【期中真题】北京市北京师范大学附属实验中学2022-2023学年高一上学期期中考试数学试题.zip

2022北京北师大实验中学高一（上）期中

数    学

第I卷（共100分）

一、单项选择题（本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题意.每小题5分，共40分）

1. 若集合，，则

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【详解】试题分析：由，解得或，即，又，故选C.

考点：1.解二次不等式；2.集合的运算.

2. 命题“，”的否定为（     ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】C

【解析】

【分析】对题干命题改量词，否结论，即可求得结果.

【详解】根据题意，命题“，”的否定为：“，”.

故选：.

3. 下列命题为真命题的是（    ）

A. 若a>b>0，则ac2>bc2 B. 若a>b，则a2>b2

C. 若a<b<0，则a2<ab<b2 D. 若a<b<0，则

【答案】D

【解析】

【分析】举反例说明ABC不正确，依据不等式的性质可知D正确，从而得出选项.

【详解】对于A，当c=0时，ac2=bc2，所以A不是真命题；

对于B，当a=0，b=-2时，a>b，但a2<b2，所以B不是真命题；

对于C，当a=-4，b=-1时，a<b<0，a2>ab>b2，所以C不是真命题；

对于D，若a<b<0，则，所以D是真命题．

故选:D．

4. 设，则“”是“”的（     ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】解不等式求出不等式的解集，根据为的真子集，得到答案.

【详解】，等价于，解得：，

，解得：，，

因为为的真子集，

所以，但，

故“”是“”的必要不充分条件.

故选：B

5. 已知函数的图像是连续不断的，有如下的对应值表：

则函数在区间上的零点至少有（     ）

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个

【答案】B

【解析】

【分析】由零点存在性定理得到函数零点至少有3个.

【详解】因为函数的图像是连续不断的，

且，由零点存在性定理得：内存在至少1个零点，

因为，故由零点存在性定理得：内存在至少1个零点，

因为，故由零点存在性定理得：内存在至少1个零点，

综上：函数在区间上的零点至少有3个.

故选：B

6. 下列函数中在定义域上既是奇函数又是增函数的为（    ）

A. y＝x＋1 B. y＝－x2 C. y＝x3 D.

【答案】C

【解析】

【分析】依据奇偶性和单调性依次判断每个选项即可.

【详解】y＝x＋1是非奇非偶函数，

y＝－x2是偶函数，

y＝x3由幂函数的性质，是定义在R上的奇函数，且为单调递增，

在在定义域为，不是定义域上的单调增函数，

故选：C

【点睛】此题考查函数奇偶性单调性的判断，要求对奇偶性和单调性的判断方式熟练掌握，是简单题目.

7. 函数，若，则实数a的值为（    ）

A. ±1 B. -2或±1 C. -1 D. -2或-1

【答案】C

【解析】

【分析】根据分段函数解析式，分段求解，即可得答案.

【详解】当时，令 ，与矛盾，不合题意；

当时，令 ，取 ，符合题意，

故选：C

8. 已知函数.关于的性质，有以下四个推断：

①的定义域是；

②是奇函数；

③在区间上单调递增；

④的值域是.

其中推断正确的个数是（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】D

【解析】

【分析】对于①因为，所以函数的定义域为，即①正确；根据函数奇偶性定义得到函数为奇函数，故②正确；根据函数单调性的证明方法得到函数为增函数，所以③正确；当时，，再由函数为奇函数得到函数的整体值域为，，故④正确.

【详解】①因为，所以函数的定义域为，即①正确；

②，所以是奇函数，即②正确；

③任取，，且，

则，

因为，，且，所以，，所以，

即在区间上单调递增，所以③正确；

④当时，，

由②知，函数为奇函数，所以当时，，

而当时，，所以的值域是，，即④正确．

故选：D．

二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分）

9. 函数定义域为__________．

【答案】

【解析】

【分析】根据题意列出简单不等式，求解即可.

【详解】要使得函数有意义，则，且，

解得：且，即的定义域为：.

故答案为：.

10. 已知函数为R上的奇函数，且当时，，则____.

【答案】

【解析】

【分析】利用奇函数的定义即可求解.

【详解】当时，，故.

∵为奇函数，∴.

故答案为: .

11. 欲用一段长为米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长米，则这个菜园的最大面积为_______平方米.

【答案】

【解析】

【分析】设矩形菜园与墙壁所在直线平行的边的长为米，则另外一边的长为米，求出的取值范围，利用二次函数的基本性质可求得矩形菜园面积的最大值.

【详解】设矩形菜园与墙壁所在直线平行的边的长为米，则矩形菜园另外一边的长为米，则，

矩形菜园的面积为，

当且仅当时，等号成立，

故矩形菜园面积的最大值为平方米.

故答案为：.

12. 已知关于的方程有一个正根和一个负根，则实数的取值范围为_______．

【答案】

【解析】

【分析】利用二次方程根分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.

【详解】设方程关于的方程的两根分别为、，

则，解得.

故答案为：.

13. 已知偶函数，写出一组使得恒成立的实数、的取值：_______，_______．

【答案】    ①.     ②. （只需满足即可）

【解析】

【分析】利用偶函数的定义可求得的值，利用可得出的取值范围，即可得解.

【详解】因为函数为偶函数，则，可得，则，

，所以，.

故答案为：；（只需满足即可）.

14. 函数的定义域为，其图象如图所示.函数是定义域为R的偶函数，满足，且当时，.给出下列三个结论：

①；

②不等式的解集为R；

③函数的单调递增区间为，.

其中所有正确结论的序号是______.

【答案】①③

【解析】

【分析】

由可知是周期为2的周期函数，又当时，，由此作出函数图像，利用数形结合思想依次判断；

【详解】满足，可知函数是周期为2的周期函数，

又函数是R上的偶函数，且当时，，作出图像如图所示，

由图可知，故①正确；不等式的解集为，故②错误；函数的单调递增区间为，，故③正确；

故答案为：①③

【点睛】关键点点睛：本题考查抽象函数的周期性，奇偶性，抽象函数在高考中常考到，在做题时，利用函数的性质作出函数的图像是解题的关键，考查学生的逻辑推理与数形结合思想，属于一般题.

三、解答题（本题共3小题，每小题10分，共30分）

15. 设集合，．

（1）求和；

（2）若，满足，求实数的取值范围．

【答案】（1），；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）解不等式求出，，进而求出和；

（2）根据得到，求出，从而比较端点值，列出不等式，求出实数的取值范围.

【小问1详解】

解得：，

∴

∵，解得：，

∴，

则，；

【小问2详解】

由，可知

∵，

则，

所以，

故的取值范围为．

16. 设函数

（1）求函数的图像与直线交点的坐标：

（2）当时，求函数最小值

（3）用单调性定义证明：函数在上单调递增.

【答案】(1) 或   (2)  7     (3)证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）由解出方程可得答案.
（2）利用均值不等式可得答案.

(3)由定义法证明函数单调性的步骤即可证明.

【详解】（1）由，即，解得或

所以函数的图像与直线交点的坐标为或

（2）当时，

当且仅当,即时，取得等号.

所以当时，函数的最小值为7.

(3) 任取，且

则

由，且，则，

所以，则

所以，即

所以函数在上单调递增

【点睛】思路点睛：本题考查利用函数的奇偶性求参数，证明函数的单调性和利用单调性解不等式.证明函数的单调性的基本步骤为：

(1)在给定的区间内任取变量，且设.

(2)作差变形，注意变形要彻底，变形的手段通常有通分、因式分解、配方、有理化等.

(3)判断符号，得出大小.

(4)得出结论.

17. 已知二次函数满足.

（1）求b，c的值；

（2）若函数是奇函数，当时，，

（ⅰ）直接写出的单调递减区间为                ；

（ⅱ）若，求a的取值范围.

【答案】（1）；；（2）或

【解析】

【详解】试题分析：（1）代值计算即可，
（2）先根据函数的奇偶性求出的解析式，（i）根据函数的解析式和二次函数的性质即可求出函数的单调减区间，
（ii）根据函数单调性性质可得 或解得即可.

试题解析：

二次函数满足，

解得：；. 

（2）（ⅰ）

.

（ⅱ）由（1）知，则当时，；

当时，，则

因为是奇函数，所以.  若，则

或   解得或.

综上，a的取值范围为或.

第Ⅱ卷（共50分）

四、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

18. 若是偶函数，且在单调递减，比较，，的大小关系．（用“>”或“<”连接）

【答案】

【解析】

【分析】根据函数奇偶性得到，由函数单调性求出，从而得到.

【详解】因为是偶函数，

所以，

因为在单调递减，

所以，

故.

19. 函数的值域为，且在定义域内单调递减，则符合要求的函数可以为_____．（写出符合条件的一个函数即可）

【答案】

【解析】

【分析】

由函数的值域为,且在定义域内单调递减,即是符合要求的一个函数．

【详解】解：∵函数的值域为,且在定义域内单调递减,

∴函数即是符合要求的一个函数,

故答案：

【点睛】本题主要考查了指数函数的单调性和值域,是基础题．

20. 某购物网站在年月开展“买三免一”活动，规则是“购买件商品，最便宜的一件商品免费”，比如如下结算案例：包的价格为元，衣服的价格为元，鞋的价格为元，用户应支付元，减免价格最低商品价格元，实际支付元，实际折扣约折，立省元.

（1）如果在此网站上购买的三件商品价格分别为元、元、元，按照“买三免一”的规则购买这三件商品的实际折扣为是________折；

（2）在这个网站上购买件商品，按照“买三免一”的规则，这件商品实际折扣力度最大约为________折（保留一位小数）.

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】（1）按照“买三免一”的规则可计算可得出购买这三件商品的实际折扣；

（2）设在这个网站上购买件商品，这件商品的价格从高到低依次为元、元、元，即，利用不等式的基本性质可求得结果.

【详解】解：（1）因为，

按照“买三免一”的规则购买这三件商品的实际折扣为是折；

（2）设在这个网站上购买件商品，这件商品的价格从高到低依次为元、元、元，即，

所以，这件商品实际折扣为，且，

当且仅当时，等号成立，故这件商品实际折扣力度最大约为折.

故答案为：（1）；（2）.

21. 已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，正实数的取值范围是________．

【答案】

【解析】

【分析】令，分、两种情况讨论，利用二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，综合可解得实数的取值范围.

【详解】令，其中.

因为，二次函数图象的对称轴为直线，且，

①当时，即当时，

因为，

因为，则，解得或，此时；

②当时，即当时，函数在上单调递减，

所以，，解得，此时.

综上所述，实数的取值范围是.

故答案为：.

五、解答题（本大题共3小题，共30分）

22. 已知，且．

（1）求的最小值；

（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）根据条件“，且”，直接应用基本不等式得到，从而求得结果；

（2）将恒成立问题转化为最值处理，利用基本不等式求得，从而得到不等式，求解得答案.

【详解】（1），且，

，

当且仅当时，取等号，故的最小值为．

（2），且，

，当且仅当，且，即，时，取等号，

即的最小值为，

，即，解得，

即实数的取值范围是．

【点睛】该题考查的是有关不等式的问题，涉及到的知识点有利用基本不等式求和的最小值，将恒成立问题向最值转化，一元二次不等式的解法，属于简单题目.

23. 设函数.

（1）求函数在区间上的最大值和最小值；

（2）设函数在区间上的最大值为，试求的表达式．

【答案】（1）最大值为，最小值为   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用二次函数的基本性质可求得函数在区间上的最大值和最小值；

（2）对实数的取值进行分类讨论，分析函数的单调性，可求得的表达式.

【小问1详解】

解：当时，，

所以，函数在上单调递增，在上单调递减，

所以，，又因为，，则，

因此，函数在区间上的最大值为，最小值为.

【小问2详解】

解：当时，，且函数在上连续.

①当时，即当时，在上单调递增，在上单调递减，

所以，；

②当时，即当时，

函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，

因为，，

且，

此时，；

③当时，即当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

因为，，此时，.

综上所述，.

【点睛】方法点睛：本题考查二次函数“动轴定区间”型最值的方法，解法如下：

（1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；

（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析；

（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果.

24. 已知集合.对于，定义：与的差为；与之间的距离为.

（1）当时，设，求；

（2）若对于任意的，有，求的值并证明：.

【答案】（1）；；（2）；证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）直接代入计算和；（2）根据，都有或，可计算得；然后表示出，分别讨论与两种情况.

【详解】（1）；

；

（2）证明：因为，

，所以对于任意的，即对，都有或，所以得.设

则，当时，；

当时，.

所以

【点睛】解答该题的关键是需要注意理解并表示出，然后代入化简判断与两种情况.