【期中真题】2023-2024学年九年级数学上册 期中真题分类专题汇编 专题08 相似图形的相关概念及性质（五大题型）.zip

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专题0 8 相似图形的相关概念及性质



成比例线段及性质
1．（2022秋·福建漳州·九年级校考期中）下列各组中的四条线段成比例的是(    )
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
【答案】B
【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．
【详解】解：A、，故选项不符合题意；
B、，故选项符合题意；
C、，故选项不符合题意；
D、故选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了比例线段：对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比(即它们的长度比)与另两条线段的比相等，如 (即)，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
2．（2022秋·广西梧州·九年级校考期中）已知四条线段，，，依次成比例，且，，，则的值为(    )
A．3 B．6 C．8 D．9
【答案】B
【分析】根据成比例线段的定义得出，即可求解．
【详解】四条线段、、、依次成比例，
，
，，
，
解得：
故选：B．
【点睛】本题考查了成比例线段，掌握成比例线段的定义是解题的关键．
3．（2023春·广东中山·九年级广东省中山市中港英文学校校考期中）若，则的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用两内项之积等于两外项之积进行判断即可．
【详解】解：∵,
∴，
故选．
【点睛】本题考查了比例的性质：两内项之积等于两外项之积，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
4.（2022秋·上海奉贤·九年级校考期中）已知，则： ．
【答案】
【分析】根据比例关系假设，，代入即可求值．
【详解】∵，
∴，
∴设，，
∴
【点睛】此题考查了比例线段，解题的关键是熟练掌握有关比例关系的数量关系．
5.（2022秋·浙江温州·九年级校考期中）（1）已知线段，求线段a，b的比例中项线段c的长．
（2）已知，求的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据比例中项的定义可知，由此求解即可；
（2）根据比例的性质可设，然后代入所求式子求解即可．
【详解】解：（1）∵线段，线段c是线段a、b的比例中项，
∴，
∴（负值舍去）；
（2）∵，
∴可设，
∴．
【点睛】本题主要考查了成比例线段，比例的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．
平行线分线段成比例题
6.（2019秋·广东佛山·九年级佛山市禅城区澜石中学校考期中）如图，已知中，，若，，，则的长是（  ）
  
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例的方法即可求解．
【详解】解：在中，，
∴，
∴，且，，，
∴，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例的知识，掌握以上知识是解题的关键．
7．（2021秋·上海青浦·九年级校考期中）在中，点D、E分别在的反向延长线上，下列不能判定的条件是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用“如果一条直线截三角形的两边或两边的反向延长线，对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边”逐项判断即可求解．
【详解】解：如图，
A、若，则,故选项A不合题意；
B、若，则,故选项B不合题意；
C、若，则,故选项C不合题意；
D、若，无法得到,故选项D符合题意．

故选：D
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的推论，准确掌握平行线分线段成比例定理推论是解题关键．
8．（2023秋·浙江·九年级期中）如图，直线，若，，，则 ．

【答案】
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，求出，再求出即可．
【详解】解：∵直线，
∴，即：
解得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．
9.（2022秋·陕西咸阳·九年级统考期中）如图，在和中，D、E、F分别在线段上，连接，，求的长．
  
【答案】9
【分析】由可得从而可得再由可得结果．
【详解】解:∵,
∴
∴
∵
∴
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解决本题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理．

黄金分割
10.（2022秋·浙江金华·九年级义乌市绣湖中学教育集团校联考期中）若线段，点P是线段的黄金分割点，且，则的长为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据黄金分割的定义即可解答．
【详解】解：∵点P是线段的黄金分割点，且，
∴，
故选：D．
【点睛】此题考查了黄金分割，应该熟记黄金分割的公式：较长线段=原线段长的倍，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
11.（2022秋·上海·九年级校考期中）已知线段，点在线段上，且，那么线段的长 ．
【答案】/
【详解】根据黄金分割的定义得到点是线段的黄金分割点，根据黄金比值计算得到答案．
【解答】解：∵，
点是线段的黄金分割点，，
，
故答案为：．
【点评】本题考查的是黄金分割的概念和性质，掌握黄金比值为是解题的关键．
12.（2020秋·浙江杭州·九年级校考期中）如图所示，以长为2的定线段为边作正方形，取的中点P，连接，在的延长线上取点F，使，以AF为边作正方形，点M在上．

(1)求的长；
(2)点M是的黄金分割点吗？为什么？
【答案】(1)的长为，的长为；
(2)点M是的黄金分割点，理由见解析

【分析】（1）要求AM的长，只需求得AF的长，又，
，则；
（2）根据（1）中的数据得：，根据黄金分割点的概念，则点M是AD的黄金分割点．
【详解】（1）在中，，由勾股定理知∶
，
∴，
；
故的长为，的长为；
（2）点M是AD的黄金分割点．
∵，
∴点M是的黄金分割点．
【点睛】此题综合考查了正方形的性质、勾股定理和黄金分割的概念．先求得线段的长，然后求得线段和之间的比，根据黄金分割的概念进行判断．
相似图形
13.（2022秋·上海崇明·九年级校考期中）下列关于“相似形”的说法中正确的是（    ）
A．相似形形状相同、大小不同 B．图形的放缩运动可以得到相似形
C．对应边成比例的两个多边形是相似形 D．相似形是全等形的特例
【答案】B
【分析】根据相似形的性质逐一判断即可．
【详解】解：A：相似形形状相同、大小不一定相同，但是可以相同，故选项A错误；
B：图形的放缩运动可以得到相似形，选项B正确；
C：如果两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,这两个多边形叫做相似多边形，故选项C错误；
D：全等形是相似形的特例，故选项D错误．
【点睛】本题考查相似形的性质，解题的关键是熟练掌握相似形的相关知识．
14.（2023春·江苏南京·九年级统考期中）某同学的眼睛到黑板的距离是，课本上的文字大小为．要使这名同学看黑板上的字时，与他看相距的课本上的字的感觉相同，老师在黑板上写的文字大小应约为 （答案请按同一形式书写）．

【答案】
【分析】设，则老师在黑板上写的文字大小为，根据比例线段和相似图形的性质，列出方程求解即可．
【详解】解：如图：，，令，
设，则老师在黑板上写的文字大小为，
∵，
∴，
解得：，
∴老师在黑板上写的文字大小为，
故答案为：．

【点睛】本题主要考查了成比例线段和相似图形的性质，解题的关键是根据题意得出教科书上的字与黑板上的字相似，根据相似图形对应边成比例求解．
15.（2019秋·山西太原·九年级统考期中）方格图中的每个小方格都是边长为1小正方形，我们把小正方形的顶点称为格点，格点连线为边的四边形称为“格点四边形”，图1中的四边形ABCD就是一个格点四边形.

（1）小彬在图2的方格图中画了一个格点四边形EFGH.借助方格图回答：四边形ABCD与四边形EFGH相似吗？若相似，直接写出四边形ABCD与四边形EFGH的相似比；若不相似说明理由；
（2）请在图3的方格图中画一个格点四边形，使它与四边形ABCD相似，但与四边形ABCD、四边形EFGH都不全等.
【答案】（1）相似，相似比为；（2）如图，四边形MNPQ即为所求，见解析.
【分析】（1）分别求出四边形各边的长度，求出对应边的相似比，即可得到答案；
（2）先确定相似比，然后求出个对应边的长度，即可画出图形.
【详解】解：（1）相似；
根据题意，四边形ABCD中，，BC=1，CD=2，AD=；四边形EFGH中，，FG=2，GH=4，EH=；
∴，即，
∴四边形ABCD与四边形EFGH相似，相似比为：.
（2）根据题意，设相似比为，则四边形MNPQ的各边为：
MN=2，NP=，PQ=，MQ=，
如图，四边形MNPQ即为所求.
.
【点睛】本题考查了相似四边形的性质，以及画相似图形，解题的关键是掌握相似四边形的对应边的比相等.

相似多边形及其性质

16.（2022秋·山东潍坊·九年级统考期中）如图，已知四边形四边形，，，则的长是（    ）．

A．6 B． C． D．4
【答案】C
【分析】由四边形四边形，可得，再代入数据计算即可．
【详解】解：∵四边形四边形，
∴，
∵，，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握“相似多边形的对应边成比例”是解本题的关键．
17.（2021秋·河南·九年级河南省实验中学校考期中）如图所示，复印纸的型号有A0，A1，A2，A3，A4等，它们之间存在着这样一种关系：将其中某一型号（如A3）的复印纸沿较长边的中点对折，就能得到两张下一型号（A4）的复印纸，且得到的两个矩形都和原来的矩形相似，那么这些型号的复印纸的长、宽之比为 ．

【答案】
【分析】设这些型号的复印纸的长、宽分别为b、a，根据相似多边形的对应边的比相等列出比例式，计算即可．
【详解】解：设这些型号的复印纸的长、宽分别为b、a，
∵得到的矩形都和原来的矩形相似，
∴，
则，
∴，
∴这些型号的复印纸的长宽之比为，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，相似多边形的性质为：①对应角相等；②对应边的比相等．
18.（2016秋·江苏镇江·九年级统考期中）如图，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为米．
（1）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽；
（2）能否设计出符合题目要求，且长方形花圃的形状与原长方形空地的形状相似的花圃？若能，求出此时通道的宽；若不能，则说明理由．

【答案】(1)、5米；(2)、不能，理由见解析
【详解】试题分析：(1)、根据题意得出关于a的一元二次方程，从而得出a的值；(2)、根据相似多边形的性质得出比值，然后求出a的值，根据a的值不符合题意得出答案.
试题解析：(1)、由已知可列式：60×40﹣（40﹣2a）（60﹣2a）=×60×40，
解得：a1=5， a2=45（舍去），
答：所以通道的宽为5米；
(2)、假设能满足要求，则解得 ，
因为不符合实际情况，所以不能满足其要求．
考点：(1)、一元二次方程的应用；(2)、相似多边形




1．（2021秋·河北秦皇岛·九年级统考期中）已知，那么的值为（      ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据两内项之积等于两外项之积可得3a=2b，然后用a表示出b；再根据比例的定义求出，最后代入计算即可．
【详解】解：∵
∴3a=2b，即b=a
∴=．
故答案为B．
【点睛】本题主要考查了比例的性质和定义，灵活应用比例的性质和定义是解答本题的关键．
2．（2021秋·陕西咸阳·九年级咸阳彩虹学校校考期中）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即；如图，点是线段上一点，若满足，则称点是的黄金分割点，黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好，若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入沿直线行走，设他至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则满足的方程是（    ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据黄金分割点的定义列式判断即可．
【详解】解：∵满足，则称点 是 的黄金分割点，
设他至少走 米时恰好站在舞台的黄金分割点上，即，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了黄金分割点的意义，正确理解黄金分割的定义是解题的关键．
3．（2019秋·四川遂宁·九年级校考期中）已知≠0且a+b﹣2c＝9，则a的值为（　　）
A．3 B．12 C．15 D．18
【答案】D
【分析】利用已知用同一未知数表示出a，b，c的值，进而计算得出答案．
【详解】解：∵≠0，
∴设a＝6x，b＝5x，c＝4x，
∵a+b﹣2c＝9，
∴6x+5x﹣8x＝9，
解得：x＝3，
故a＝18．
故选D．
【点睛】本题主要考查了比例的性质，正确表示出各数是解题关键．
4．（2022秋·重庆丰都·九年级校考期中）已知代数式，，，下列结论：
①若，则；
②若，且z为方程的一个实根，则；
③若x，y，z为正整数，且，则；
④若，则；
其中正确的个数是（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据比例的性质及求代数式的值的方法，依次化简计算即可得出结果．
【详解】解：①若x:y:z=1:2:3，
设x=a；y=2a；z=3a；
∴A=；B=；C=；
∴，故①正确；
②若x=y=1，
则A=，B=，C=，
∴，
∵z为方程的一个实数根，
∴z≠0，
∴，
∴，
∴，
故②正确；
若xyz为正整数，则
，
，
，
∵x>y>z，
∴，
∴，
即，
∴A>B>C，故③正确；
若A=B=C，即，
当x+y+z≠0时，
；
当x+y+z=0时，
,
综上A=或-1，故④错误；
∴正确的有3个，
故选：C．
【点睛】题目主要考查利用比例进行计算，化简求代数式的值，一元二次方程的根等，理解题意，数量掌握各个运算法则是解题关键．
5．（2022秋·江苏无锡·九年级校考期中）如图，等边中，、分别在、边上，且，将绕点顺时针旋转，得到，取中点，连接，延长交于点．若，则长是(　　)

A． B．9 C． D．3
【答案】B
【分析】在上截取，连接，证明，延长交于，作于，于，得出，根据已知条件得出，，继而根据含30度角的直角三角形的性质，求得，求得，根据，再利用进行计算即可．
【详解】解：在上截取，连接，

∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∵将线段绕点顺时针旋转，得到线段，
∴，，
∴，
而，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴平分；
延长交于，作于，于，
∵平分
∴垂直平分，，
∴
∴，即，
∵点为的中点，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的的性质，等边三角形的性质和平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定与性质，正确的添加辅助线是解题的关键
6．（2021秋·上海·九年级上海市文来中学校考期中）在中，若AD交BC于D，BE交AC于E，CF交BA于F，AD，BE，CF相交于一点，，，则 ．
【答案】
【分析】如图，先利用三角形的面积关系可得 ，，再结合比例的基本性质证明，可得，同理可得：， 可得， 从而可得结论．
【详解】解：如图，设AD，BE，CF相交于点，

， ，
，
，
同理可得： ，
，
，，
，
．
故答案为：
【点睛】本题考查的是三角形的面积关系，比例的基本性质，掌握比例的基本性质进行比例的变形是解题的关键．
7．（2022秋·安徽滁州·九年级校联考期中）如图，在中，的内、外角平分线分别交及其延长线于点，则      
  
【答案】5
【分析】根据CD是∠ACB的平分线，由三角形的面积可得出，可得出①；由CE是∠ACB的外角平分线， 得出，进而得出②，两式相加即可得出结论．
【详解】解：∵CD是∠ACB的平分线，
∴
∴
∴，即①；
∵CE是∠ACB的外角平分线，
∴
∴，即②；
①+②，得．
故答案为：5．
【点睛】此题主要考查了比例的应用，熟练掌握比的性质是解答此题的关键．
8．（2021秋·广东广州·九年级校考期中）如图，△ABC的两条中线AD，BE交于点G，EF∥BC交AD于点F．若FG＝1，则AD＝ ．

【答案】6
【分析】利用平行线分线段长比例定理得到=1，即AF=FD，所以EF为△ADC的中位线，则EF=CD=BD，再利用EF∥BD得到，所以DG=2FG=2，然后计算FD，从而得到AD的长．
【详解】解：∵△ABC的两条中线AD，BE交于点G，
∴BD＝CD，AE＝CE，
∵EF∥CD，
∴＝1，即AF＝FD，
∴EF为△ADC的中位线，
∴EF＝CD，
∴EF＝BD，
∵EF∥BD，
∴，
∴DG＝2FG＝2，
∴FD＝2+1＝3，
∴AD＝2FD＝6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．也考查了三角形中位线性质和平行线分线段成比例定理．
9．（2020秋·浙江杭州·九年级校考期中）在中，，点在直线上，，点为边的中点，连接，射线交于点，则的值为 ．
【答案】或
【分析】根据题意分类讨论点C在A点左侧和AB之间的情况，分别过点A作AF∥BG，利用平行线分线段成比例定理传递线段的比，则问题可解．
【详解】解:当点C在点A左侧时，如图，
过点A作AF∥BG，交OC于点F

∵AF∥BG，
∴
∵点为边的中点，AF∥BG
∴
∴
当点C在点AB之间时，如图，
作AF∥BG，交OC延长线于点F

∵AF∥BG，
∴
∵点为边的中点，AF∥BG
∴
∴
故答案为：或
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理的推理，解答关键是选择分点作平行线传递线段的比．

三、解答题
10．（2018秋·上海嘉定·九年级统考期中）如图，MN经过DABC的顶点A，MN∥BC，AM=AN，MC交AB于D，NB交AC于E．

（1）求证：DE∥BC；
（2）联结DE，如果DE=1，BC=3，求MN的长．
【答案】（1）见解析；（2）3
【分析】（1）由平行线分线段成比例结合条件可证得，可证得结论；
（2）由（1）的结论，结合平行线分线段成比例可得到，结合条件可求得，可求得AM，可求出MN．
【详解】（1）证明：∵，∴，．
∵，∴．
∴．
（2）∵，，．∴
∴，∴．
∴
∵，∴．
【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例的性质和判定，掌握线段对应成比例⇔两直线平行是解题的关键．
11．（2021秋·辽宁大连·九年级统考期中）如图，△ABC中，点D，E在边AB上，点F在边BC上，且AD＝AC，EF＝EC，∠CEF＝∠A，连接DF．
（1）在图1中找出与∠ACE相等的角，并证明；
（2）求证：∠BDF＝∠EFC；
（3）如图2，延长FD，CA交于点G，连接EG，若EG＝AG，DE＝kAE，求的值（用含k的代数式表示）．

【答案】（1）∠DEF＝∠ACE，证明见解析；（2）见解析；（3）k
【分析】（1）由三角形外角的性质可得出答案；
（2）连接CD，过点E作AC的平行线与CD交于点M，证明△DEF≌△MEC（SAS），由全等三角形的性质可得出∠EDF＝∠EMC，证出∠EMD＝∠EFC，则可得出结论；
（3）连接CD，过点E作AC的平行线与CD交于点M，证明△EFG≌△ECD（ASA），由全等三角形的性质可得出GF＝DC，证出GD＝DM，则根据平行线分线段成比例即可得出答案．
【详解】解：（1）∠DEF＝∠ACE．
证明：∵∠DEC是△ACE的外角，
∴∠DEC＝∠A+∠ACE，
∵∠DEC＝∠DEF+∠CEF，
∴∠DEC+∠CEF＝∠A+∠ACE，
∵∠CEF＝∠A，
∴∠DEF＝∠ACE；
（2）证明：连接CD，过点E作AC的平行线与CD交于点M，

∵AD＝AC，
∴∠ADC＝∠ACD，
∵EM∥AC，
∴∠EMD＝∠ACD，∠CEM＝∠ACE，
∴∠EDM＝∠EMD，∠DEF＝∠CEM，
∴ED＝EM，
又∵EF＝EC，
∴△DEF≌△MEC（SAS），
∴∠EDF＝∠EMC，
∵∠BDF+∠EDF＝∠EMD+∠EMC＝180°，
∴∠BDF＝∠EMC，
∵EM∥AC，
∴∠DEM＝∠A，
∵∠A＝∠CEF，
∴∠DEM＝∠CEF，
∵△DEM中，∠EMD＝，△FEC中，∠EFC＝，
∴∠EMD＝∠EFC，
∴∠BDF＝∠EFC；
（3）连接CD，过点E作AC的平行线与CD交于点M，

∵EG＝AG，
∴∠GAE＝∠GEA，
∵∠DAC+∠GAE＝∠GEA+∠GED＝180°，
∴∠DAC＝∠GED，
∵∠CEF＝∠DAC，
∴∠DEG＝∠CEF，
∴∠DEG+∠DEF＝∠CEF+∠DEF，
即∠GEF＝∠DEC，
∵△DEF≌△MEC，
∴∠EFG＝∠ECD，DF＝MC，
又∵EF＝EC，
∴△EFG≌△ECD（ASA），
∴GF＝DC，
∴DC﹣MC＝GF﹣DF，
即GD＝DM，
∵EM∥AC，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，添加辅助线证明三角形全等是解题的关键．
12．（2022秋·湖北武汉·九年级统考期中）问题提出
在等腰直角中，，，点分别在边，上（不同时在点），连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，探究与的位置关系．

问题探究
(1)先将问题特殊化，如图1，点，分别与点，重合，直接写出与的位置关系；
(2)再探讨一般情形，如图2，证明（1）中的结论仍然成立．
(3)如图3，在等腰直角中，，，为的中点，点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，点是点关于直线的对称点，若点，，在一条直线上，求的值．
【答案】(1)，理由见解析
(2)见解析
(3)

【分析】（1）分析说明此时四边形为正方形即可；
（2）要证明，只要证明，而要证明可以通过添加辅助线构造全等三角形即可；
（3）由点为的中点及第（1）结论可知四边形是正方形，过作于点，延长交于点，从而构造全等三角形，利用全等三角形的性质及平行线分线段成比例定理即可得出结果．
【详解】（1）解：，理由如下：
由旋转的性质得：，，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
；
（2）证明：如图2，过作交的延长线于点，
则，
，，
，
是等腰直角三角形，
，，
由旋转的性质得：，，
，
，
即，
（SAS），
，
，
；

（3）解：如图3，连接、，过作于点，延长交于点，
则，
由（1）可知，，
，，
为的中点，
，
（AAS），
，
点是点关于直线的对称点，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
平行四边形是正方形，
，，，
，
，
，，
，
由旋转的性质得：，，
，
，
，
（AAS），
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
．

【点睛】本题综合考查了旋转变换及等腰直角三角形性质，关键是添加辅助线构建全等三角形，找到证明思路的技巧是使用分析法即：执果索因法．