【期中真题】2023-2024学年九年级数学上册 期中真题分类专题汇编 专题06 求概率的几种常见方法（五大题型）.zip

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专题06 求概率的几种常见方法






几何概率
1．（2022秋·浙江绍兴·九年级校考期中）如图所示的正方形纸片由若干个大小完全相同的黑色和白色小正方形组成，在它上面做随机扎针实验，针头扎在黑色区域内的概率为（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】刚好落在黑色区域上的概率就是黑色区域面积与总面积的比值，从而得出答案．
【详解】解：∵黑色区域的面积占总面积的，
∴刚好落在黑色区域的概率为．
故选：B．
【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
2.（2023春·山东烟台·九年级统考期中）如图，以正方形边长为直径做半圆，形成如下图形，若将飞镖随机投掷到正方形镖盘面上，则飞镖落在黑色区域的概率是 ．
  
【答案】/
【分析】如图，连接，相交于点O，根据正方形被分成四等分，飞镖落在每个区域的机会是均等的，即可得到飞镖落在黑色区域的概率．
【详解】解：如图，连接，相交于点O，
  
∵正方形既是轴对称图形，也是中心对称图形，
∴正方形被分成四个全等的等腰直角三角形，
黑色区域的面积正好等于两个等腰直角三角形的面积，
即黑色区域占了正方形面积的,
∵飞镖落在每个区域的机会是均等的，
∴飞镖落在黑色区域的概率是，
故答案为：
【点睛】此题考查了几何概率，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
3．（2021春·广东广州·九年级校考期中）将矩形分成15个大小相等的正方形，E，F，G、H分别在边上，且是某个小正方形的顶点．若一只小猫在这个图形上玩耍，则落在四边形内的概率是 ．
  
【答案】/
【分析】根据题意，设每一个正方形的边长为1，则其面积为1，进而可得矩形的面积与的面积，即可得四边形的面积，根据几何概率的求法，计算两者的比值可得答案．
【详解】解：根据题意，设每一个正方形的边长为1，则其面积为1，
则，
∴，，
则，
根据几何概率的求法，
可得其概率为．
故答案为：．
【点睛】此题考查几何概率的求法，事件（A）所表示的区域的面积与总面积的比值，就是事件（A）发生的概率．
4.（2022秋·山西阳泉·九年级统考期中）综合与探究
【问题再现】
(1)课本中有这样一道概率题：如图①，是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域和白色区域的概率分别是多少？请你解答．
【类比设计】
(2)在元旦晚会上班长想设计这样一个摇奖转盘：在图②中设计一个转盘，自由转动这个转盘，当它停止转动时，三等奖：指针落在红色区域的概率为，二等奖：指针落在白色区域的概率为，一等奖：指针落在黄色区域的概率为．请你帮忙设计．
【拓展运用】
(3)在一次促销活动中，某商场为了吸引顾客，设立转盘，转盘被平均分为16份，顾客每消费100元转动1次，对准红（1份），黄（2份），绿（4份）区域，分别奖励50元，30元，20元、其他区域无奖励．则转动1次获奖金的概率是 　 　．

【答案】(1)，；
(2)见解析
(3)11.875

【分析】（ 1）用红色区域的面积除以圆的面积可得到指针落在红色区域的概率；用白色区域的面积除以圆的面积可得到指针落在白色区域的概率；
（2 ）把圆分成8等份，然后把红色占3份，白色占三份，黄色占2份即可；
（3 ）根据相应金额和百分比可得到每转动一次转盘所获购金额的平均数．
【详解】（1）根据几何概率的意义可得：
，
；
（2）如图②，

（3）（元）；
故答案为：11.875．
【点睛】本题考查了几何概率，正确记忆概率的含义是解题关键．
列举法求概率
5.（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）从1~9这九个自然数中任取一个，是2的倍数或是3的倍数的概率是（   ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】从1到9这9个自然数中任取一个有9种可能的结果，其中是2的倍数或是3的倍数的有2，3，4，6，8，9共计6个．
【详解】解：从1到9这9个自然数中任取一个有9种可能的结果，是2的倍数或是3的倍数的有6个结果，因而概率是．
故选：C．
【点睛】用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．正确写出是2的倍数或是3的倍数的数有哪些是本题解决的关键．
6.（2022秋·四川成都·九年级校考期中）随机抛一枚硬币两次，两次都是反面朝上的概率是 ．
【答案】/
【分析】根据题意可以写出所有的可能性，从而可以求得两次反面朝上的概率．
【详解】解：随机掷一枚质地均匀的硬币两次，共“正、反”，“反、正”，“正、正”，“反、反”，4种情况，其中两次都是反面朝上的有1种情况，
∴两次都是反面朝上的概率是．
故答案为：．
【点睛】本题考查列举法求概率，解答本题的关键是明确题意，写出所有的可能性，求出相应的概率．
7．（2022秋·北京西城·九年级北京十四中校考期中）九年级某班班主任老师为学生小黄、小明和小红三个人照相，他们三人随意排成一排进行拍照，小红恰好排在中间的概率是 ．
【答案】
【分析】列举出所有情况，让小红恰好排在中间的情况数除以总情况数即为所求的概率．
【详解】解：设小黄、小明和小红为A、B、C，
排列方式有： A、B、C；
A、C、B；
B、A、C；
B、C、A；
C、A、B；
C、B、A．
小红在中间的情况有两种，概率为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了利用例举法求解随机事件的概率，熟练的例举出所有的可能的情况是解本题的关键．
8.（2022秋·浙江杭州·九年级校联考期中）现有4根小木棒，长度分别为：2，3，4，5(单位：)，从中任意取出3根．
(1)列出所选的3根小木棒的所有可能情况；
(2)如果用这3根小木棒首尾顺次相接，求它们能搭成三角形的概率．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）利用列举法即可列举出所选的3根小木棒的所有可能情况；
（2）由能搭成三角形的情况有3种，利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】（1）解：所有可能情况：；
（2）解：∵能搭成三角形的情况有，，，共有种，
∴能搭成三角形的概率为．
【点睛】本题考查了列举法求概率的知识．此题难度不大，注意要不重不漏，注意概率所求情况数与总情况数之比．

列表法求概率
9.（2019秋·江苏南通·九年级校联考期中）有一位新娘去商场买新婚衣服，购买了不同款式的上衣2件，不同颜色的裤子3条，利用树状图或列表法表示搭配衣服的所有可能出现的结果有 种．
【答案】6
【分析】考虑用某几个字母分别把上衣和裙子表示出来，可用列表法或画树状图的方法列举；不妨进行列表表示出所有的搭配方法，然后观察表格进行解答.
【详解】解：设2件不同款式的上装用a和b来表示，3件不同颜色的裙子用c、d和e来表示，那么用列表法表示如下:

观察表格可得，搭配衣服有6种可能的结果.
【点睛】此题旨在考查学生对在概率计算中列表法和树状图的运用的掌握情况.计算事件发生的概率常用的有以下几种方法：（1）列表法：一次实验涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，通常采用此方法.（2）画树形图法：事件经过多次步骤（不超过三步）完成时，用此方法很有效.树状图求概率法
10.（2021春·广东广州·九年级校考期中）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．又快到农历五月初五端午节了，奶奶包了5个粽子，其中有2个是红枣馅儿的，有2个是肉豆馅儿的，有1个是咸蛋黄馅儿的（这些粽子除馅料不同外其他外观均相同）．小聪随手拿了两只来吃．
(1)请你用树状图或列表法为小聪预测一下所吃两只粽子馅料相同的概率．
(2)求小聪吃到了喜欢的肉豆馅儿粽子的概率．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据题意画出树状图，得出共有20种吃粽子的情况，其中两只粽子馅料相同的情况有4种，再根据概率公式解答即可；
（2）由（1）中的树状图得出小聪所拿两只粽子中有肉豆馅儿的情况数，再根据概率公式解答．
【详解】（1）解：用A、B、C分别表示红枣馅儿和肉豆馅儿以及咸蛋黄馅儿的粽子，
画树状图如下：

可知共有20种吃粽子的情况，其中两只粽子馅料相同的情况有4种，
所以所吃两只粽子馅料相同的概率为；
（2）由上的树状图，小聪所拿两只粽子中有肉豆馅儿的情况有14种，
所以小聪吃到了喜欢的肉豆馅儿粽子的概率为．
【点睛】本题考查的是用列表法与树状法求事件的概率，根据题意画出树状图是解答此题的关键．
11．（2023春·福建厦门·九年级厦门市湖滨中学校考期中）随着生活水平提高，人们对饮水品质的需求越来越高．某商家现有、、三种型号的甲品牌净水器和，两种型号的乙品牌净水器．

净水器款式
进价(元/台)
售价(元/台)
型净水器


型净水器


(1)某公司要从甲、乙两种品牌净水器中各选购一种型号的净水器．如果各种选购方案被选中的可能性相等，那么A型号净水器被选中的概率是多少？(利用树状图或列表法表示)；
(2)商家对于购买净水器均有提供配送服务，下图是今年第一季度所购买的50家客户配送距离的统计图，求第一个季度该商家平均配送距离；
(3)某商家计划购进A，D两种型号的净水器共50台进行试销(试销价格如表所示)，其中A型净水器为x台，购买资金不超过9.8万元，公司决定从销售A型净水器的利润中按每台捐献元作为公司帮扶贫困村饮水改造资金，设某商家售完50台净水器并捐献扶贫资金后获得的利润为W，求W的最大值．
【答案】(1)
(2)米
(3)元

【分析】（1）根据画树状图法求概率即可求解；
（2）根据条形统计图求得平均数即可求解；
（3）根据题意列出不等式，得出，根据题意得出的函数关系，根据一次函数的性质即可求解．
【详解】（1）画树状图得：

有种选择方案：、、、、、；各种选购方案被选中的可能性相同，且型号净水器被选中的有种情况，即、，
型号净水器被选中
（2）第一个季度该商家平均配送距离是：
(米)
答：第一个季度该商家平均配送距离为米
（3）根据题意得：
解得：

由于，得到>0  随的增大而增大
∵
∴当时，W取得最大值为.
答：商家售完台净水器并捐献扶贫资金后获得的利润为最大值为元．
【点睛】本题考查了画树状图法求概率，统计统图，求平均数，不等式的应用，一次函数的应用，熟练掌握以上知识解题的关键．
12．（2022秋·山东青岛·九年级青岛大学附属中学校考期中）一个布袋里装有除颜色外完全相同的若干个球，其中1个白球，若干个红球，从中任意摸出1个，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球，通过大量的重复实验，得到摸出白球的频率是．
(1)则布袋中红球的个数为 个．
(2)若从布袋中两手各摸出一个球不放回共摸出个球，用列表法或树状图法求出两球都是红球的概率是多少？
【答案】(1)
(2)见解析；

【分析】（1）用白球的个数除以摸出白球的频率值求出球的总个数，继而可得答案；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到摸出2个球都是红球的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：由题意知，布袋中球的总个数为（个），
则红球的个数为（个），
故答案为：3；
（2）解：列表如下：

白
红1
红2
红3
白

（白，红1）
（白，红2）
（白，红3）
红1
（红1，白）

（红1，红2）
（红1，红3）
红2
（红2，白）
（红2，红1）

（红2，红3）
红3
（红3，白）
（红3，红1）
（红3，红2）

由表知，共有12种等可能结果，其中摸出2个球都是红球的有6种结果，
所以摸出2个球都是红球的概率为．
【点睛】此题考查了概率公式与用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
树状图求概率
13.（2023春·吉林长春·九年级校考期中）“红灯停，绿灯行”是我们在日常生活中必须遵守的交通规则，这样才能保障交通顺畅和行人安全．小刚每天从家骑自行车上学都经过三个路口，且每个路口只安装了红灯和绿灯，假如每个路口红灯和绿灯亮的时间相同，请用画树状图的方法，求小刚从家随时出发去学校遇到两次红灯的概率．
【答案】
【分析】画树状图求概率即可求解．
【详解】解：画树状图如下：
  
由树状图可知一共有8种等可能性的结果数，其中他遇到两次红灯的结果数有3种，
∴P（他遇到两次红灯的概率）
【点睛】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14．（2021秋·广东广州·九年级广州市第八十九中学校考期中）小明和小刚用下图的A，B两个转盘做游成，游戏规则如下：分别旋转两个转盘，当两个转盘所转到的数字之积为奇数时，小明胜，当所转到的数字之积为偶数时，小刚胜．如果指针恰好在分割线上，则需重新转动转盘．
  
(1)用树状图或列表的方法，求小明获胜的概率；
(2)这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
【答案】(1)
(2)不公平，理由见解析

【分析】（1）根据题意画出树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与小明获胜及小刚获的情况，然后利用概率公式求解，即可得到答案；
（2）根据（1）树状图，分别求得小明和小刚获胜的概率，比较即可得到答案．
【详解】（1）解：树状图如下：
  
共有6种等可能的情况，其中小明获胜的情况有2种，
小明获胜的概率为；
（2）解：不公平，理由如下：
由（1）树状图可知，小明获胜的概率为，小刚获胜的概率为，
，
这个游戏对双方不公平．
【点睛】本题主要考查了用树状图或列表法求概率，游戏公平性的判断，用树状图或列表法求概率时，首先列出所有等可能出现的结果，找出满足条件的情况，再根据概率公式进行计算即可；判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
15．（2023春·内蒙古通辽·九年级校考期中）2023年春节期间，《满江红》在各大影院上映后，小明去影院观看这部电影，该影院有A、B两个入口和C、E、D三个出口，若从每个入口进影院的可能性相同，从每个出口出影院的可能性也相同．
(1)观众不从E出口出影院的概率是 ；
(2)用列表或画树状图的方法求小明恰好经过通道A与通道D的概率．
【答案】(1)
(2)树状图见解析，

【分析】（1）直接由概率公式进行计算即可求解．
（2）画出树状图，根据树状图即可求解．
【详解】（1）解：有C、D、E三个出口，
观众不从E出口出影院的概率是，
故答案为．
（2）画树状图如下：

共有6种等可能的结果，其中小明恰好经过通道A与通道D的结果有1种，
小明恰好经过通道A与通道D的概率为．
【点睛】本题考查了概率公式求概率，树状图法求概率，掌握求概率的方法正确画出树状图是解题的关键．
由频率估计求概率
16.（2022秋·山东青岛·九年级统考期中）某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（    ）

A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率；
B．任意写一个整数，它能被2整除的概率；
C．掷一枚质地均匀正六面体骰子，向上的面点数是2的概率
D．暗箱中有1个红球和2个白球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是白球的概率
【答案】C
【分析】根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为者即为正确答案．
【详解】解：A、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，不符合题意；
B、任意写一个整数，它能被2整除的概率的概率为，不符合题意；
C、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数是2的概率是，符合题意；
D、暗箱中有1个红球和2个白球，它们只有颜色上的区别，从中任取一个球是白球的概率，不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．
17.（2023春·福建福州·九年级校考期中）不透明袋子中装有15个红球和若干个绿球，这些球除了颜色外无其他差别．经过大量重复试验后发现摸到红球的频率稳定在，则绿球的个数约是 ．
【答案】35
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到红球的频率稳定在，列出方程求解即可．
【详解】解：设绿球的个数有x个，
根据题意，得：，
解得：，
经检验：是分式方程的解，
∴绿球的个数约有35个．
故答案为：35．
【点睛】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
18．（2022秋·广东佛山·九年级统考期中）圆周率是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对有过深入的研究．目前，超级计算机已计算出的小数部分超过万亿位．有学者发现，随着小数部分位数的增加，0－9这10个数字出现的频率趋于稳定接近相同，从的小数部分随机取出一个数字，估计数字是3的概率为 ．
    
【答案】/
【分析】从的小数部分随机取出一个数字共有种等可能的结果，其中出现数字3的只有种结果，利用概率公式求解即可．
【详解】解：∵随着小数部分位数的增加，这个数字出现的频率趋于稳定接近相同，
∴从的小数部分随机取出一个数字共有种等可能的结果，其中出现数字3的只有种结果，
∴(数字是3)．
故答案为：．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，掌握大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题的关键．
19.（2022秋·浙江温州·九年级校考期中）某玩具公司承接了第19届杭州亚运会吉祥物公仔的生产任务，现对一批公仔进行抽检，其结果统计如下，请根据表中数据，回答问题：
抽取的公仔数n
10
100
1000
2000
3000
5000
优等品的频数m
9
96
951
1900
2856
4750
优等品的频率
0.9
0.96
a
0.95
0.952
b
(1) ______； ______．
(2)从这批公仔中任意抽取1只公仔是优等品的概率的估计值是______．（精确到0.01）
(3)若该公司这一批次生产了10000只公仔，请问这批公仔中优等品大约是多少只？
【答案】(1)0.951，0.95
(2)0.95
(3)9500只

【分析】（1）用优等品的频数除以抽取的总公仔数即可得出a与b的值；
（2）由表中数据可判断频率在0.95左右摆动，利用频率估计概率可判断任意抽取1只公仔是优等品的概率；
（3）用总生产的公仔数乘以优等品的概率，即可完成．
【详解】（1）解：由表得：，；
故答案为：0.951，0.95；
（2）解：从这批公仔中任意抽取1只公仔是优等品的概率的估计值是0.95；
故答案为：0.95；
（3）解：由题意得：（只），
答：这批公仔中优等品大约是9500只．
【点睛】本题考查了用频率估计概率，当试验的次数越多，频率趋于稳定，这个稳定值即为概率，理解这一事实是解题的关键．



一、单选题
1．（2022秋·山东菏泽·九年级统考期中）在一个不透明的口袋中装有除颜色外其它都相同的5个红球和3个白球，第一次任意从口袋中摸出一个球来不放回，则第二次摸到白球的概率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】画树状图，表示出等可能的结果，再由概率公式求解即可．
【详解】依题意画树状图如下：
故第二次摸到白球的概率为
故选B．

【点睛】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
2．（2023春·山东淄博·九年级校考期中）如图1所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法:用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（小球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此可估计不规则图案的面积大约是（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在0.35，因此用频率估计概率，再根据几何概率知，不规则图案的面积与矩形面积的比为0.35，即可求得不规则图案的面积．
【详解】p由折线统计图知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率稳定在0.35，于是把0.35作为概率．
设不规则图案的面积为xcm2，则有
解得：x=14
即不规则图案的面积为14cm2．
故选：B．
【点睛】本题考查了几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，关键在于读懂折线统计图的含义，随着实验次数的增加，频率稳定于0.35附近，由此得实验的频率，并把它作为概率．这对学生知识的灵活应用提出了更高的要求．
3．（2022秋·山东·九年级校联考期中）小明制作了5张卡片，上面分别写了一个条件：①；②；③；④，⑤．从中随机抽取一张卡片，能判定是菱形的概率为（  ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据菱形的判定方法求解即可．
【详解】解：：①；根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可判定是菱形；
②；根据有一个内角是直角的平行四边形是矩形，可判定是矩形；
③；是本身具有的性质，无法判定是菱形；
④，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可判定是菱形；
⑤．根据对角线相等的平行四边形是矩形，可判定是矩形
∴共有5种等可能结果，其中符合题意的有2种
∴能判定是菱形的概率为
故选：B．
【点睛】本题考查概率的计算及菱形的判定，掌握菱形的判定方法正确分析推理是解题关键．
4．（2023秋·辽宁丹东·九年级校考期中）某射击运动员在相同的条件下的射击成绩记录如下：
射击次数
20
40
100
200
400
1000
射中9环以上次数
15
33
78
158
321
801
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次“射中9环以上”的概率是（    ） （小数点后保留两位）
A．0.75 B．0.78 C．0.83 D．0.80
【答案】D
【分析】重复试验次数越多，其频率越能估计概率，求出射击1000次时的频率即可．
【详解】解：由题意可知射击1000次时，运动员射击一次时射中“9环以上”的频率为，
∴用频率估计概率为，
故选：D．
【点睛】本题考查了概率，解题的关键在于明确频率估计概率时要在重复试验次数尽可能多的情况下．
5．（2023春·安徽宿州·九年级统考期中）如图所示，阴影是两个相同菱形的重合部分，一个小球随机的在图案上滚动，最后停留在阴影部分的概率是（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据菱形和等腰三角形性质，得；根据菱形和余角性质，得，从而得；结合三角形面积计算公式分析，分别得阴影部分面积和部分重叠的两个菱形面积，结合概率的性质计算，即可得到答案．
【详解】如图，

∵两个菱形相同
∴
∴
又∵两个菱形
∴，
∴
∴
∴
∴阴影部分面积，
∴部分重叠的两个菱形面积-阴影部分面积
∴最后停留在阴影部分的概率
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形、余角、等腰三角形、概率的知识；解题的关键是熟练掌握菱形、等腰三角形、概率的性质，从而完成求解．

二、填空题
6．（2020秋·浙江温州·九年级校考期中）在3*4的正方形网格中，有三块小正方形被涂黑色，其余均为白色（如图），先任选一个白色的小正方形涂黑，使黑色部分所构成的图形是轴对称图形的概率是： .

【答案】
【分析】由在3*4的正方形网格中，任选取一个白色的小正方体并涂黑，共有9种等可能结果，使其成为轴对称图形的有4种，即可得解；
【详解】∵格局轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合，白色的小正方形有9个，而能够成一个轴对称图形的有四种情况，
∴使黑色部分所构成的图形是轴对称图形的概率是：．
故答案是：．

【点睛】本题主要考查了概率公式应用和利用轴对称设计图案，准确分析判断是解题的关键．
7．（2021秋·福建泉州·九年级福建省泉州市泉港区第一中学校考期中）某市园林部门为了扩大城市的绿化面积，进行了大量的树木移栽，下表记录的是在相同的条件下移栽某种幼树的棵数与成活棵数．依此估计这种幼树成活的概率是 ．（结果精确到0.1）
移栽棵数
100
1000
10000
20000
成活棵数
89
910
9008
18004

【答案】0.9
【分析】利用成活棵树除以移栽棵树即可得解；
【详解】；
故答案是：0.9．
【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率，准确计算是解题的关键．
8．（2022秋·四川成都·九年级校考期中）如图是一张四边形纸板，对角线，，，顺次连按各边中点得到四边形．将一个飞镖随机投掷到大纸板上，则飞镖落在阴影区域（飞镖落在区域分界线时，忽略不计）的概率是 ．

【答案】
【分析】利用三角形中位线的性质，可证得四边形是矩形，计算出两个四边形的面积即可得到阴影部分的面积，再计算，可得结论．
【详解】解：∵、是、边上的中点，
∴是的中位线
∴，，
同理，可得，，
，，
，，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴

，
∴
∴则飞镖落在阴影区域的概率为．
故答案为：．
【点睛】本题考查几何概率，理解几何概率的意义，是正确计算的前提．

9．（2019秋·全国·九年级校考期中）去游泳馆游泳，要换拖鞋，如果鞋柜里只剩下尺码相同的4双红色的鞋和3双蓝色的鞋混合放在一起，闭上眼睛随意拿出2只，它们正好是一双的概率为 ．
【答案】
【分析】由鞋柜里只剩下尺码相同的4双红色的鞋和3双蓝色的鞋混合放在一起，闭上眼睛随意拿出2只，等可能的结果有182种，其中正好是一双的有50种情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：∵鞋柜里有尺码相同的4双红色的鞋和3双蓝色的鞋，
∴随意拿出2只，等可能的结果有：14×13=182（种），其中正好是一双有：红色成双4×4×2=32种，蓝色成双3×3×2=18种情况，共计50种成双情况.

∴随意拿出2只正好是一双概率为：．
故答案为．
【点睛】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

三、解答题
10．（2022秋·山东青岛·九年级统考期中）在一个不透明的口袋中装有4张相同的纸牌，它们分别标有数字1，2，3，4，随机地一次摸取两张纸牌，请用列表或画树状图的方法解决下列问题．
(1)计算两次摸取纸牌上数字之和为5的概率；
(2)甲、乙两人进行游戏，如果两次摸取纸牌上数字之和为奇数，则甲胜；如果两次摸取纸牌上数字之和为偶数，则乙胜．这是个公平的游戏吗？请说明理由．
【答案】(1)
(2)这不是个公平的游戏，理由见解析

【分析】（1）结合题意，根据树状图法求概率的性质计算，即可得到答案；
（2）结合（1）的结论，根据树状图法求概率的性质分别计算甲和乙胜的概率，从而完成求解.
【详解】（1）根据题意，树状图如下：

∴随机地一次摸取两张纸牌，共有12种情况，其中两次摸取纸牌上数字之和为5的情况共有4种
∴两次摸取纸牌上数字之和为5的概率；
（2）根据（1）的结论，随机地一次摸取两张纸牌，共有12种情况，其中两次摸取纸牌上数字之和为奇数的情况有8种，两次摸取纸牌上数字之和为偶数的情况有4种
∴甲胜的概率，乙胜的概率，
∴甲胜的概率大于乙胜的概率
∴这不是个公平的游戏.
【点睛】本题考查了概率的知识；解题的关键是熟练掌握树状图法求概率的性质，从而完成求解.
11．（2022秋·广东佛山·九年级校考期中）有4张背面相同的卡片，正面分别写有数字0、1、2、，将卡片背面上洗匀．
(1)从中随机抽取一张卡片，记下数字，放回洗匀，不断重复上述过程，若共抽卡片30次，其中有8次抽到数字0，这30次中抽到数字0的频率为___________，如果再抽第31次，抽到数字0的概率为__________．
(2)健健和康康兄弟俩为决定当天晚饭后洗碗任务的归属，设计了如下游戏规则：两人从四张卡片中同时各抽取一张卡片，若两张卡片上的数字和为正数，则健健洗碗；若两张卡片上的数字和为负数，则康康洗碗．该游戏规则公平吗？请用树状图或列表法说明理由．
【答案】(1)，
(2)该游戏规则公平，理由见解析

【分析】(1)利用频率公式及概率公式求解即可；
(2)利用列表法列举出所有等可能的结果，进而利用概率公式得出健健和康康洗碗的概率，据此即可得出答案．
【详解】（1）解：共抽卡片30次，其中有8次抽到数字0，
这30次中抽到数字0的频率为：，抽到数字0的概率为：，
如果再抽第31次，抽到数字0的概率约，
故答案为：，；
（2）解：该游戏规则公平，理由如下：
列表如下：

0
1
2

0




1




2









故共有12种等可能的结果，其中两张卡片上的数字和为正数的有6种，两张卡片上的数字和为负数的有6种，
故健健和康康获胜的概率都为：，
故该游戏规则公平．
【点睛】本题考查了频率公式及概率公式，游戏公平性的判断，用树状图或列表法求概率，判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
12．（2021秋·福建泉州·九年级校考期中）“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒．该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马，田忌也有上、中、下三匹马，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：（注：表示A马与B马比赛，A马获胜）．一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利．面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛，即借助对阵（）获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例．
假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题：
（1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜的概率；
（2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率．
【答案】（1）田忌首局应出“下马”才可能在整场比赛中获胜，；（2）不是，田忌获胜的所有对阵是，，，，，，
【分析】（1）通过理解题意分析得出结论，通过列举法求出获胜的概率；
（2）通过列举齐王的出马顺序和田忌获胜的对阵，求出概率．
【详解】（1）田忌首局应出“下马”才可能在整场比赛中获胜．
此时，比赛的所有可能对阵为：
，，
，，共四种．
其中田忌获胜的对阵有
，，共两种，
故此时田忌获胜的概率为．
（2）不是．
齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是；
齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是；
齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是；
齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是；
齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是；
齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是．
综上所述，田忌获胜的所有对阵是
，，，
，，．
齐王的出马顺序为时，比赛的所有可能对阵是
，，，
，，，
共6种，同理，齐王的其他各种出马顺序，也都分别有相应的6种可能对阵，
所以，此时田忌获胜的概率．
【点睛】本小题考查简单随机事件的概率等基础知识，考查推理能力、应用意识，考查统计与概率思想；通过列举所有对阵情况，求得概率是解题的关键．