【期中真题】2023-2024学年九年级数学上册 期中真题分类专题汇编 专题04 一元二次方程及其解法（七大题型）.zip

专题04 一元二次方程及其解法

一元二次方程的定义

1.（2022秋·福建福州·九年级统考期中）下列方程是一元二次方程的是（    ）

A． B．

C． D．

 2．（2020秋·广东惠州·九年级校考期中）方程化为一般形式后一次项系数和常数项分别是（    ）

A．， B．， C．， D．，

 3.（2023春·湖南长沙·九年级校联考期中）若关于x的一元二次方程有一个解为，则           ．

4.（2022秋·北京·九年级校考期中）已知m是方程的一个根，求的值

一元二次方程根与系数的关系

5.（2022秋·广东汕头·九年级汕头市龙湖实验中学校考期中）若，是一元二次方程的两个根，则的值是（   ）

A．5 B．1 C． D．

 6.（2023春·福建泉州·九年级福建省永春第一中学校考期中）设a，b是方程的两个实数根，则          ；          ．

 7．（2022秋·陕西西安·九年级校考期中）已知m，n是方程的两个根，则的值为      ．

 8．（2022秋·湖北十堰·九年级十堰市实验中学校考期中）已知关于x的一元二次方程．

(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围；

(2)若方程两实数根分别为，，且满足，求实数m的值．

解一元二次方程—直接开平方法

9.（2022秋·福建宁德·九年级统考期中）方程的解为（　　）

A． B． C． D．

 10.（2022秋·广东佛山·九年级校考期中）如果关于x的方程可以用直接开平方法求解，那么a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

 11.（2022秋·广东惠州·九年级惠州一中校考期中）方程的根是     ．

 12.（2022秋·江苏常州·九年级统考期中）定义一种运算“”，其规则为，则方程的解为      ．

解一元二次方程—配方法

13.（2023春·山东济南·九年级校考期中）用配方法解一元二次方程：，配方后得（    ）

A． B． C． D．

 14．（2022秋·贵州铜仁·九年级校考期中）将一元二次方程化成（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（    ）

A．，7 B．，7 C．2， D．2，7

 15.（2022秋·江苏南京·九年级南京市科利华中学校考期中）用配方法解方程，方程可变形为，则         ，          ．

 16.（2022秋·河南南阳·九年级统考期中）已知关于的一元二次方程．

(1)求值；

(2)用配方法解这个方程．

 17.（2020秋·辽宁锦州·九年级统考期中）先阅读以下材料，再按要求解答问．求代数式y²＋4y＋8的最小值．

解∶y2＋4y＋8＝y2＋4y＋4－4＋8＝y2＋4y＋4＋4＝（y＋2）²＋4，

（y＋2）2≥0，

（y＋2）2＋4≥4

y²＋4y＋8的最小值是4

（1）求代数式x2＋2x＋4的最小值；

（2）当m为何值时，代数式m2－6m＋13有最小值，并求出这个最小值．

 解一元二次方程—分式法

18.（2019秋·广东广州·九年级广州市第七十五中学校考期中）一元二次方程的根的情况是（    ）

A．有两个不相等的实数根    B．有两个相等的实数根    C．无实数根 D．无法确定

 19.（2019秋·广东佛山·九年级佛山市禅城区澜石中学校考期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数，则的取值围是（  ）

A．  B． C． D．

 20.（2023春·湖南长沙·九年级校联考期中）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则     ．

 21．（2022秋·江苏扬州·九年级校联考期中）关于的一元二次方程．

(1)求证：方程总有两个实数根；

(2)若方程有一个根不小于7，求的取值范围．

解一元二次方程—因式分解法

22．（2022秋·河南南阳·九年级统考期中）一元二次方程的根是（    ）

A． B． C． D．，

 23.（2020秋·广东广州·九年级校考期中）方程的根是      ．

 24.（2022秋·湖南益阳·九年级校考期中）腰与底边不相等的等腰三角形的两边长是方程的两个根，则这个等腰三角形的周长为      ．

 25．（2022秋·湖南邵阳·九年级校联考期中）解下列方程：

(1) ；

(2)．

 26．（2023春·山东菏泽·九年级统考期中）先化简，再求值，其中是方程的根．

解一元二次方程—换元法

27．（2022秋·天津滨海新·九年级校考期中）若，则的值是（    ）

A．2 B．3 C．或3 D．2或

 28.（2022秋·江苏扬州·九年级校联考期中）已知，则的值为      ．

29．（2021秋·福建漳州·九年级校联考期中）关于x的方程．

(1)已知a，c异号，试说明此方程根的情况；

(2)若该方程的根是，试求方程的根．

一、单选题

1．（2020秋·广东广州·九年级校考期中）设方程的两个根为，，那么的值等于（    ）

A． B． C．1 D．

 2．（2022秋·江苏苏州·九年级苏州市景范中学校校考期中）对于一元二次方程，下列说法：

①若，则；

②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；

③若是方程的一个根，则一定有成立；

④若是一元二次方程的根，则

其中正确的：（    ）

A．只有① B．只有①② C．①②③ D．只有①②④

 3．（2020秋·福建泉州·九年级福建省泉州市培元中学校考期中）一个矩形内放入两个边长分别为3cm和4cm的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为8cm2；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为11cm2，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为（   ）

A．6cm2 B．7 cm2 C．12cm2 D．19 cm2

 4．（2019秋·河北石家庄·九年级统考期中）如图：一个三角点阵，从上向下有无数多行，其中第一行  1个点，第二行2个点 ……第行有个点……，若10 是前4行之和，则465是前（    ）行之和.

A．20 B．25 C．28 D．30

 二、填空题

5．（2020秋·广东广州·九年级校考期中）已知分别为（）的三边的长，则关于的一元二次方程根的情况是        ．

 6．（2023春·山东威海·九年级校联考期中）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是   

 7．（2020秋·广东惠州·九年级惠州市惠阳区第一中学校考期中）设a，b，c，d是四个不同的实数，如果a，b是方程的两根，c，d是方程的两根，那么的值为      ．

 8．（2022秋·湖南邵阳·九年级统考期中）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于“倍根方程”的说法，正确的有     （填序号）．

①方程是“倍根方程”；

②若是“倍根方程”，则；

③若满足，则关于x的方程是“倍根方程”；

④若方程是“倍根方程”，则必有．

三、解答题

9．（2022秋·江苏·九年级期中）阅读材料：各类方程的解法：

求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式，求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．

用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2-2x=0，可以通过因式分解把它转化为，解方程x=0和x2+x-2=0，可得方程x3+x2-2x=0的解．

（1）问题：方程的解是：=0，=______，=_______；

（2）拓展：用“转化”思想求方程的解；

（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=21m，宽AB=8m，点P在AD上（AP＞PD），小华把一根长为27m的绳子一段固定在点B，把长绳PB段拉直并固定在点P，再拉直，长绳的另一端恰好落在点C，求AP的长．

 10．（2022秋·福建泉州·九年级石狮市石光中学校考期中）已知关于x的一元二次方程．

(1)求证：方程有两个实数根；

(2)若，方程的两个实数根分别为（其中），若y是m的函数，且，求这个函数的解析式．

(3)若m为正整数，关于x的一元二次方程的两个根都是整数，a与分别是关于x的方程的两个根．求代数式的值．

 11．（2022秋·广东茂名·九年级茂名市第一中学校考期中）阅读材料：

材料1：若一元二次方程的两个根为，则，．

材料2：已知实数，满足，，且，求的值．

解：由题知，是方程的两个不相等的实数根，根据材料1得，，所以

根据上述材料解决以下问题：

(1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则___________，____________．

(2)类比探究：已知实数，满足，，且，求的值．

(3)思维拓展：已知实数、分别满足，，且．求的值．