【期中真题】（人教版）2023-2024学年七年级数学上册 期中真题分类专题汇编 专题04有理数章节压轴题专项训练.zip

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 专题04 有理数章节压轴题专项训练
1．如果，，那么与的大小关系是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】相乘的这些分数的特点是分母都是偶数，分子都是奇数；再写出一道分数相乘，使它们分子都是偶数，分母都是奇数， 把这两道算式相乘，得出积为，由此进一步再做比较即可得解．
【详解】解：设，
∵，，
∴，
∴
，
∴，
∵，
∴，即，
故选A．
【点睛】本题考查了比较有理数的大小，采用适当的方式将有理数放大后比较是解题的关键．
2．有一列数，将这列数中的每个数求其相反数得到，再分别求与1的和的倒数，得到，设为，称这为一次操作，第二次操作是将再进行上述操作，得到；第三次将重复上述操作，得到……以此类推，得出下列说法中，正确的有（    ）个
①，，，    ②
③．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】根据所给的操作方式，求出前面的数，再分析存在的规律，从而可求解．
【详解】解：由题意得：，，，，
，，，，故①正确；
∵，
∴是由经过503次操作所得，
∵，，，，
∴、、、……，三个为一组成一个循环，
∵，
∴，故②错误；
依次计算：，，，，
，，，，
，
则每3次操作，相应的数会重复出现，


，
，

．故③错误；
综上分析可知，正确的有2个，
故选：B．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是求出前面的几个数，发现其存在的规律．

3．如图，，，，分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一个点是原点，并且，数对应的点到点，的距离相等，数对应的点到点，的距离相等，若，则原点是（   ）
  
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】B
【分析】利用数轴特点确定a、b的关系，然后根据绝对值的性质解答即可得出答案．
【详解】因为，
所以，
所以
当原点在或点时，，又因为，所以原点可能在或点
当原点在或点时，，所以原点不可能在或点
综上所述，原点应是在或点．
故选：B．
【点睛】本题考查了数轴的定义和绝对值的意义，解题的关键是先利用条件判断出绝对值符号里代数式的正负性，再根据绝对值的性质把绝对值符号去掉，把式子化简后根据整点的特点求解．
4．对于正数，规定，例如，则的结果是（　　）
A． B．4 C． D．4
【答案】A
【分析】计算出的值，总结出其规律，再求所求的式子的值即可．
【详解】解：，
，，
，


．
故选：A．
【点睛】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，代数式求值，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新规定解答．
5．观察等式：；；；，已知按一定规律排列的一组数：，，．若，用含的式子表示这组数的和是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分析式子猜想规律，利用规律计算解题．
【详解】解：；
；
；

，



，
，
，
原式．
故选：D．
【点睛】本题考查规律问题，找准不变化的量和变化的量是解题关键．
6．如果四个互不相同的正整数满足，则的最大值为（　　）
A．40 B．53 C．60 D．70
【答案】B
【分析】由题意确定出的值，代入原式计算即可求出值．
【详解】∵四个互不相同的正整数，满足，
∴要求的最大值，即m最大，4-m最小，则有：，，，，
解得：，
则．
故选：B．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7．现在有三个仓库、、，分别存有吨、吨、吨某原材料；要将这种原材料运往三个加工厂、、，每个加工厂都需要吨原材料．从每个仓库运送吨材料到每个加工厂的成本如下表所示（单位：元吨）：




（）



（）



（）



现在要让每个仓库清仓、每个加工厂都得到足够的材料，
（1）如果从运吨到、运吨到，从运吨到，那么从需要运 吨到；
（2）考虑各种方案，运费最低为 元．
【答案】
【分析】（1）根据题意，结合表格，根据有理数的运算法则进行计算即可求解；
（2）根据表格数据，寻求最优解即可求解．
【详解】解：（1）如果从运吨到、运吨到，从运吨到，那么从需要运吨到，
故答案为：；
（2）解：运费如下：




（）



（）



（）



运输方案一：




（）

7

（）
10

2
（）

3
8
运费为：
运输方案二：




（）
7


（）

2
10
（）
3
8

运费为：
运输方案三：




（）
7


（）
3
0
9
（）
0
10
1
运费为：
故答案为：40．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，找到最优解是解题的关键．
8．已知：，且，则共有个不同的值，若在这些不同的值中，最大的值为，则 ．
【答案】3
【分析】根据绝对值的性质进行化简即可
【详解】，，
，，，
，，三个数中有两负一正，
当，为负，为正数时，





当，为负，为正数时，



当，为负，为正数时，





共有个不同的值，若在这些不同的值中，最大的值为，
，，
，
故答案为：3
【点睛】本题主要考查了绝对值，掌握绝对值的性质是解题的关键
9．怎样简便怎样算
(1)；
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)0
(2)
(3)1
(4)
【分析】（1）根据将原式变形为即可得到答案；
（2）将原式先加上，再减去，根据有理数加减计算法则求解即可；
（3）根据，利用乘法的分配律将分子变形为，由此即可得到答案；
（3）根据先将括号内的式子变形为，再由进行求解即可．
【详解】（1）解：

；
（2）解：







；
（3）解：



；
（4）解：





．
【点睛】本题主要考查了有理数的简便计算，熟知有理数的相关计算法则和运算律是解题的关键．
10．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律，例如；数轴上点、点表示的数分别为、，则、两点之间的距离，线段的中点表示的数为．如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为3．

(1)直接写出：线段的长度是 ，线段的中点表示的数为______；
(2)表示数轴上任意一个有理数，利用数轴探究下列问题，
直接回答：，则 ：有最小值是______；
(3)点S在数轴上对应的数为，且是方程的解，动点在数轴上运动，若存在某个位置，使得，则称点是关于点、、S的“幸运点”，请问在数轴上是否存在“幸运点”？若存在，则求出所有“幸运点”对应的数；若不存在，则说明理由。
【答案】(1)4；1
(2)或4；4
(3)存在；或2

【分析】（1）数轴上点表示的数为，点表示的数为3，根据数轴上两点的距离公式及线段的中点公式直接求出线段的长度为4，线段中点表示的数为1；
（2）按或或化简绝对值，得出关于x的方程，解方程即可；按或或分类讨论，求出在每种情况下的值或取值范围，再进行比较，得出结果；
（3）先解出x的值，根据点S表示的数为6，再按或或分类讨论，根据列方程求出m的值并进行检验，得出符合条件的结果．
【详解】（1）解：∵数轴上点表示的数为，点表示的数为3，
∴，，
∴线段的长度为4，线段中点表示的数为1；
故答案为：4；1．
（2）解：当时，，
解得：；
当时，，
∴当时，不存在x的值使；
当时，，
解得：；
∴时，或；
当时，，
当时，，
当时，，
∴的最小值为4；
故答案为：或4；4．
（3）解：存在，设“幸运点”P对应的数是m，
解，
∴，
解得：，
∴点S表示的数为6，
当时，由得：
，
解得：；
当时，由得：
，
解得：；
当时，由得：
或，
解得：（不符合题意，舍去）或（不符合题意，舍去），
综上所述：“幸运点”P对应的数是或2．
【点睛】此题主要考查了数轴上的动点问题和一元一次方程及其应用，读懂题意，掌握分类讨论的思想是解答本题的关键．
11．已知为数轴上三点，当点到点的距离是点到点的距离3倍时，则称点是的三倍点，不是的三倍点．若数轴上点在原点的左边，且到原点的距离为1，点在原点的右边，且到点的距离为4．
(1)直接写出两点表示的数；
(2)若点是的三倍点，求点表示的数；
(3)若点在点的左边，是否存在使得中恰有一个点为其余两点的三倍点的情况？若存在，请求出点表示的数；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)点表示的数为，点表示的数为3
(2)点表示的数为2或5
(3)存在，或或或
【分析】（1）根据数轴上点在原点的左边，且到原点的距离为1可得出点表示的数，根据点在原点的右边，且到点的距离为4可得出点表示的数；
（2）设点表示的数为，根据题意可得，求解即可得到答案；
（3）分四种情况：若点是的三倍点；若点是的三倍点；若点是的三倍点；若点是的三倍点；⑤若是的三倍点，分别求解即可得到答案．
【详解】（1）解：数轴上点在原点的左边，且到原点的距离为1，
点表示的数为，
点在原点的右边，且到点的距离为4，
点表示的数为3；
（2）解：设点表示的数为，
由题意可得，
，
解得或，
点表示的数为2或5；
（3）解：存在．
假设存在点为，满足题意，
若点是的三倍点，
由题意可得，，
解得：，
点为；
若点是的三倍点，
由题意可得，，
解得：，
点为；
若点是的三倍点，
由题意可得，，
解得，
点为；
若点是的三倍点，
由题意可得，，
解得，
点在点的左边，即，
因为，
所以不符合题意；
⑤若是的三倍点，
由题意可得，，
解得，
故点表示的数为或或或时使得中恰有一个点为其余两点的三倍点的情况．
【点睛】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，正确理解“三倍点”的定义，采用分类讨论的思想解题，是解题的关键．
12．已知在数轴上，一动点从原点出发，沿着数轴以每秒个单位长度的速度来回移动，第次移动是向右移动个单位长度，第次移动是向左移动个单位长度，第次移动是向右移动个单位长度，第次移动是向左移动个单位长度，第次移动是向右移动个单位长度，…….
(1)求出秒钟后动点所在的位置；
(2)第次移动后，点在表示数______的位置上，运动时间为______；
(3)第次移动后，点运动时间为______，当为奇数时，点在表示数______的位置上；当为偶数时，点在表示数______的位置上；
(4)如果在数轴上有一个定点，且与原点相距个单位长度，问：动点从原点出发，可能与重合，若能，则第一次与点重合需要多长时间？若不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，
(3)，，
(4)1140秒或1164秒
【分析】（1）先根据路程=速度×时间求出2.5秒钟走过的路程，然后根据左减右加列式计算即可得解；
（2）根据左减右加列式计算即可得解，根据路程=速度×时间求出路程，进而求得时间；
（3）根据（1）（2）的规律，表示出运动的路程，进而分奇数与偶数分类讨论，即可求解；
（4）分点A在原点左边与右边两种情况分别求出动点走过的路程，然后根据时间=路程÷速度计算即可得解．
【详解】（1）解：，
点走过的路程是，
处于：；
（2）解：Q处于：；
∴点Q走过的路程是
秒，
故答案为：，．
（3）解：第次移动后，点运动时间为，
设，当为奇数时，
∴点在表示数为的位置上；
当为偶数时，点在表示数的位置
故答案为：，，．
（4）解：①当点A在原点右边时，设需要第n次到达点A，则
，
解得，
动点走过的路程是



，
时间秒；
②当点原点左边时，设需要第次到达点，则，
解得，
动点走过的路程是



，
时间秒．
【点睛】本题考查了数轴的知识，弄清题中的移动规律是解本题的关键．分情况讨论求解，弄清楚跳到点处的次数的计算方法是关键．
13．阅读理解：对于有理数a、b，的几何意义为：数轴上表示数a的点到原点的距离；的几何意义为：数轴上表示数a的点与表示数b的点之间的距离．如：的几何意义即数轴表示数x的点与表示数2的点之间的距离，请根据你的理解解答下列问题：
(1)的几何意义：_____________；若，那么x的值是_________．
(2)的几何意义：________________；的最小值是______________
(3)的最小值是多少？
【答案】(1)数轴上表示x的点与表示的点之间的距离，或
(2)数轴上表示x的点与表示的点之间的距离与数轴上表示的点与表示的点之间的距离之和，
(3)
【分析】（1）根据绝对值的几何意义即可求解；
（2）根据绝对值的几何意义即可求解；
（3）根据绝对值的几何意义即可求解．
【详解】（1）的几何意义：数轴上表示x的点与表示的点之间的距离，
若，即或，解得或，则x的值是或，
故答案为：数轴上表示x的点与表示的点之间的距离，或
（2）的几何意义：数轴上表示x的点与表示的点之间的距离与数轴上表示的点与表示的点之间的距离之和，
当时，的最小值是为
故答案为：数轴上表示x的点与表示的点之间的距离与数轴上表示的点与表示的点之间的距离之和，
（3）解：∵表示到的点的距离的和，
∴当时，最小，
最小值为
．
【点睛】本题考查了绝对值的几何意义，有理数的混合运算，绝对值方程，掌握绝对值的几何意义是解题的关键．
14．对于有理数，，，，若，则称和关于的“美好关联数”为，例如，则，则2和3关于1的“美好关联数”为3．
(1)和5关于2的“美好关联数”为______；
(2)若和2关于3的“美好关联数”为4，求的值；
(3)若和关于1的“美好关联数”为1，和关于2的“美好关联数”为1，和关于3的“美好关联数”为1，…，和的“美好关联数”为1，…．
①的最小值为______；
②的值为______．
【答案】(1)8
(2)或；
(3)①1；②840
【分析】（1）认真读懂题意，利用新定义计算即可；
（2）利用新定义计算求未知数x；
（3）①读懂题意寻找规律，利用规律计算；
②由①得到的规律写出含有绝对值的等式，一一分析到2、4、6、8、．．．40的距离和为1的时候两点表示的数的和的最小值，最后得出最小值．
【详解】（1）解：，
故答案为：8；
（2）解：∵x和2关于3的“美好关联数”为4，
∴，
∴，
解得或；
（3）解：①∵和关于1的“美好关联数”为1，
∴，
∴在数轴上可以看作数到1的距离与数到1的距离和为1，
∴只有当时，
有最小值1，
故答案为：1；
②由题意可知：
，的最小值；
，的最小值；
，的最小值；
，的最小值；

，的最小值；
∴的最小值：
．
故答案为：840．
【点睛】本题考查了绝对值的应用，解题的关键是掌握绝对值的意义，数轴上点与点的距离．
15．数轴上点A表示，点B表示6，点C表示12，点D表示18．如图，将数轴在原点O和点B、C处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离．例如，点A和点D在折线数轴上的和谐距离为个单位长度．动点M从点A出发，以4个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点C期间速度变为原来的一半，过点C后继续以原来的速度向终点D运动；点M从点A出发的同时，点N从点D出发，一直以3个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点A运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为t秒．

(1)当秒时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为__________；
(2)当点M、N都运动到折线段上时，O、M两点间的和谐距离__________（用含有t的代数式表示）；C、N两点间的和谐距离__________（用含有t的代数式表示）；__________时，M、N两点相遇；
(3)当__________时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度；当__________时，M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等．
【答案】(1)12
(2)，，
(3)或；8或
【分析】（1）当秒时，M表示的数是，N表示的数是，即的M、N两点在折线数轴上的和谐距离为；
（2）当点M、N都运动到折线段上，即时，M表示的数是，N表示的数是，而M、N两点相遇时，M、N表示的数相同，即得，可解得答案；
（3）根据M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度，得，可解得或，由时，M运动到O，同时N运动到C，可知时，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等，当，即M在从点O运动到点C时，有，可解得或，当时，M在从C运动到D，速度变为4个单位/秒，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等，即可得答案．
【详解】（1）当秒时，M表示的数是，N表示的数是，
∴M、N两点在折线数轴上的和谐距离为，
故答案为：12；
（2）由（1）知，2秒时M运动到O，N运动到C，
∴当点M、N都运动到折线段上，即时，M表示的数是，N表示的数是，
∴O、M两点间的和谐距离，C、N两点间的和谐距离，
∵M、N两点相遇时，M、N表示的数相同，
∴，
解得，
故答案为：，，；
（3）∵M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度，
∴，即，
∴或，
解得或，
由（1）知，时，M运动到O，同时N运动到C，
∴时，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等，
当，即M在从点O运动到点C时，
，即，
∴或，
解得或，
当时，M在从C运动到D，速度变为4个单位/秒，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等，
故答案为：或；8或．
【点睛】本题考查一次方程的应用，解题的关键是用含t的代数式表示点运动后表示的数及分类讨论．
16．定义：对于任意的有理数a，b，
(1)探究性质：
①例：_________；_________；_________；________；
②可以再举几个例子试试，你有什么发现吗？请用含a，b的式子表示出的一般规律；
(2)性质应用：
①运用发现的规律求的值；
②将，，，……，7，8这20个连续的整数，任意分为10组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作a，另一个记作b，求出，10组数代入后可求得10个的值，则这10个值的和的最小值是　　．
【答案】(1)①，，，；②见解析，一般规律为
(2)①；②
【分析】（1）①根据定义即可求解；②举例，通过与以上几个比较，可以发现该运算是用来求大小不同的两个有理数的最大值；
（2）①直接利用规律进行求解；②不妨设，则代数式中绝对值符号可直接去掉，代数式等于，由此即可解决问题．
【详解】（1）解：①，
，
，
，
，
故答案为：，，，；
②例如：，
，
通过以上例子发现，该运算是用来求大小不同的两个有理数的最大值，
用a，b的式子表示出一般规律为；
（2）解：①

；
②不妨设，则代数式中绝对值符号可直接去掉，
代数式等于，
为偶数，
最小值，
故答案为：．
【点睛】本题考查了绝对值、有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握新定义，把所给代数式化简，找到新定义的运算规律，利用规律进行求解．
17．已知，求的最大值与最小值．
【答案】的最大值为5,最小值为
【分析】分4种情况讨论：(1),；(2),；(3),；(4),.分别求出每种情况的最大值与最小值，最后再综合起来找出的最大值与最小值即可.
【详解】(1)当,时,有
∴；                       
(2)当,时,有
∴或；
∴或
(3)当,时,有，∴；                         
(4)当,时,有，∴或
∴或
综上,可得:的最大值为5,最小值为.
【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，绝对值中含有未知数时要进行分类讨论，这是解题的关键.
18．阅读：如图，已知数轴上有、、三个点，它们表示的数分别是，，8．到的距离可以用表示，计算方法：表示的数8，表示的数，8大于，用．用式子表示为：．根据阅读完成下列问题：
  
(1)填空：______，______．
(2)若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒4个单位长度和9个单位长度的速度向右运动，试探索：的值是否随着时间的变化而改变？请说明理由．
(3)现有动点、都从点出发，点以每秒1个单位长度的速度向右移动，当点移动6秒时，点才从点出发，并以每秒2个单位长度的速度向右移动．设点移动的时间为秒，写出、两点间的距离（用含的代数式表示）．
【答案】(1)10，16
(2)不会改变，见解析
(3)t或或
【分析】（1）根据数轴上两点间距离公式计算即可；
（2）根据题意求出点A，B，C向右移动后表示的数，然后根据数轴上两点间距离公式出表示，的值，最后再进行计算即可；
（3）分三种情况讨论，点Q在点A处，点P在点Q的右边，点Q在点P的右边．
【详解】（1）解： ，，
（2）解：不变，
因为：经过t秒后，A，B，C三点所对应的数分别是，，，
所以：， ，
所以：，
所以的值不会随着时间t的变化而改变；
（3）解：经过t秒后，P，Q两点所对应的数分别是，，
当点Q追上点P时，，
解得：，
①当时，点Q在还点A处，
所以：，
②当时，点P在点Q的右边，
所以：，
③当时，点Q在点P的右边，
所以：，
综上所述，P、Q两点间的距离为t或或．
【点睛】本题考查了列代数式，数轴，熟练掌握用数轴上两点间距离表示线段长是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．