【期中真题】贵州省遵义市凤冈县2022-2023学年高一上学期期中联考数学试题.zip

2022～2023学年上学期高一年级半期考试试卷

数学

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1. 命题“”的否定是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】“含有一个量词的命题的否定”是要改前面的量词（如果是特称量词就改为全称量词，如是全称量词就改为特称量词），同时也要把结论否定.

【详解】命题“”的否定是要所特称量词就改为全称量词，同时也要把结论否定，故为

故选：C

2. 若全集，集合A满足，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据补集的运算可得答案.

【详解】因为，，

所以，

故选：C

3. 函数的部分图象大致是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】将函数写成分段函数，再根据特殊值判断即可.

【详解】解：因为，且，

，故符合题意的只有A.

故选：A

4. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由解析式有意义列方程求的范围即可.

【详解】因为函数的定义域为，所以由函数有意义可得

且，解得，所以的定义域为．

故选：A.

5. 定义：差集且．现有两个集合、，则阴影部分表示的集合是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】集合中阴影部分元素在但不在中，故可以用表示这些元素构成的集合，同理集合中阴影表示的集合可以用表示，整个阴影部分表示的集合为这两部分的并集.

【详解】集合中阴影部分表示的集合为且

集合中阴影部分元表示的集合为且，

故整个阴影部分表示，

故选：D.

6. 若函数的零点在区间内，则的取值范围为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】因为在上单调递增，由零点的存在性定理知要使在上存在零点，需要满足，求得的取值范围.

【详解】因为在上单调递增，且的图象是连续不断的，

所以，解得．

故选：B

7. 已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（    ）

A. 4 B.  C. 2 D. 1

【答案】C

【解析】

【分析】根据一元二次不等式的解集确定为的两根，求得，可得，利用均值不等式可求得答案.

【详解】由题意关于x的不等式的解集为，其中，

可知 ，且为的两根，且，

即，即 ，

所以，当且仅当时取等号，

故选:C.

8. “”是“函数在R上单调递减”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】先求出在R上单调递减的充要条件，再与比较是否有包含关系.

【详解】时，函数和函数都单调递减，此时函数单调递减.

因为在R上单调递减，所以，解得，

，反之则不成立，

所以“”是“函数在R上单调递减”的充分不必要条件．

故选：A

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】BD

【解析】

【分析】根据作差法可比较，根据正负中间值法可比较,进而根据不等式的性质即可判断.

【详解】因为所以故，

又，所以

故A，C错，B,D正确，

故选：BD

10. 设，，若，则的值可以为（    ）

A. 0 B.  C. 1 D. 4

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据集合的描述，将集合用列举法表示出，根据得，再讨论集合中方程根的情况即可求得.

【详解】解：集合，，

又，所以，

当时，，符合题意，

当时，则，若，所以或，

解得或.

综上所述，或1或.

故选：ABC.

11. 若奇函数和偶函数满足，则（    ）

A.

B. 的值域为

C. 函数在上单调递增

D. 函数的最大值与最小值之和为2

【答案】ABD

【解析】

【分析】令结合奇偶性构造方程，与原方程组成方程组求解解析式，可判断ABC选项是否正确；在选项D中，分析函数取得最值处是互为相反数的两个自变量，根据奇函数特征可求得最大值与最小值之和.

【详解】由①，得，

因为为奇函数，为偶函数，所以②．

①-②得，A正确．

①+②得，因，所以，B正确．

，因为在上单调递增，所以在上单调递减，C错误．

，

令，当时，，

当时，，由基本不等式知时取得最小值，时 取得最大值，

因为为奇函数，其最小值与最大值之和为0，所以的最大值与最小值之和为2，D正确．

故选：ABD

12. 已知，若定义域为R的满足为奇函数，且对任意，，均有．则（    ）

A. 的图象关于点对称

B. 在R上单调递增

C.

D. 关于x的不等式的解集为

【答案】BD

【解析】

【分析】根据为奇函数其图象关于原点对称，可得的图象关于对称可判断A；

对于B，根据函数单调性定义和奇偶性可判断B；根据可得关于对称可判断C；利用转化为求，利用在R上单调递增、可判断D.

【详解】对于A，因为为奇函数，则其图象关于原点对称，将其图象向右平移2个单位可得的图象，所以的图象关于对称，故A错误；

对于B，对任意，，均有，

所以时，，或者时，，

即在上单调递增，因为图象关于对称，所以在上单调递增，因为定义域为R的为奇函数，所以，

所以在R上单调递增，故B正确；

对于C，因为，所以，即关于对称， 所以，故C错误；

对于D，因为，所以关于x的不等式，即求，因为在R上单调递增，，所以只需，故D正确.

故选：BD.

第Ⅱ卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 写出一个在区间上单调递减的偶函数___________.

【答案】(答案不唯一)

【解析】

【分析】根据函数的性质直接写出一个函数.

【详解】由题可知：一个在区间上单调递减的偶函数，可以是

故答案为：(答案不唯一)

14. 已知是奇函数，当时，，则____________．

【答案】

【解析】

【分析】首先求出，再根据奇函数的性质即可得解.

【详解】解：因为当时，，

所以，

又是奇函数，所以，则.

故答案为：

15. 已知集合，则的子集个数为____________．

【答案】8

【解析】

【分析】首先求出，然后可得答案.

【详解】因为，

所以，

所以的子集个数为8．

故答案为：8

16. 已知正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为______．

【答案】##

【解析】

【分析】利用基本不等式可得当且仅当时有最大值，从而得到，利用二次函数的性质可得其最大值.

【详解】由，得，

所以，

其中，当且仅当即时取最小值2，

故，取得最大值，

此时，，

所以，

故当时，有最大值为，

故答案为：.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知集合，．

（1）当时，求，；

（2）若““是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）当时首先表示出集合，解绝对值不等式求出集合，再根据交集、并集、补集的定义计算可得；

（2）依题意可得，即可得到不等式组，解得即可.

【小问1详解】

解：由，即，解得，

所以，

当时，集合，

所以或，

则，．

【小问2详解】

解：若“”是“”的必要不充分条件，则，

所以，解得．

又因为无解，所以的取值范围是．

18. 已知函数的图象经过第一、二、三象限．

（1）求的最小值；

（2）若，证明：．

【答案】（1）6；    （2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）由题意得，再由基本不等式求的最小值.

（2）结合已知条件，由基本不等式证明.

【小问1详解】

由所过象限，有且，则，

所以，

当且仅当，即时，等号成立．

故的最小值为6．

【小问2详解】

证明：因为，

所以，

当且仅当，即时，等号成立．

故．

19. 已知是定义域为R的奇函数，当时，．

（1）求的解析式；

（2）判断在上的单调性，并用定义证明．

【答案】（1）   

（2）在上单调递增，证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据奇偶性即可求解上的解析式，进而可得上的解析式，

（2）根据单调性的定义即可求解.

【小问1详解】

当时，，；

由于为奇函数，所以

当时，．

故

【小问2详解】

在上单调递增．

证明：，且，

则．

由，又，

得，

所以，即．故在上单调递增．

20. 为响应国家“乡村振兴”号召，小李决定返乡创业，承包老家的土地发展生态农业．小李承包的土地需要投入固定成本万元，且后续的其他成本总额（单位：万元）与前年的关系式近似满足．已知小李第一年的其他成本为万元，前两年的其他成本总额为万元，每年的总收入均为万元．

（1）小李承包的土地到第几年开始盈利？

（2）求小李承包土地的年平均利润的最大值．

【答案】（1）第年   

（2）最大为万元

【解析】

【分析】（1）根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，设小李承包的土地到第年的利润为万元，求出函数的解析式，然后解不等式，可得出结论；

（2）设年平均利润为万元，可得出，利用基本不等式求出的最大值及其对应的值，即可得出结论.

【小问1详解】

由题意得，解得，所以．

设小李承包的土地到第年的利润为万元，

则，

由，得，解得．

故小李承包的土地到第年开始盈利．

【小问2详解】

设年平均利润为万元，

则，

当且仅当时，等号成立．

故当小李承包的土地到第年时，年平均利润最大，最大为万元．

21. （1）已知 满足，求x的取值范围；

（2）解关于x的不等式：．

【答案】（1）；（2）答案见解析

【解析】

【分析】（1）根据不等式的性质即可求得答案；

（2）将原不等式整理为，对a分类讨论，结合一元二次方程的两根，比较大小，即可求得答案.

【详解】（1）因为，

所以，

两式相加得，

得，即x的取值范围为．

（2）由，得．

①当时，原不等式可化为，得．

②当时，原不等式可化为，得．

③当时，原不等式可化为，

若，则，得或；

若，则原不等式的解集为R；

若，则，得或．

综上所述，当时，原不等式的解集为，

当时，原不等式的解集为 ；

当时，原不等式的解集为或；

当时，原不等式的解集为R；

当时，原不等式的解集为或．

22. 已知函数对于一切实数x，y，都有成立，且当时，．

（1）求．

（2）求的解析式．

（3）若函数，试问是否存在实数a，使得的最小值为？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）   

（2）   

（3）存在，

【解析】

【分析】（1）令可得答案；

（2）令可得答案；

（3），令，记函数，然后分、、三种情况讨论即可.

【小问1详解】

令，则，

解得或（舍去），所以．

【小问2详解】

令，则，．

所以的解析式为．

【小问3详解】

由，即．

令，记函数，对称轴为．

①当，即时，在上单调递增，

所以，解得，不符合题意，舍去；

②当，即时，在上单调递减，在上单调递增，

所以，解得，不符合题意，舍去；

③当，即时，在上单调递减，

所以，解得，符合题意．

综上，存在，使得的最小值为．