【期中真题】四川省成都市第七中学2022-2023学年高三上学期期中考试理科数学试题.zip

成都七中2022～2023学年度（上）高三年级半期考试

数学试卷（理科）

（试卷总分：150分，考试时间：120分钟）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设全集，集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 复数（其中为虚数单位）的虚部为（    ）

A  B.  C.  D.

3. 青少年视力被社会普遍关注，为了解他们的视力状况，经统计得到图中右下角名青少年的视力测量值（五分记录法）的茎叶图，其中茎表示个位数，叶表示十分位数．如果执行如图所示的算法程序，那么输出的结果是（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 抛物线上的一点到其焦点的距离等于（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 已知一个几何体的三视图如图，则它的表面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 在的展开式中，项的系数为（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 在平行四边形 中，，，，是的中点，则（    ）

A.  B.  C.  D.

8. “为第二象限角”是“”的（    ）

A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

9. 已知直线与圆相切，则的最大值为（    ）

A  B.  C.  D.

10. 关于函数的叙述中，正确的有（    ）

①的最小正周期为；

②区间内单调递增；

③是偶函数；

④的图象关于点对称.

A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④

11. 攒尖在中国古建筑（如宫殿、坛庙、园林等）中大量存在，攒尖式建筑的屋面在顶部交汇成宝顶，使整个屋顶呈棱锥或圆锥形状.始建于年的廓如亭（位于北京颐和园内，如图）是全国最大的攒尖亭宇，八角重檐，蔚为壮观.其檐平面呈正八边形，上檐边长为，宝顶到上檐平面的距离为，则攒尖坡度（即屋顶斜面与檐平面所成二面角的正切值）为（    ）

A.  B.  C.  D.

12. 如果直线与两条曲线都相切，则称为这两条曲线的公切线，如果曲线和曲线有且仅有两条公切线，那么常数a的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 命题“，”的否定是_______________________．

14. 若不等式对恒成立，则实数取值范围是_______________________．

15. 已知双曲线的两个焦点分别为、，且两条渐近线互相垂直，若上一点满足，则的余弦值为_______________________．

16. 已知某品牌电子元件的使用寿命（单位：天）服从正态分布.

（1）一个该品牌电子元件的使用寿命超过天的概率为_______________________；

（2）由三个该品牌的电子元件组成的一条电路（如图所示）在天后仍能正常工作（要求能正常工作，， 中至少有一个能正常工作，且每个电子元件能否正常工作相互独立）的概率为__________________．

（参考公式：若，则）

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个题目考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17. 已知，数列的首项，且满足下列条件之一：①；②．（只能从①②中选择一个作为已知）

（1）求的通项公式；

（2）若的前项和，求正整数的最小值．

18. 如图，在直四棱柱中，底面是菱形，是的中点.

（1）求证：平面；

（2）已知，，求直线与平面所成角的正弦值.

19. 某企业有甲、乙两条生产线，其产量之比为 .现从两条生产线上按分层抽样的方法得到一个样本，其部分统计数据如表（单位：件），且每件产品都有各自生产线的标记.

（1）请将列联表补充完整，并根据独立性检验估计；大约有多大把握认为产品的等级差异与生产线有关?

（2）为进一步了解产品出现等级差异的原因，现将样本中所有二等品逐个进行技术检验（随机抽取且不放回）.设甲生产线的两个二等品恰好检验完毕时，已检验乙生产线二等品的件数为，求随机变量的分布列及数学期望.

参考公式：.

20. 已知椭圆的短轴长为，左顶点A到右焦点的距离为.

（1）求椭圆的方程及离心率；

（2）设直线与椭圆交于不同两点，（不同于A），且直线和的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数，求在上的射影的轨迹方程.

21. 已知函数 在区间内存在极值点.

（1）求实数的取值范围；

（2）求证：在区间内存在唯一的，使，并比较与的大小．

（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分．

[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

22. 在平面直角坐标系中，伯努利双纽线（如图）的普通方程为，直线的参数方程为（其中，为参数）.

（1）以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求和的极坐标方程；

（2）设，是与轴的交点，，是与的交点（四点均不同于），当变化时，求四边形的最大面积.

[选修4-5：不等式选讲]（10分）

23. 设为不等式的解集.

（1）求；

（2）若，，求的最大值.