【期中真题】广西壮族自治区北海市2022-2023学年高一上学期期中数学试题.zip

广西壮族自治区北海市2022-2023学年高一上学期期中数学试卷

一、单选题（每题5分，共40分）

1. 已知全集，集合，集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据已知条件，结合集合的运算，求解即可.

【详解】由题可得：，，故．

故选：.

2. 不等式的解集为（    ）

A.  B. 或 C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】直接解二次不等式即可.

【详解】，

即，

所以原式的解集为

故选：D.

3. 命题“”的否定是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】直接根据特称命题的否定是全称命题得答案.

【详解】命题“”的否定是．

故选：C.

4. 函数，的定义域为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据零次幂的底不为零，分母不为零，被开放数大于等于零列不等式计算即可.

详解】由已知得，解得且，

所以得定义域为，

故选:A．

5. 已知正实数a，b满足，则的最小值是（    ）

A.  B. 4 C. 1 D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据给定的条件，利用“1”的妙用求解作答.

【详解】因正实数a，b满足，则

，当且仅当时取等号，

所以的最小值是．

故选：A

6. 已知，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】根据即可判断.

【详解】；反之，若，则，

所以，“”是“”的必要不充分条件．

故选:B．

7. 已知函数，且，则（    ）

A.  B. 2 C. 3 D. 8

【答案】D

【解析】

【分析】令，可证明是奇函数，再利用奇函数的性质计算即可.

详解】由，令，

则，，

故是奇函数，

所以，

所以．

故选:D．

8. 已知定义域为R的奇函数在上单调递减，且，则满足的x的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由函数的奇偶性，及单调性，结合，可得分别使，的区间，解得不等式的解集.

【详解】因为是定义在上的奇函数，在单调递减，且，

所以，且在上单调递减，

所以时，；

时，.

由，得或，解得，或，

故选：A．

二、多选题（每题5分，共20分）

9. 下列哪些函数在定义域内是增函数？（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用常见的几个幂函数,指数函数图像如，以及较为熟悉的二次函数，反比例函数图像，加上增函数+增函数为增函数的原则即可判断.

【详解】对于A，根据常见的幂函数图像可知其为增函数，故A正确，

对于B．，对称轴是，

因此时，非增函数；故B错误；

对于C，设，其中，根据常见的幂函数图像和反比例函数图像可知在时均为增函数，根据增函数+增函数为增函数的原则可知为增函数，故C正确；

对于D，设，，由指数函数和常见幂函数图像得和为增函数，根据增函数+增函数为增函数的原则可知为增函数，故D正确.

故选：ACD.

10. 下列命题正确的有（    ）

A. 若a，b，c均为正数，且，则有

B. 设，则为偶函数．

C. 若，则的最小值是2．

D. 设函数定义域为，有，则的最小值一定为M．

【答案】ABC

【解析】

【分析】作差比较大小判断A；利用函数奇偶性定义判断B；利用均值不等式计算判断C；利用函数最小值定义判断D作答.

【详解】对于A，a，b，c均为正数，且，则，正确；

对于B，定义域为R，，为偶函数，B正确；

对于C，，则，当且仅当时取等号，C正确；

对于D，因，不能确保存在，使得，如函数，

对于，不等式恒成立，显然不存在实数，使得，函数无最小值，D不正确.

故选：ABC

11. 已知，下列关于的说法正确的有（    ）．

A. 为奇函数 B. 的值域为

C. 的解集为 D. 在区间上的值域为

【答案】AD

【解析】

【分析】根据对勾函数的函数性质结合选项条件即可作出判断.

【详解】对于A选项，因为，所以是奇函数，则A对；

对于B选项，当时，根据基本不等式可知，当且仅当，即时等号成立，因为是奇函数，所以当时，故的值域为，则B不对；

对于C选项，等价于等价于，则或，则C不对；

对于D选项，由B可知当时在处取最大值，，即最小值在区间端点处，，在区间上的值域为，故 D正确．

故选:AD

12. 已知，则下列不等式恒成立的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用基本不等式转化变形证明即可.

【详解】对于A，由，利用基本不等式，可得，

解得，又（当且仅当时，等号成立），

而，

所以，所以，故A正确；

对于B，由，利用基本不等式，化简得

,即（当且仅当时，等号成立），解得，

即，故B错误；

对于C，，又，即，

由B选项知，所以，故C正确；

对于D，配方得，则，

可解得，又因题设中，所以，故D正确，

故选:ACD.

三、填空题（每题5分，共20分）

13. 已知，则a的所有可能取值为___________．

【答案】3或##-2或3

【解析】

【分析】根据元素与集合的关系分类讨论即可求解.

【详解】分类讨论

①当，，集合为，满足集合的元素具有互异性；

②，可解得；当时，与已有元素2重复，不满足互异性；

当时，集合为，满足集合的元素具有互异性．

综上，或．

故答案为: 3或．

14. 已知，则___________．

【答案】32

【解析】

【分析】根据函数解析式，代入数值求解即可.

【详解】根据题意；．

故答案为：.

15. 已知函数，则的值域为___________．

【答案】．

【解析】

【分析】首先化简，再用基本不等式可得出的最小值，代入端点可得出最大值，从而得到值域.

【详解】，

即；

，；

当且仅当，即时，取最小值2；

又最大值应在两个区间端点的某一处取到，

；；．

所以．所以值域为．

故答案为:

16. 已知函数的定义域是，则的定义域为___________．

【答案】

【解析】

【分析】先求出，即为的定义域，再将代入即可求的定义域.

【详解】．函数的定义域为是，

即，则；

对于，有，

则．

故答案：

四、解答题（请写出必要的解答过程）

17. 设集合

（1）若，求；

（2）若，求a的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）直接根据并集的定义求解即可；

（2）根据条件得MN之间的包含关系，列不等式求解即可.

【小问1详解】

若，则，又

【小问2详解】

则，

故

18 （1）化简

（2）已知，且，求的值．

【答案】（1） ；（2） ．

【解析】

【分析】(1)根据根式与分数指数幂的运算法则即可求解;(2) 根据根式与分数指数幂的运算法则即可求解.

【详解】（1）原式

（2），

则

19. 已知幂函数的图像过点．

（1）求的解析式，并用定义证明其在定义域内的单调性；

（2）解关于t的不等式．

【答案】（1）；证明见解析   

（2）或

【解析】

【分析】（1）设，代入点可得其解析式，再任取，通过计算的正负来证明的单调性；

（2）先证明是奇函数，再利用奇偶性将不等式进行转化，然后利用单调性去掉，解一元二次不等式即可.

【小问1详解】

设，将点代入解析式得，解得，

任取，

，又

，即

的上为增函数

【小问2详解】

，

是奇函数，

所以不等式等价于，

又因为在上为增函数，

所以，即，解得：或，

所以该不等式的解集为或

20. 已知函数为偶函数.

（1）求实数m的值；

（2）若对任意的，总存在，使得成立，求n的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据函数奇偶性即可求得值；

（2）先由基本不等式求得的最小值，再通过变形得到成立，即即可.

【小问1详解】

因为（）为偶函数，

所以有，取，即，

所以有，解得：.经检验成立

【小问2详解】

由（1）知，，

将变形为，

因为，，所以，

当且仅当，即时，有最小值2.

所以存在，使得成立，

即存在，使得成立，

亦即存在，使得成立，

因为，当且仅当时取等号，

所以有，所以n的取值范围是.

21. 随着城市城镇化不断推进，城市居民人口持续增加．根据第七次全国人口普查数据，预计2022年末南宁市人口总量将突破900万大关，这使得南宁市交通拥堵问题日益严重．为测试一路段在晚高峰时段的车辆通行能力，某课外兴趣小组研究了该路段内的车流速度v（单位：千米/小时）和车流密度x（单位：辆/千米）所满足的关系式：．研究表明：当该路段内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时

（1）若车流速度v不小于40千米/小时，求车流密度x的取值范围；

（2）若该路段内的车流量y（单位时间内通过该路段的车辆数，单位：辆/小时）满足，求该路段内车流量的最大值，并指出当车流量最大时的车流密度．

【答案】（1）；   

（2）隧道内车流量的最大值约为3600辆/小时，此时车流密度约为80辆/千米.

【解析】

【分析】（1）根据已知条件，求得参数；再令即可求得的范围；

（2）根据（1）中所求结合题意求得关于的函数，再求分段函数的最大值即可.

【小问1详解】

由题意知当（辆/千米）时，（千米/小时），

代入，解得，所以．

当时，，符合题意；

当时，令，解得，

所以．

所以，若车流速度v不小于40千米/小时，则车流密度x的取值范围是．

【小问2详解】

由题意得，

当时，为增函数，所以，当时等号成立；

，

当且仅当，即时等号成立．

所以，隧道内车流量的最大值约为3600辆/小时，此时车流密度约为80辆/千米．

22. 若函数在区间上有最大值4和最小值1，设；

（1）求a、b的值；

（2）关于x的方程有且仅有两个不同的实根，求实数k的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】(1)根据二次函数的单调性及最值列出方程组即可求解；

(2)将方程化为，换元转化为一元二次方程，分类讨论方程根的个数即可.

【小问1详解】

，对称轴，在上单调递增，

所以，解得.

【小问2详解】

由(1)知，

所以，

整理得，

令时，是减函数，且时，是增函数且，则，

所以）时，有两个实数解，时，无实数解．

原问题转化为（*）

在上只有1个实根，

，或，

时，方程（*）的解为满足题意

时，方程（*）的解为，满足题意，

，即或时，方程（*）有两个不等的实根，不妨设，

则，

时，即时，方程（*）的解为，满足题意．

即时，满足题意．

综上，实数k的取值范围是．