【期中真题】新疆乌鲁木齐市第一中学2021-2022学年高一上学期期中考试数学试题.zip

乌鲁木齐市第一中学2021-2022学年第一学期

2024届高一年级期中考试数学试卷

满分：150分 考试时间：120分钟

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

一、单选题（每小题5分，共40分）

1. 已知集合则下列选项中错误的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据元素与集合的关系，结合各个选项分别求出m、n的值，即可得出答案.

【详解】解：对于A，因为，

则，所以，又，符合题意，故A符合；

对于B，因为，则，所以，符合题意，故B符合；

对于C，因为，则，所以，又，故C不符题意；

对于D，因为，即，则，所以，故D符合题意.

故选：C.

2. 设全集，集合，则（    ）

A {3，5} B. {2，4}

C. {1，2，3，4，5} D. {2，3，4，5，6}

【答案】D

【解析】

【分析】先求补集，再求并集.

【详解】，则.

故选：D

3. 已知函数，若，则的值为（    ）

A.  B. 或 C. 或 D. 或

【答案】A

【解析】

【分析】分段计算即可

【详解】若，则，得，不合题意

若，则，得或（舍）

故选：A

4. 已知，，，则的最小值为（    ）

A.  B. 12 C.  D. 6

【答案】A

【解析】

【分析】根据基本不等中“1”的用法，即可求出结果.

【详解】因为，，，

所以，

当且仅当，即时，等号成立.

故选：A.

5. 已知关于x的不等式的解集为，则的解集为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据不等式的解集为可求得间的关系,再代入,化简根据分式不等式的方法求解即可.

【详解】因为不等式的解集为,故,且-2,3为的两根.

由根据韦达定理有,.

故即,故.

故选：D

【点睛】本题主要考查了二次不等式解集的区间端点与系数的关系,同时也考查了分式不等式的求解,属于中档题.

6. 已知函数f(x)=-bx+2，若f(2)=5，则f(-2)=（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由得到，进而求出.

【详解】由得：，所以

故选：A

7. 已知命题“存在，使得等式成立”是假命题，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

由已知得等价命题“任意的，使得等式成立”，由此可得出所求的范围.

【详解】由已知得“存在，使得等式成立”，等价于“任意的，使得等式成立”，

又因为，所以，要使，则需或，

故选：A.

8. 已知函数为偶函数，当时，恒成立，设，，，则的大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据时，恒成立，得到在上递减，再由函数为偶函数，得到图象关于对称求解.

【详解】解：因为当时，恒成立，

所以在上递减，

又因为函数为偶函数，

所以，即图象关于对称，

又，且，

所以，即，

故选：A

二、多选题（每小题5分，共20分，部分选对得2分，多选错选不得分）

9. 若：，则成立的一个充分不必要条件是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】CD

【解析】

【分析】先由求出的范围，记其组成的集合为A，要求成立的一个充分不必要条件，就是要求出集合A的真子集即可

【详解】由，得，记为，

所以要求成立的一个充分不必要条件，就是要求出集合A的真子集，

对于A，集合 不是集合A的真子集，所以A不正确，

对于B，集合不是集合A的真子集，所以B不正确，

对于C，集合是集合A的真子集，所以C正确，

对于D，集合是集合A的真子集，所以D正确，

故选：CD

10. 函数是定义在上奇函数，下列命题：

①；

②若在上有最小值，则在上有最大值；

③若在上为增函数，则在上为减函数；

④若时，，则．其中正确的命题是（    ）

A. ① B. ② C. ③ D. ④

【答案】AB

【解析】

【分析】利用奇函数的性质逐项判断可得出结论.

【详解】对于①，若函数是定义在上的奇函数，则，即，①对；

对于②，若在上有最小值，则在上有最大值，②对；

对于③，若在上为增函数，则在上为增函数，③错；

对于④，若时，，则，则，④错.

故选：AB.

11. 若非零实数a，b满足，则下列不等式不一定成立的是（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】AB

【解析】

【分析】给实数a，b 在其取值范围内任取2个值，代入A、B选项进行验证，A、B都不成立，运用作差比较法可判断CD选项.

【详解】对于选项A，当，，，此时不成立；

对于选项B，当，，，此时不成立；

对于选项C，，所以成立；

选项D，

，

因为，所以不可能同时为0，则，

所以，所以成立.

故选：AB.

12. (多选)华为5G通信编码的极化码技术方案基于矩阵的乘法，如：(c1　c2)＝(a1　a2)×，其中c1＝a1b11＋a2b21，c2＝a1b12＋a2b22.已知定义在R上不恒为0的函数f(x)，对任意a，b∈R有：(y1　y2)＝(f(a)　f(b))×且满足f(ab)＝y1＋y2，则（　　 ）

A. f(0)＝0 B. f(－1)＝1

C. f(x)是偶函数 D. f(x)是奇函数

【答案】AD

【解析】

【分析】根据定义得到，再对，分别赋值即可判断结论．

【详解】解：因为，

所以；

且；

；

令可得：，故A成立；

令可得：，

令可得： ，故B不成立，

令可得：，故C不成立，D成立，

故选：AD．

第II卷（非选择题）

三、填空题（每小题5分，共20分，第16题第1空2分，第2空3分）

13. 若函数的定义域为，则函数的定义域是______________．

【答案】

【解析】

【详解】试题分析：依题意得.

考点：抽象函数定义域．

14. 若集合有且仅有两个子集，则实数__________；

【答案】0或2或18

【解析】

【分析】集合有且仅有两个子集，由于空集是任何集合的子集，所以集合是单元素集合，即方程只有一个根或两个相等的实数根，分和两种情况求出实数即可.

【详解】∵集合有且仅有两个子集,

∴集合中有且仅有一个元素, 即方程有一个根或者两个相等的实数根.

当时, 方程仅有一个实数根, 满足题意;

当时, 令, 解得或.

综上, 或或.

故答案为：0或2或18.

15. 若定义在上的偶函数在单调递增,且,则的解集为_______.

【答案】

【解析】

【分析】利用奇偶性得出函数在上的单调性，再分类讨论解不等式．

【详解】因为定义在上的偶函数在单调递增,且,

所以当时,;

当时,,因此不等式的解集为.

故答案为：．

【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，属于基础题．

16. 某项研究表明，在考虑行车安全的情况下，某路段车流量（单位时间内测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度（假设车辆以相同速度行驶，单位：米/秒）平均车长（单位：米）的值有关，其公式为

（1）如果不限定车型，，则最大车流量为_______辆/小时；

（2）如果限定车型，，则最大车流量比（1）中的最大车流量增加______辆/小时.

【答案】    ①. 1900    ②. 100

【解析】

【分析】分别把代入，分子分母同时除以，利用基本不等式求得的最大值即可．

【详解】解：因为

当时

当且仅当即时取等号，

当时，，

，

，

，最大车流量为辆小时．

又，最大车流量比（1）中的最大车流量增加辆小时；

故答案为：；

四、解答题（共70分）

17. 若全集，函数的定义域为，函数的值域为．

（1）求集合、；

（2）求.

【答案】（1）或，   

（2）

【解析】

【分析】（1）解不等式可得集合，利用配方法可求得函数的值域；

（2）利用补集和交集的定义可求得集合.

【小问1详解】

解：对于函数，有，解得或，则或，

，故.

【小问2详解】

解：因为全集，则，或，

因此，.

18. 已知，.

（1）若，求的最大值；

（2）若，求的最小值．

【答案】（1）2；（2）．

【解析】

【分析】（1）由，得，利用基本不等式即可得出答案；

（2），结合基本不等式即可得出答案.

【详解】解：（1）因为，，依题意得，

令，则，即，

又，所以，即，从而，

由及，得，，

故当，时，的最大值为2.

（2）由题意得，，且，

则

，

当且仅当，即时，有最小值．

19. 已知函数，且，．

（1）求函数的解析式；

（2）求证：函数在上为增函数．

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【解析】

分析】（1）根据题意可得，解方程组即可求出结果；

（2）任取且，并因式分解以后判断其正负，结合单调性的概念即可得出结论.

【详解】（1）函数，

由得，①

由得，②

联立①②解得，，

∴函数的解析式为．

（2）证明：任取且，

∴．

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，即函数在上为增函数．

20. 我国所需的高端芯片很大程度依赖于国外进口，“缺芯之痛”关乎产业安全、国家经济安全.如今，我国科技企业正在芯片自主研发之路中不断崛起.根据市场调查某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元.设该公司一年内共生产该款手机万部并全部销售完，每万部的销售收入为万美元，且当该公司一年内共生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万美元.

（1）写出年利润(万美元)关于年产量(万部)的函数解析式：

（2）当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润.

【答案】（1）；（2）32万部，最大值为6104万美元.

【解析】

【分析】

（1）先由生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万美元，解得，然后由，将代入即可.

（2）当时利用二次函数的性质求解；当时，利用基本不等式求解，综上对比得到结论.

【详解】（1）因为生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万美元.

所以，

解得，

当时， ，

当时， .

所以

（2）①当时， ，所以；

②当时， ，由于，

当且仅当，即时，取等号，所以此时的最大值为5760.

综合①②知，当，取得最大值为6104万美元.

【点睛】思路点睛：应用题的基本解题步骤：

（1）根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值；

（2）设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；

（3）解应用题时，要注意变量的实际意义及其取值范围；

（4）在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．

21. 是定义在上的函数，对任意非零实数，满足：，且在上是增函数，

（1）判断函数的奇偶性并请证明；

（2）若，求不等式解集.

【答案】（1）偶函数，证明见解析；（2）．

【解析】

【分析】（1）取，则有，取，则有，即可判断奇偶性；

（2）由得，结合奇偶性与单调性解不等式即可．

【详解】（1）取，则有；

取，则有；

对，取，则有，

又，，为偶函数；

（2），原不等式

为上的增函数且为偶函数，所以必有：，

解得其解集为．

22. 已知函数f（x）＝x2+ax+b（a，b∈R）.

（1）若关于x的不等式f（x）＞0的解集是，求实数a，b的值；

（2）若a＝﹣2，b＝0，函数F（x）＝f（x）﹣kx，x∈[0，2]，不等式|F（x）|＜1恒成立，求实数k的取值范围；

（3）若函数f（x）在区间（1，2）上有两个零点，求f（1）的取值范围.

【答案】（1）a＝，b＝1   

（2）(﹣,0)   

（3）

【解析】

【分析】（1）把问题转化为一元二次方程的问题，利用方程的根建立二次一次方程组，求得a和b的值；

（2）根据题意，求出F（x）的解析式，分析可得|F（x）|＜1等价于﹣1＜x2﹣（2+k）x＜1，分析x＝0与0＜x≤2两种情况讨论，求出k的取值范围，综合可得答案；

（3）方程f（x）＝0在区间（1，2）上有两个不同的实根，应满足，把条件中的b用f（1）和a表示，从而解得f（1）的取值范围.

【小问1详解】

解：因为不等式f（x）＝x2+ax+b＞0的解集是，

所以﹣2，﹣为方程x2+ax+b＝0的两个根，

所以由根与系数的关系可得，

解得a＝，b＝1.

小问2详解】

若a＝﹣2，b＝0，则f（x）＝x2﹣2x，

F（x）＝f（x）﹣kx＝x2﹣（2+k）x，

|F（x）|＜1，即﹣1＜x2﹣（2+k）x＜1，

又由x∈[0，2]，当x＝0时，符合题意；

当0＜x≤2时，原不等式等价于x﹣﹣2＜k＜x+﹣2，

必有（x﹣﹣2）max＜k＜（x+﹣2）min，

设g（x）＝x﹣﹣2，g（x）在（0，2]上单调递增，则g（x）max＝g（2）＝﹣，

设h（x）＝x+﹣2，有h（x）≥2﹣2＝0，当且仅当x＝1时等号成立，即h（x）min＝0，

必有﹣＜k＜0，即k的取值范围为（﹣，0）.

【小问3详解】

若函数f（x）在区间（1，2）上有两个零点，则方程f（x）＝0在区间（1，2）上有两个不同的实根，

所以，所以b＝f（1）﹣1﹣a，

所以，

由f（1）＞﹣a﹣3＞﹣1，由a2﹣4（f（1）﹣a﹣1）＞0得4f（1）＜（a+2）2＜4，得f（1）＜1，

综上所述，﹣1＜f（1）＜1.

所以f（1）的取值范围是（﹣1，1）.