三角形的面积公式和已知条件求出A的坐标即可得到该直线l的解析式．【详解】解：如图，设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过A作AB⊥OB于B，易知OB＝3，∵经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，∴，而OB＝3，∴AB•3＝5，AB＝，∴A点坐标为（，3），设直线方程为y＝kx，则3＝k，∴k＝，∴直线l解析式为y＝x．故选：A．【点睛】此题考查了面积相等问题、用待定系数法求一次函数的解析式，此题难度较大，解题的关键是作AB⊥y轴，作AC⊥x轴，根据题意即得到：直角三角形ABO，利用三角形的面积公式求出AB的长．3.（2023春•凤山县期末）如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA，OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA，OB的长满足|OA﹣8|+（OB﹣6）2＝0，∠ABO的平分线交x轴于点C，过点C作AB的垂线，垂足为点D，交y轴于点E．（1）求直线AB的解析式；（2）若△ABC的面积为15，求点C的坐标；【答案】（1）y＝；（2）C（﹣3，0）；（3）存在，（﹣3，﹣4）或（3，﹣4）或（﹣3，4）．【解答】解：（1）∵|OA﹣8|+（OB﹣6）2＝0，∴OA＝8，OB＝6，∴A（﹣8，0），B（0，6），设直线AB的解析式为y＝kx+b，代入A点和B点的坐标得，解得，∴直线AB的解析式为y＝；（2）∵△ABC的面积为15，∴AC•OB＝15，即AC×6＝15，∴AC＝5，∵OA＝8，∴OC＝OA﹣AC＝8﹣5＝3，即C（﹣3，0）；【点睛】本题主要是两直线相交问题，考查了待定系数法求一次函数解析式，三角形面积，解题时注意：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．4.（2023春•连城县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．（1）求AB的长；（2）求点C和点D的坐标；（3）y轴上是否存在一点P，使得S△PAB＝S△OCD？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）令x＝0得：y＝4，∴B（0，4）．∴OB＝4令y＝0得：0＝﹣x+4，解得：x＝3，∴A（3，0）．∴OA＝3．在Rt△OAB中，AB＝＝5．（2）∵AC＝AB＝5，∴OC＝OA+AC＝3+5＝8，∴C（8，0）．设OD＝x，则CD＝DB＝x+4．在Rt△OCD中，DC2＝OD2+OC2，即（x+4）2＝x2+82，解得：x＝6，∴D（0，﹣6）．（3）存在，理由如下：∵S△PAB＝S△OCD，∴S△PAB＝××6×8＝12．∵点P在y轴上，S△PAB＝12，∴BP•OA＝12，即×3BP＝12，解得：BP＝8，∴P点的坐标为（0，12）或（0，﹣4）．【点睛】本题考查函数图象与动态几何问题，准确从函数图象中分析出信息，求解出运动过程中特殊位置的时间是解题关键．一次函数模型的应用题型1．（2023春·广东梅州）如图1，在边长为的正方形中，点P从点A出发，沿路线运动，到点D停止；点Q从点D出发，沿路线运动，到点A停止．若点P、点Q同时出发，点P的速度为每秒，点Q的速度为每秒，a秒时点P、点Q同时改变速度，点P的速度为每秒，点Q的速度为每秒，图2是点P出发x秒后的面积S（）与x（）关系的图象．  (1)根据图象得　 　；(2)设点P已行的路程为（），点Q还剩的路程为（），试分别求出改变速度后，，和出发后的运动时间x（秒）的关系式；(3)若点P、点Q在运动路线上相距的路程为，求x的值．【答案】(1)6(2)，(3)4或16秒【分析】（1）根据题意和求出a的值；（2）结合（1）的结论，写出，关于x的等量关系即可；（3）分别考虑相遇之前与相遇之后两种情况，根据距离列出方程求解即可．【详解】（1）解：（1）观察图2，得，解得．故答案为：6；（2）∵，动点P、Q改变速度后、与出发后的运动时间x（秒）的函数关系式为：，；  （3）点P的运动时间：，点Q的运动时间：，①当两点同时出发且时，，解得：，②相遇时间，，即：同时出发10秒后相遇，③相遇之后，，解得：，综上所述，点P、点Q在运动路线上相距的路程为时，或．【点睛】本题考查函数图象与动态几何问题，准确从函数图象中分析出信息，求解出运动过程中特殊位置的时间是解题关键．2.（2023春·福建龙岩·八年级统考期末）某商店销售一种产品，该产品成本价为6元/件，售价为8元/件，销售人员对该产品一个月（30天）销售情况记录绘成图象．图中的折线表示日销量y（件）与销售时间x（天）之间的函数关系，若线段表示的函数关系中，销售时间每增加1天，日销量减少5件．  (1)第30天的日销量是________件，这天销售利润是________元；(2)求线段DE所在直线的函数关系式；(3)求日销售利润不低于640元的天数和该月日销售利润的最大值．【答案】(1)325，650(2)(3)11天，最大利润为720元【分析】（1）根据题意“线段表示的函数关系中，销售时间每增加1天，日销量减少5件”，已知第22天的销售量，可求第25天的销售量，再根据：日利润=单件利润×日销售量，求出当天总利润．（2）函数图象分为了两段，分别用待定系数法求出正比例函数和一次函数的表达式即可；（3）已知日销售利润，可求日销售量，根据日销售量确定日期范围，即可知道日销售利润不低于640的天数，求出点D的坐标，代入即可求出最高销售量，即可求出最大利润．【详解】（1）解：（件），（元）．（2）解：设直线OD的函数关系式为，将代入，得，解得：，∴直线的函数关系式为，设直线的函数关系式为，将、代入，解得，∴直线DE的函数关系式为 ，由，得，∴点D的坐标为，∴y与x之间的函数关系式为．（3）解：（件），当时，由，得，由，得，∴（天），∴日销售利润不低于640元的天数共有11天，∵折线的最高点D的坐标为，（元），∴当时，日销售利润最大，最大利润为720元．【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练的掌握一次函数的图象和性质，会用待定系数法求函数解析式，根据图象和性质求点的坐标是解题的关键．3．（2023·河南周口·校联考三模）周末，小阳一家人准备去离家的公园野餐，小阳和爸爸为了锻炼身体骑自行车以的速度从家先出发，后妈妈带着户外野餐装备从家开车沿同一条路追赶小阳，小阳到达公园后妈妈赶到．如图①是小阳一家所走路程y(单位：)关于出发时间x(单位：)的函数关系图象．  (1)求点B的坐标；(2)求线段对应的函数表达式，并写出自变量的取值范围；(3)请在图②中画出小阳和妈妈之间的距离 (单位：)关于出发时间x(单位：)的函数图象．【答案】(1)点B 的坐标为(2)(3)见解析【分析】（1）由路程除以速度可得小阳所用时间，化单位后可得B的坐标；（2）用待定系数法可得函数表达式；（3）求出特殊点时y的值，描点连线即可得函数图象．【详解】（1）解：∵小阳和爸爸到达公园的时间为 ，∴点B 的坐标为；（2）解：由题图①可知，点A 的坐标为，∵小阳到达公园 后妈妈赶到，，∴点C的坐标为，设线段的函数表达式为，把，代入得： ， 解得：，∴线段的函数表达式为；（3）  解：由题图①可知：①小阳出发，妈妈未出发时，小阳和妈妈之间的距离可表示为；②妈妈出发，小阳还未到达公园时，小阳和妈妈之间的距离可表示为 ；③小阳到达公园，妈妈未到达公园时，小阳和妈妈之间的距离可表示为；故画出函数图象如解图所示．【点睛】本题考查了一次函数的应用和待定系数法求函数解析式，解题的关键是读懂题意，掌握待定系数法求函数解析式及运用数形结合思想．4．（2022秋•海曙区期末）随着春节临近，某儿童游乐场推出了甲、乙两种消费卡，其中，甲为按照次数收费，乙为收取办卡费用以后每次打折收费．设消费次数为x时，所需费用为y元，且y与x的函数关系如图所示．根据图中信息，解答下列问题．（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式；（2）求出入园多少次时，两者花费一样？费用是多少？（3）洋洋爸准备了240元，请问选择哪种划算？【答案】（1）y乙＝10x+80；（2）出入园8次时，两者花费一样，费用是160元；（3）选择乙种更合算．【详解】解：（1）设y甲＝k1x，根据题意得4k1＝80，解得k1＝20，∴y甲＝20x；设y乙＝k2x+80，根据题意得：12k2+80＝200，解得k2＝10，∴y乙＝10x+80；（2）解方程组解得：，∴出入园8次时，两者花费一样，费用是160元；（3）当y＝240时，y甲＝20x＝240，∴x＝12；当y＝240时，y乙＝10x+80＝240，解得x＝16；∵12＜16，∴选择乙种更合算．【点睛】本题考查了一次函数的应用和待定系数法求函数解析式，解题的关键是读懂题意，掌握待定系数法求函数解析式及运用数形结合思想．5．（2023•长兴县一模）为提升青少年的身体素质，某市在全市中小学推行“阳光体育”活动，某中学为满足学生的需求，准备再购买一些篮球和足球．如果分别用800元购买篮球和足球，则购买篮球的个数比足球的个数少2个，已知足球的单价为篮球单价的．（1）求篮球、足球的单价分别为多少元？（2）学校计划购买篮球、足球共60个，如果购买足球m（m≤45）个，总费用为w元，请写出w与m的函数关系式；（3）在（2）的条件下学校计划总费用不多于5200元，那么应如何安排购买方案才能使费用最少，最少费用应为多少？​【答案】（1）篮球每个100元，足球每个80元；（2）w与m的函数关系式为w＝﹣20m+6000；（3）当m＝45时，w取得最小值，此时w＝5100元，60﹣m＝15，【详解】解：（1）设篮球每个x元，足球每个 元，由题意得：，解得：x＝100，经检验：x＝100是原方程的解且符合题意，则足球的单价为： （元），答：篮球每个100元，足球每个80元；（2）由题意得：w＝80m+100（60﹣m）＝﹣20m+6000，即w与m的函数关系式为w＝﹣20m+6000；（3）由题意可得：﹣20m+6000≤5200，解得：m≥40，∴40≤m≤45，由（2）得：w＝﹣20m+6000，∵﹣20＜0，∴w随m的增大而减小，∴当m＝45时，w取得最小值，此时w＝5100元，60﹣m＝15，【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，一次函数的应用，解题的关键是将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式和函数关系式．1．（2022•德州）如图是y关于x的一个函数图象，根据图象，下列说法正确的是（　　）A．该函数的最大值为7 B．当x≥2时，y随x的增大而增大 C．当x＝1时，对应的函数值y＝3 D．当x＝2和x＝5时，对应的函数值相等【答案】D【分析】根据函数图象的相应点坐标以及增减性，可得答案．【解答】解：由图象可知：A．该函数的最大值为6，原说法错误，故本选项不合题意；B．当x≤3时，y随x的增大而增大，原说法错误，故本选项不合题意；C．当x＝1时，对应的函数值y＝2，原说法错误，故本选项不合题意；D．设x≤3时，y＝kx，则3k＝6，解得k＝2，∴y＝2x，∴当x＝2时，y＝2×2＝4；设x≥3时，y＝mx+n，则，解得，∴y＝﹣x+9，∴当x＝5时，y＝﹣5+9＝4，∴当x＝2和x＝5时，对应的函数值都等于4，∴当x＝2和x＝5时，对应的函数值相等，说法正确，故本选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了一次函数的应用，观察函数图象获得有效信息是解题关键．2.（2023春·山东临沂·八年级统考期末）下列关于一次函数的说法中，错误的是（    ）A．图象不经过第三象限 B．图象与直线的交点坐标为C．当时， D．点，在函数图象上，则【答案】D【分析】根据一次函数的图象和性质逐项判断即可．【详解】A、∵∴y随x的增大而减小∵∴一次函数图象与y轴交于正半轴，∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，此选项正确，故选项A不符合题意；B、将代入得，∴一次函数的图象与直线的交点坐标为，此选项正确，故选项B不符合题意；C、当时，，∵∴y随x的增大而减小∴当时，，故选项C符合题意；D、∵∴y随x的增大而减小，∵点，在函数图象上，∴此选项错误，故选项D符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．3．（2023•汉阳区校级模拟）早上9点，甲车从A地出发去B地，20分钟后，乙车从B地出发去A地．两车离开各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示，下列描述中不正确的是（　　）A．AB两地相距240千米 B．乙车平均速度是90千米/小时 C．乙车在12：00到达A地 D．甲车与乙车在早上10点相遇【答案】D【详解】解：由图象可得，AB两地相距240千米，故选项A正确，不符合题意；乙车的平均速度为：60÷（1﹣）＝90（千米/小时），故选项B正确，不符合题意；乙车到达B地的时刻为：9++＝12，故选项C正确，不符合题意；甲车的平均速度为：60÷1＝60（km/h），则甲车与乙车在早上9++（240﹣60×）÷（60+90）＝10点48分相遇，故选项D不正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．4．（2022•东营）如图，△AB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…是等边三角形，直线yx+2经过它们的顶点A，A1，A2，A3，…，点B1，B2，B3，…在x轴上，则点A2022的横坐标是 　 　．【答案】（22023﹣2）．【分析】求出直线yx+2与 x轴、y轴的交点坐标，由题意可得∠OCA＝30°，∠OB1A1＝90°，则△A1B1C、△A2B2C、……是含30°角的直角三角形，可得出A1B1＝4＝22，A2B2＝8＝23，……，可得A1（2，4），A2（6，8），由此得出规律，即可求解．【详解】解：如图：∵直线yx+2，令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x+2＝0，解得x＝﹣2，∴A（0，2），C（﹣2，0），∴OA＝2，OC＝2，∴∠OCA＝30°，∵△AB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…是等边三角形，∴∠AA1B1、∠AA2B2＝60°，A1B1＝AB1＝AC＝2OA＝4，……∴△A1B1C、△A2B2C、……是含30°角的直角三角形，∴A1B1＝4＝22，A2B2＝8＝23，……，∴OB1A1B1﹣OC＝42，OB2A2B2﹣OC＝86，∴A1（2，4），A2（6，8），……∴An[（2n+1﹣2），2n+1]，∴点A2022的横坐标是（22023﹣2），故答案为：（22023﹣2）．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．等边三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质，归纳出An的坐标规律是解题的关键．5.（2023春•文登区期中）如图，直线l1表达式为y＝﹣3x+3，且与x轴交于点D，直线l2经过点A（4，0），B（3，），直线l1，l2交于点C．（1）求直线l2的表达式；（2）在直线l2上存在点P，能使S△ADP＝3S△ACD，求点P的坐标．【答案】（1）直线l2的表达式为：y＝x﹣6；（2）点P的坐标（10，9）或（﹣2，﹣9）．【详解】解：（1）设直线l2的表达式为：y＝kx+b（k≠0），∵直线l2经过点A（4，0），B（3，﹣），∴，∴，∴直线l2的表达式为：y＝x﹣6；（2）∵直线l1y＝﹣3x+3与x轴交于点D，∴D（1，0），解得，∴C（2，﹣3），设P（m，m﹣6），∵S△ADP＝3S△ACD，∴×3×|m﹣6|＝3××3×3，∴m＝10或﹣2，∴点P的坐标（10，9）或（﹣2，﹣9）．6．（2022秋•江北区期末）如图，直线AB的表达式为y＝﹣x+6，交x轴，y轴分别与B，A两点，点D坐标为（﹣4，0），点C在线段AB上，CD交y轴于点E．（1）求点A，B的坐标；（2）若CD＝CB，求点C的坐标；（3）若△ACE与△DOE的面积相等，在直线AB上有点P，满足△DOC与△DPC的面积相等，求点P坐标．【答案】（1）B（8，0）；（2）点C的坐标为（2，）；（3）P点坐标为：（，）或（，）．【详解】解：（1）当x＝0时，y＝﹣x+6＝6，∴A（0，6），当y＝0时，﹣x+6＝0，解得x＝8，∴B（8，0）；（2）过C作CH⊥x轴于H，如图，∵CD＝CB，∴DH＝BH＝BD＝[8﹣（﹣4）]＝6，∴OH＝OB﹣BH＝2，当x＝2时，y＝﹣x+6＝，∴点C的坐标为（2，）；（3）∵△ACE与△DOE的面积相等，∴△AOD与△AOC的面积相等，∴AD∥OC，设直线AD的解析式为y＝kx+b，把A（0，6），D（﹣4，0）分别代入得，解得，∴直线AD的解析式为y＝x+6，∴直线OC的解析式为y＝x，解方程组得，∴C（，4），设P（t，﹣t+6），当P点在C点下方时，S△PCD＝S△BCD﹣S△PBD，∵△DOC与△DPC的面积相等，∴×12×4﹣×12×（﹣t+6）＝8，解得t＝，此时P点坐标为（，）；当P点在C点上方时，S△PCD＝S△PBD﹣S△CBD，∵△DOC与△DPC的面积相等，∴×12×（﹣t+6）﹣×12×4＝8，解得t＝，此时P点坐标为（，），综上所述，P点坐标为：（，）或（，）．7.（2023春·河南平顶山·八年级统考期中）用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如下表所示．现要配制这种饮料10千克，设需要甲种原料x千克，请回答下列问题：(1)若要求至少含有4000单位的维生素C，则至少要多少千克甲原料？(2)若要求成本不超过72元，则至多要______千克甲原料．(3)为了称量方便，所需甲、乙原料的质量均为整数，在（1）和（2）同时满足的情况下，写出该饮料所有可能的配置方案，并求出最省钱的配置方案．【答案】(1)6千克(2)8(3)方案见解析，最省钱的配置方案为方案一：甲原料6千克，乙原料为4千克【分析】（1）根据至少含有4000单位的维生素C，列出不等式，解之即可；（2）根据成本不超过72元，列出不等式，解之即可；（3）根据（1）（2）同时满足可得，列出相应方案以及成本关于x的关系式，根据一次函数的性质判断即可．【详解】（1）解：设需要甲种原料x千克，由题意可得：，解得：，答：至少要甲原料6千克；（2）由题意可得：，解得：，∴至多要8千克甲原料；（3）∵（1）和（2）同时满足，∴，因为x为整数，所以可能的配制方案如下：设配制10千克这种饮料的成本为y元，则，∵，∴随x的增大而增大，∴当时，y最小，∴最省钱的配置方案为方案一：甲原料6千克，乙原料为4千克．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，一次函数的应用，解题的关键是将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式和函数关系式．小桌子小椅子进价（元／个）10060售价（元／个）130100原料甲乙维生素C的含量/（单位/千克）600100原料价格/（元/千克）84原料方案一方案二方案三甲/千克678乙/千克432