【期中真题】辽宁省实验中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题.zip

辽宁省实验中学2022--2023学年度上学期期中阶段测试

高一数学试卷

一､单项选择题（每题选择一个最符合题意的选项，每题5分，共40分）

1. 已知全集为，集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】求解分式不等式和一元二次不等式，解得集合，再求结果即可.

【详解】因为，即，，且，解得，故；

又，即，解得，故；

，故

故选：C.

2. 已知集合满足，则满足条件的集合的个数为（    ）

A. 8个 B. 4个 C. 2个 D. 1个

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定的条件，确定集合中元素即可求解作答.

【详解】因，则有都是集合中元素，4，6都不在中，5可以在中，

因此集合可以是或，

所以满足条件的集合的个数为2.

故选：C

3. 已知，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据给定的条件，利用表示出，再利用不等式性质求解作答.

【详解】因，而，

则，即，，

所以的取值范围是.

故选：A

4. 已知函数，则函数的定义域是（    ）

A. [-5，4] B. [-2，7] C. [-2，1] D. [1，4]

【答案】D

【解析】

【分析】由函数解析式可得，解不等式可得，再由即可求解.

【详解】由，则，

解得，

所以函数的定义域满足

，解得，

所以函数的定义域为[1，4].

故选：D

5. 已知方程的两根分别是和，且满足，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用根的判别式可得到或，利用一元二次方程根与系数的关系可得到，，代入不等式求解即可

【详解】因为方程的两根分别是和，

所以，解得或，

，，

因为，

所以，解得，

所以实数的取值范围是，

故选：C

6. 已知，则关于命题“，使得”的叙述正确的是（    ）

A. 假命题，它的否定形式是“，使得”

B. 假命题，它的否定形式是“，使得”

C. 真命题，它的否定形式是“，使得”

D. 真命题，它的否定形式是“，使得”

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件，求出函数的最小值，再结合全称量词命题、存在量词命题真假判断命题真假，写出其否定形式作答.

【详解】，，当且仅当时取等号，

当时，，当且仅当时取等号，

显然，，因此时，不存在，使得成立，

所以命题“，使得”是假命题，其否定为“，使得”.

故选：B

7. 若，则下列等式中正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】通过换元法得到，然后代入每个选项进行计算即可

详解】令，则

所以由可得即，

对于A，，故不正确；

对于B，，故正确；

对于C，，故不正确；

对于D，，，

所以，故不正确

故选：B

8. 函数的值域是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定条件，结合二次根式的几何意义转化为x轴上的点到两个定点距离和的最小值求解作答.

【详解】依题意，，

即表示坐标平面内x轴上的点到定点距离的和，而,

如图，

显然线段AB与x轴交于点C，有，当且仅当点P与点C重合时取等号，即，

所以函数的值域是.

故选：C

二､多项选择题（把符合题目的选项全部选出，每题5分，共20分，每题全部选对得5分，部分选对且没有选出错误选项得2分，只要选出一个错误选项得0分）

9. 已知，则下列关系正确的是（    ）

A.  B.

C.  D. 若，则

【答案】AC

【解析】

【分析】根据给定条件，利用不等式的性质判断A，C；举例说明判断B，D作答.

【详解】因，则有，A正确；

因，取，则，B不正确；

，则，即，C正确；

因，取，满足，而，D不正确.

故选：AC

10. 函数被称为狄利克雷函数，则下列结论成立的是（    ）

A. 函数的值域为

B. 函数是偶函数

C. 若，则

D. 若，则

【答案】ABC

【解析】

【分析】对A选项尤其值域仅包含两数字0,1，故其正确，对B选项从偶函数的判定方法出发，根据有理数的相反数还是有理数,无理数的相反数还是无理数即可判定，对选项从即可判断，对D选项举一个反例即可.

【详解】选项A:函数的值域为故A正确;

选项B;有理数的相反数还是有理数,无理数的相反数还是无理数,

当时，，此时

当时，，此时

对任意,都有,故其为偶函数，故B正确;

选项C:若，则，则.判断正确;

选项D:，但，故D错误;

故选：ABC.

11. 下面命题正确的是（    ）

A. “”是“"的必要不充分条件

B. “”是“一元二次方程有一正一负两个实根”的充要条件

C. “”是“”的必要不充分条件

D. 设，则“”是“且”的充分不必要条件

【答案】ABC

【解析】

【分析】利用充分条件，必要条件的定义逐项判断作答.

【详解】对于A，不能推出，而，必有，“”是“"的必要不充分条件，A正确；

对于B，若，一元二次方程判别式，方程有二根，

，即一正一负，反之，一元二次方程有一正一负两个实根，

则，有，所以“”是“一元二次方程有一正一负两个实根”的充要条件，B正确；

对于C，当时，若，有，当时，且，

因此“”是“”的必要不充分条件，C正确；

对于D，，若，取，显然“且”不成立，而且，必有，

设，则“”是“且”的必要不充分条件，D不正确.

故选：ABC

12. 已知函数满足：

（1）对任意，都有；

（2）对任意，都有．

则下列判断正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】BCD

【解析】

【分析】由可得是的单调增函数，通过和可得，即，继而求出其余函数值

【详解】由可得，

所以，所以是的单调增函数，

令，则，

若，则，，故不成立，即，

所以，即，于是，又，

所以，即，故A不正确；

进而可得，故B正确；

，故C正确；

，

设且，所以，

故，所以，故D正确

故选：BCD

【点睛】关键点睛：这道题的关键点是抓住是的单调递增函数，假设并证明矛盾可得，结合可得，即，后面的计算就迎刃而解

三､填空题（将正确答案填写到横线处，每题5分，共20分）

13. 已知，求__________．

【答案】

【解析】

【分析】利用函数的解析式，由内到外逐层计算可得的值.

【详解】由已知可得，故.

故答案为：.

14. 已知实数，且，则的最小值是__________．

【答案】3

【解析】

【分析】根据给定条件，变形已知等式，再利用均值不等式求解作答.

【详解】实数，由得：，即，

所以，当且仅当时取等号，

由，且，解得，

所以当时，取得最小值3.

故答案为：3

15. 设，函数在区间上的最小值为，在区间上的取小值为．若，则的值为__________．

【答案】4或16

【解析】

【分析】利用均值不等式求出函数在上取得最小值的条件，再分段讨论并结合对勾函数的单调性求解作答.

【详解】，，当且仅当，即时取等号，

当时，则，有，而函数在上递减，，

于是得，解得或，则，

当时，则，有，而函数在上递增，，

于是得，解得或，则，

所以的值为4或16.

故答案为：4或16

16. 用表示正数四舍五入到个位的整数，如，则关于正数的方程的实数根的个数为__________．

【答案】2

【解析】

【分析】根据题意，在同一坐标系中画出与的函数图象，数形结合即可求得结果.

【详解】方程的实数根的个数，即与的函数图象的交点个数，

为方便绘图，考虑在的解析式，其为，

在同一个坐标中，两函数的图象如下所示：

数形结合可知，两函数图象有2个交点，故方程的实数根的个数为.

故答案为：.

四､解答题（将解答步骤､文字说明､结论完整的书写在答题处，共70分）

17. 已知，

（1）若时，求；

（2）若，求实数m的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】

【分析】

（1）利用集合的并集定义代入计算即可;

（2）求出集合，利用集合包含关系，分类讨论和两种情况，列出关于m的不等式，求解可得答案.

【详解】（1）当时，，则

即．

（2）或，由，可分以下两种情况：

①当时，，解得：

②当时，利用数轴表示集合，如图

由图可知或，解得；

综上所述，实数m的取值范围是：或，

即

【点睛】易错点睛：本题考查利用集合子集关系确定参数问题，易错点是要注意：是任何集合的子集，所以要分集合和集合两种情况讨论，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题.

18. 关于的方程有两个不相等的实根和．

（1）若都在区间内，求实数的取值范围．

（2）是否存在实数，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由．

【答案】（1）；   

（2）存在，.

【解析】

【分析】（1）根据给定条件，借助二次函数零点分布，列出不等式组并求解作答.

（2）根据给定条件，判断方程根的性质，结合韦达定理计算作答.

【小问1详解】

令，依题意，二次函数在内有两个不同的零点，

则有，解得，

所以实数的取值范围是：.

【小问2详解】

由（1）知，方程有两个不相等的实根和，则，

，，由得：，

有，即，因此，解得，显然，

所以存在实数，使得成立，.

19. 已知函数是定义域上的奇函数.

（1）确定的解析式；

（2）用定义证明：在区间上是减函数；

（3）解不等式.

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

【分析】

（1）利用奇函数的定义，经过化简计算可求得实数，进而可得出函数的解析式；

（2）任取、，且，作差，化简变形后判断的符号，即可证得结论；

（3）利用奇函数的性质将所求不等式变形为，再利用函数的定义域和单调性可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围.

【详解】（1）由于函数是定义域上的奇函数，则，

即，化简得，因此，；

（2）任取、，且，即，

则，

，，，，，，.

，，因此，函数在区间上是减函数；

（3）由（2）可知，函数是定义域为减函数，且为奇函数，

由得，所以，解得.

因此，不等式的解集为.

【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求参数、利用定义法证明函数的单调性以及函数不等式的求解，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.

20. （1）已知，比较并证明与大小．

（2）求方程的解集

【答案】（1），证明见解析；（2）.

【解析】

【分析】（1）作出被比较的两个数的差，结合已知判断差的符号即可作答.

（2）变形给定的分式方程，求解并检验作答.

【详解】（1），则

，

当且仅当时取等号，所以.

（2）方程化为：，

即，于是得，即，

因此或，解得或，经验证或都是原方程的根，

所以方程的解集是.

21. 今年，我国某企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x（千部）手机，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.

（1）求2023年的利润（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式；

（2）2023年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？

【答案】（1）   

（2）2023年产量为100（千部）时，企业所或利润最大，最大利润是8000万元

【解析】

【分析】（1）根据已知条件求得分段函数的解析式.

（2）结合二次函数的性质、基本不等式求得的最大值以及此时的产量.

【小问1详解】

当时，；

当时，；

∴；

【小问2详解】

若，，

当时，万元；

若，，

当且仅当即时，万元.

答：2023年产量为100（千部）时，企业所或利润最大，最大利润是8000万元.

22. 已知，

（1）求的解析式；

（2）已知在上有解，求取值范围．

【答案】（1），；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）根据给定条件，用依次替换x，再消元求解作答.

（2）由（1）结合已知，变形不等式，分离参数构造函数，求出函数在的最大值作答.

【小问1详解】

，，用替换x得：，

则有，

用替换x得：，

于是得，则，

所以的解析式为，.

【小问2详解】

，，即，

于是得，令，依题意，，有解，

当时，

，当且仅当，即时取等号，

因此当时，，则，

所以的取值范围是．