【期中真题】北京市第四中学2023届高三上学期期中考试数学试题.zip

北京四中2022-~2023学年度第一学期期中试卷

高三数学

（试卷满分为150分，考试时间为120分钟）

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 已知复数z满足，则（    ）

A.  B. 1 C.  D. 5

3. 下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 数列满足（，），，其前n项和为，若，则（    ）

A. 47 B. 46 C. 45 D. 44

5. 若点在角的终边上，则（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 在中，若，，，则角的大小为（    ）

A.  B.  C.  D. 或

7. 如果是公比为q的等比数列，为其前n项和，那么“”是“数列为单调数列”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

8. 函数，则函数零点个数为（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

9. 声音的等级（单位：）与声音强度（单位：）满足. 喷气式飞机起飞时，声音的等级约为；一般说话时，声音的等级约为，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（    ）

A. 105倍 B. 108倍 C. 1010倍 D. 1012倍

10. 已知函数，若存在非零实数，使得成立，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）

11. 函数的定义域是______.

12. 计算：______.

13. 已知等比数列满足：，，则数列的公比______；______.

14. 若关于x的不等式在区间上有解，则实数a的取值范围是______.

15. 已知函数在区间上有且仅有5个零点，则下列结论中正确的是______.

①在区间上单调递增；

②在区间上有且仅有3个极大值点；

③在区间上有且仅有2个极小值点；

④取值范围是.

三、解答题（本大题共6小题，共85分.）

16. 已知函数，.

（1）求的最小正周期；

（2）求在区间，上最大值和最小值.

17. 在△ABC中，c＝2，C＝30°．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使其能够确定唯一的三角形，求：

（1）a的值；

（2）△ABC的面积．

条件①：；

条件②：A＝45°；

条件③：．

18. 某科研单位在研发钛合金产品的过程中使用了一种新材料.该产品的性能指标值是这种新材料的含量x（单位：克）的函数，且性能指标值越大，该产品的性能越好.当时，y和x的关系为以下三种函数模型中的一个：①；②（且）；③（且）；其中k，a，b，c均为常数.当时，，其中m为常数.研究过程中部分数据如下表：

（1）指出模型①②③中最能反映y和x（）关系的一个，并说明理由；

（2）求出y与x的函数关系式；

（3）求该新合金材料的含量x为多少时，产品的性能达到最佳.

19. 已知函数，.

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）求函数在区间上最小值；

（3）求证：“”是“函数在区间上单调递增”的充分不必要条件.

20. 已知函数，.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若函数存在两个极小值点，，求证：.

21. 已知正整数，集合.对于中元素，，定义，令.

（1）直接写出的两个元素及的元素个数；

（2）已知，，…，，满足对任意，都有，求m的最大值；

（3）证明：对任意，，…，，总存在，使得.