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    长郡中学2022年下学期高一期中考试

    数学

    一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

    1. 已知集合,则   

    A.  B.

    C.  D.

    【答案】C

    【解析】

    【分析】解方程求得集合,由并集定义可得结果.

    【详解】.

    故选:C.

    2. 若非零实数满足,则下列不等式中一定成立的是(   

    A.  B.  C.  D.

    【答案】B

    【解析】

    【分析】根据不等式的性质,再举出反例即可得出答案.

    【详解】解:因为

    所以,即,所以,故B正确;

    时,

    ,故A错误;

    ,故C错误;

    ,故D错误.

    故选:B.

    3. 已知函数的定义域为,则函数的定义域为(    )

    A.  B.  C.  D.

    【答案】B

    【解析】

    【分析】根据函数的定义域求出的范围,结合分母不为0求出函数的定义域即可.

    【详解】由题意得:,解得:

    ,解得:

    故函数的定义域是

    故选:B

    4. 已知,则的大小关系是(   

    A.  B.  C.  D.

    【答案】A

    【解析】

    【分析】根据指数函数的单调性结合中间量“1”即可得解.

    【详解】解:因函数为减函数,

    所以

    又因为

    所以.

    故选:A.

    5. 在直角梯形中,,直线截这个梯形位于此直线左方的图形的面积(如图中阴影部分)为,则函数的图像大致为(   

     

    A.  B.  C.  D.

    【答案】C

    【解析】

    【分析】根据直线的运动位置分析面积的表达式,进而得到分段函数:,然后根据不同段上的函数的性质即可求解.

    【详解】由题意可知:当时,

    时,

    所以

    结合不同段上的函数的性质,可知选项C符合.

    故选:C

    6. ”是“函数是定义在上的增函数”的(   

    A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件

    C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

    【答案】A

    【解析】

    【分析】求得分段函数在上是增函数的充要条件,再从集合的包含关系即可判断和选择.

    【详解】函数是定义在上的增函数的充要条件是:

    ,解得.

    的真子集,

    故“”是“函数是定义在上的增函数”的必要不充分条件.

    故选:.

    7. 是定义在R上的奇函数,当时,,若对一切成立,则实数a的取值范围是(   

    A.  B.  C.  D.

    【答案】B

    【解析】

    【分析】根据奇函数的性质,结合基本不等式进行求解即可.

    【详解】因为是定义在R上的奇函数,

    所以当时,,此时,解得

    时,

    (当且仅当时取等号,即时取等号),

    即当时,,要想若对一切成立,

    只需,综上所述:

    故选:B

    8. 已知函数,用表示中的较大者,记为,若的最小值为,则实数a的值为(   

    A. 0 B.  C.  D.

    【答案】B

    【解析】

    【分析】先画出两个函数的图象,得到的图象,根据最小值为进行数形结合可知,交点处函数值为,计算即得结果.

    【详解】依题意,先作两个函数的草图,

     

    因为,故草图如下:可知在交点A出取得最小值

     

    ,得,故,代入直线,得

    .

    故选:B.

    【点睛】关键点点睛:本题解题关键在于弄明白函数的图象意义,通过数形结合确定在交点处取得最值,计算即可突破.

    二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)

    9. 下列函数中,既是偶函数,又在上单调递增的为(   

    A.  B.  C.  D.

    【答案】AC

    【解析】

    【分析】根据常见函数的奇偶性和单调性可得答案.

    【详解】是偶函数,且在上单调递增

    奇函数,上单调递减

    故选:AC

    10. 下列说法正确的有(   

    A. ”的否定是“

    B. 若命题“”为假命题,则实数的取值范围是

    C. ,则“”的充要条件是“

    D. ”是“”的充分不必要条件

    【答案】ABD

    【解析】

    【分析】根据存在量词命题否定为全称量词命题即可判断A;由命题为假命题可得方程无解,则,即可判断B;根据充分条件和必要条件的定义即可判断CD.

    【详解】解:对于A,因为存在量词命题的否定为全称量词命题,

    所以“”的否定是“”,故A正确;

    对于B,若命题“”为假命题,

    则方程无解,

    所以,解得

    所以实数的取值范围是,故B正确;

    对于C,当时,,则由不能推出

    所以“”的充要条件不是“”,故C错误;

    对于D,若,则

    故由可以推出

    若当时,,则由不可以推出

    所以“”是“”的充分不必要条件,故D正确.

    故选:ABD.

    11. 下列说法正确的是(   

    A. 函数)的图像恒过定点

    B. 若不等式的解集为,则

    C. 函数的最小值为6

    D. 函数的单调增区间为

    【答案】BD

    【解析】

    【分析】选项A,根据指数函数的性质即可判断;

    选项B,根据一元二次不等式的性质即可判断;

    选项C,根据基本不等式的性质,验证等号成立的条件,即可判断;

    选项D,根据复合函数的单调性即可判断.

    【详解】选项A,函数图像恒过定点为,与不符,故A错;

    选项B,不等式的解集为,故必有

    解得,进而得到,故B正确;

    选项C,当且仅当,方程无解,故等号不可成立,故C错误;

    选项D,函数是复合函数,由,以及,三个函数复合而成,故所求函数的单调增区间为函数的单调递减区间,且要求,而函数的单调递减区间为,又因为,故,解得,得,综上,函数的单调增区间为,故D正确

    故选:BD

    12. 定义域和值域均为(常数)的函数图象如图所示,给出下列四个命题,那么,其中正确命题是(   

     

     

    A. 方程有且仅有三个解

    B. 方程有且仅有三个解

    C. 方程有且仅有九个解

    D. 方程有且仅有一个解

    【答案】AD

    【解析】

    【分析】通过利用,结合函数的图象,分析每个选项中外层函数的零点,再分析外层零点对应的直线与内层函数图象的交点个数,即可得出结论.

    【详解】解:对于A中,设,则由,即

    由图象知方程有三个不同的解,设其解为

    由于是减函数,则直线与函数只有1个交点,

    所以方程分别有且仅有一个解,

    所以有三个解,故A正确;

    对于B中,设,则由,即

    由图象可得有且仅有一个解,设其解为b,可知

    则直线与函数只有2个交点,

    所以方程只有两个解,所以方程有两个解,故B错误;

    对于C中,设,若,即

    方程有三个不同的解,设其解为,设

    则由函数图象,可知

    由图可知,直线和直线分别与函数3个交点,

    直线与函数只有1个交点,

    所以共有7个解,

    所以共有七个解,故C错误;

    对于D中,设,若,即

    由图象可得有且仅有一个解,设其解为b,可知

    因为是减函数,则直线与函数只有1个交点,

    所以方程只有1解,所以方程只有一个解,故D正确.

    故选:AD.

    【点睛】思路点睛:对于复合函数的零点个数问题,求解思路如下:

    1)确定内层函数和外层函数

    2)确定外层函数的零点

    3)确定直线与内层函数图象的交点个数分别为,则函数的零点个数为.

    三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)

    13. 已知集合,若,则实数的值为______

    【答案】##

    【解析】

    【分析】根据元素与集合的关系,分类讨论,即可求得结果.

    【详解】,即时,集合,不满足互异性,故舍去;

    ,即(舍)或,此时,集合满足题意.

    综上所述,实数的值为.

    故答案为:.

    14. 若关于的不等式的解集为R,则的取值范围是______.

    【答案】

    【解析】

    【分析】分为考虑,当时,根据题意列出不等式组,求出的取值范围.

    【详解】得:,满足题意;当时,要想保证关于的不等式的解集为R,则要满足:,解得:,综上:的取值范围为

    故答案为:

    15. 已知函数是幂函数,若,则实数的最大值是______

    【答案】6

    【解析】

    【分析】根据幂函数的定义求出参数的值,再根据幂函数的奇偶性和单调性解不等式即可.

    【详解】解:因为函数是幂函数,

    所以,解得

    所以

    因为

    所以函数上的奇函数,

    又函数上递增,且在定义域内连续,

    所以函数上递增,

    不等式,即为不等式

    所以,解得

    所以实数的最大值是6.

    故答案为:6.

    16. 已知函数,若对任意的,都存在唯一的,满足,则实数的取值范围是______

    【答案】

    【解析】

    【分析】由题意可得函数[2,+)时的值域包含于函数在(−∞2)时的值域,利用基本不等式先求出函数x[2,+)时的值域,当x∈(−∞2)时,对a分情况讨论,分别利用函数的单调性求出值域,从而求出a的取值范围.

    【详解】解:设函数的值域为,函数的值域为

    因为对任意的,都存在唯一的,满足

    ,且中若有元素与中元素对应,则只有一个.

    时,

    因为,当且仅当,即时,等号成立,

    所以

    时,

    ①当时,,此时

    ,解得

    ②当时,

    此时上是减函数,取值范围是

    上是增函数,取值范围是

    ,解得

    综合得

    故答案为

    【点睛】关键点点睛:本题即有恒成立问题,又有存在性问题,最后可转化为函数值域之间的包含关系问题,最终转化为最值问题,体现了转化与化归的思想.

    四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

    17. 已知集合

    1时,求

    2,求实数的取值范围.

    【答案】1   

    2

    【解析】

    【分析】1)先求出集合,再根据集合交并补运算求解即可;

    2)由题知,进而解不等式即可得答案.

    【小问1详解】

    时,,又因为

    所以,所以

    【小问2详解】

    因为,集合

    所以解得.所以实数的取值范围为

    18 1)计算:

    2)已知,求的值.

    【答案】11;(265.

    【解析】

    【分析】根据指数运算法则,对(1)(2)进行计算即可.

    【详解】1

    2)因为,所以

    所以

    所以

    19. 已知

    1m0,求x+y的最小值;

    2,求xy的最小值.

    【答案】116    264

    【解析】

    【分析】1)根据题意整理可得,根据基本不等式中“1”的灵活运用运算求解;(2)根据题意整理可得,结合不等式运算求解.

    【小问1详解】

    m0,则,即

    当且仅当,即时等号成立,

    x+y的最小值为16.

    【小问2详解】

    ,则,即

    ,则

    又∵,当且仅当时等号成立,即

    整理得:,解得(舍去),

    xy的最小值为64.

    20. 已知函数

    1,根据函数单调性的定义证明在区间上单调递增;

    2时,解关于x的不等式

    【答案】1证明见详解.   

    2时,;当时,;当时,.

    【解析】

    【分析】1)利用函数单调性的定义、作差法进行证明.

    2)根据已知变形,把问题转化为含参的一元二次不等式,对参数进行分类讨论进行求解.

    【小问1详解】

    因为,所以

    对于任意的,且

    由于,且,所以

    ,所以在区间上单调递增;

    【小问2详解】

    不等式可化简为

    因为,所以上式化简得

    ,解得

    时,即时,得

    时,即时,得

    时,即时,得

    综上,当时,

    时,

    时,.

    21. 某企业为了增加工作岗位和增加员工收入,投入90万元安装了一套新的生产设备,预计使用该设备后前年的支出成本为万元,每年的销售收入95万元.设使用该设备前年的总盈利额为万元.

    1写出关于的函数关系式,并估计该设备从第几年开始盈利;

    2使用若干年后对该设备处理的方案有两种:

    方案一:当总盈利额达到最大值时,该设备以20万元的价格处理;

    方案二:当年平均盈利额达到最大值时,该设备以60万元的价格处理;

    问哪种方案较为合理?并说明理由.

    【答案】1,该设备从第2年开始实现总盈利;   

    2方案二更合适,理由见解析.

    【解析】

    【分析】1)根据题意,直接求得,令,结合的取值范围,即可求得结果;

    2)分别求得两种方案下的总利润,结合使用年限,即可判断.

    【小问1详解】

    由题意可得

    ,又,所以该设备从第2年开始实现总盈利.

    【小问2详解】

    方案二更合理,理由如下:

    方案一:由(1)知,总盈利额

    时,取得最大值160

    此时处理掉设备,则总利润为万元;

    方案二:由(1)可得,

    平均盈利额为

    当且仅当,即时等号成立;

    时,平均盈利额最大,此时

    此时处理掉设备,总利润为万元.

    综上,两种方案获利都是180万元,但方案二仅需要三年即可,故方案二更合适.

    22. 已知为偶函数,为奇函数,且满足.

    1)求

    2)若方程有解,求实数的取值范围;

    3)若,且方程有三个解,求实数的取值范围.

    【答案】1;(2;(3.

    【解析】

    【分析】1)由已知条件可得出的等式组,由此可解得这两个函数的解析式;

    2)令,分析可知函数上有零点,分两种情况讨论,结合二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式,综合可得出实数的取值范围;

    3)作出函数的图象,分析可知方程有两个不等的实根,从而方程有且只有一个根,数形结合可求得实数的取值范围.

    【详解】1)因为为偶函数,为奇函数,由已知可得

    ,所以,,解得

    2)由可得

    ,当且仅当时,等号成立,则

    故有,其中

    ,其中,则函数上有零点,

    ①当时,即当时,则上单调递增,所以,,不合乎题意;

    ②当时,即当时,则有,解得,此时.

    综上所述,实数的取值范围是

    3,作出函数的图象如下图所示:

    可得

    由图可知,方程有两个不等的实根,

    由题意可知,方程有且只有一个根,故,解得.

    因此,实数的取值范围是.

     


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