【期中真题】天津市五校联考2022-2023学年高三上学期期中数学试题.zip

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2022～2023学年度第一学期期中五校联考高三数学试卷出题学校：宝坻一中  静海一中一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分）1. 已知全集，集合，，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】利用列举法即可.【详解】由题知，，则，故选:C.2. 数列的通项公式为，则“”是“为递增数列”的（    ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件【答案】A【解析】【分析】根据以及充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可【详解】由题意得数列为递增数列等价于对任意恒成立，即对任意恒成立，故，所以“”是“为递增数列”的充分不必要条件，故选：A3. 函数（，且）的图像大致为（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】利用奇偶性和函数值的特点即可.【详解】因为，所以所以函数为奇函数，排除B,C当时，，，所以排除A故选：D4. 对任意实数a，b，c，d，命题：①若，，则；    ②若，则；③若，则；    ④若，则；其中真命题的个数是（    ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】B【解析】【分析】根据不等式的性质判断即可.【详解】①当时，，故①错；②当时，，故②错；③若，则且，则，故③正确；④若，则，故④错.故选：B.5. 已知，，，则（    ）A  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】利用对数函数、指数函数、正弦函数的性质比较大小即可.【详解】，，，∴.故选：B.6. 已知，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】结合，利用诱导公式和二倍角公式即可求解【详解】因，所以，所以，故选：D7. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人第一天走的路程为（    ）A. 63里 B. 126里 C. 192里 D. 228里【答案】C【解析】【分析】由题意知，每天走的路程构成一个公比为等比数列，已知和求首项，代入公式即可得到.【详解】由已知，设等比数列首项为，前n项和为，    公比为,，则 ，等比数列首项.故选：C.8. 已知函数，现给出下列四个结论，其中正确的是（    ）A. 函数的最小正周期为B. 函数的最大值为2C. 函数在上单调递增D. 将函数的图象向右平移个单位长度；所得图象对应的解析式为【答案】C【解析】【分析】首先利用三角恒等变换化简函数，再根据函数的性质依次判断选项【详解】对于A和B，，所以的最小正周期为，的最大值为1，故A错误，B错误，对于C，当时，，因为在上单调递增，所以函数在上单调递增，故C正确；对于D，将函数的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数解析式为，故D不正确，故选：C9. 已知定义在R上的函数，若函数恰有2个零点，则实数m的取值范围为（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】把函数恰有2个零点转化为和有两个交点.利用图像法解.【详解】因为函数恰有2个零点，所以和有两个交点.作出函数的图像如图所示：因为时，和相交，所以只需和再有一个交点. .当时，若与相切，则有的判别式，此时.当时，若与相切，则有的判别式，此时.当时，若与相切，设切点为.则有，解得：.所以要使函数恰有2个零点，只需或或，解得：或或.故选：D【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．二、填空题（本题共6小题，每题5分，共30分）10. 设命题，.若为假命题，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】分析可知命题的否定为真命题，可得出，即可解得的取值范围.【详解】命题的否定为：，，由题意可知，命题的否定为真命题，所以，，解得.故答案为：.11. 设等差数列的前项和为，若，，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】利用等差数列通项公式和前项公式列方程组即可.【详解】由题知：等差数列的前项和为， ，， ， ， ， ，当或时，取得最小值， ， .故答案为：.12. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，成等差数列，若，则b边的最小值为______.【答案】2【解析】【分析】利用等差中项的性质得到，然后利用正弦定理和和差公式得到，然后利用余弦定理和基本不等式求最值即可.【详解】由题意得，，又，所以，则，因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为2.故答案为：2.13. 已知函数在上有且仅有2个零点，则实数的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】令，解得，然后根据在上有且只有2个零点列不等式，解不等式即可.【详解】令，则，解得，因为在上有且只有2个零点，所以，解得.故答案为：.14. 已知函数，若正数a、b满足，则______，的最小值为______.【答案】    ①.     ②. 【解析】【分析】分析出函数为上的增函数且为奇函数，由已知条件可得出，将所求不等式变形得出，然后再利用基本不等式可求得结果.【详解】函数的定义域为，，故函数为奇函数，因为函数、、、均为上的增函数，故函数为上的增函数，由可得，，可得，则，所以，.当且仅当，时，等号成立，所以，的最小值为.故答案为:；.15. 已知函数，若恰有2个零点，则实数a的值为______，若关于x的方程恰有4个不同实数根，则实数m的取值范围为______.【答案】    ①. ；    ②. 【解析】【分析】先利用导数研的的图象，再作出的图象,恰有2个零点，则与有2个交点，数形结合即可得实数a的值;若关于x的方程恰有4个不同实数根，令，通过分析可得有2个不等根,且，，再数形结合即可建立的不等式组，即可求解【详解】当时，则，，令，解得，所以当时，,单调递增，时，,单调递减,再根据题意可作出图象如下: 若有2个零点,则与有2个交点，数形结合可知;若关于x的方程恰有4个不同实数根，令，则有两个不等实数根，故，与都有2个交点或者与仅1个交点，与有3个交点；当，与都有2个交点，根据图象可得，不满足，舍去；当与仅1个交点，与有3个交点，则，，当时，，解得，故，解得或，舍去；故两个实数根的范围为，，所以解得，所以实数m的取值范围为，故答案为：；【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是利用数形结合思想作出函数的图象，再通过图象得到与仅1个交点，与有3个交点，并通过分析得到，三、解答题（本题共5小题，共75分）16. 已知函数的最小正周期为.（1）求的值和函数的单调递增区间；（2）求函数图像的对称轴方程和对称中心坐标.【答案】（1），；    （2），.【解析】【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简，然后利用正弦型函数的性质求和单调区间即可；（2）利用整体代入法求对称轴和对称中心即可.【小问1详解】，因为最小正周期为，所以，解得，令，解得，所以单调递增区间为.【小问2详解】令，解得，所以对称轴方程为；令，解得，所以对称中心为.17. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且.（1）求A；（2）若，求的值；（3）若的面积为，，求的周长.【答案】（1）；    （2）；    （3）8.【解析】【分析】（1）利用正弦定理进行边角互换，然后利用和差公式进行化简得到，即可得到；（2）利用二倍角公式得到，，然后利用和差公式得到，最后代入即可；（3）利用面积公式得到，利用余弦定理得到，两式结合可得，然后求周长即可.【小问1详解】根据正弦定理得，，∵，∴，则，∵，∴.【小问2详解】∵,∴，，，，∴.【小问3详解】∵面积为，且，∴，整理得①，根据余弦定理可得，②， 联立①②，可得，所以周长为8.18. 已知函数在点处的切线斜率为4，且在处取得极值.（1）求函数的单调区间；（2）若函数恰有两个零点，求实数m取值范围.【答案】（1）答案见详解    （2）或【解析】【分析】（1）根据题意，列出方程组求得，得到，进而求得函数的单调区间；（2）由题意得到，利用导数求得函数的单调性与极值，列出不等式组，即可求解.【小问1详解】解：由题意，函数，可得，因为函数在点处的切线斜率为4，且在处取得极值，可得，即，解得，   所以，可得，令，解得或．解，得或，即在区间上单调递增，在上单调递增；解，得，即在上单调递减.所以函数的单调递减区间是；单调递增区间是，．【小问2详解】解：由（1）得，，则，由（1）知，当或时，当或时，，即；当时，，即.所以，函数在处取得极大值，在处取得极小值，要使得有两个零点，则满足或，即或，解得或， 所以的取值范围为或．19. 已知数列是等差数列，其前n项和为，，；数列的前n项和为，.（1）求数列，通项公式；（2）求数列的前n项和；（3）求证；.【答案】（1），；    （2）；    （3）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式和求和公式列方程，解得，即可得到，利用时，，得到数列为等比数列，然后求即可；（2）根据（1）得到，然后利用裂项相消的方法求和即可；（3）利用放缩的方法得到，然后用错位相减的方法求和，得到，即可证明.【小问1详解】设数列的公差为，则，解得，∴，由①可得，当时，，则，当时，②，①②相减得，，整理得，所以数列为等比数列，.【小问2详解】由（1）可得，，所以.【小问3详解】由（1）可得，，又，∴，设，则，两式相减得，，∴，∴.20. 已知函数，.（1）当时，若曲线与直线相切，求k的值；（2）当时，证明：；（3）若对任意，不等式恒成立，求a的取值范围.【答案】（1）；    （2）证明见解析；    （3）.【解析】【分析】（1）设切点坐标为，然后利用导数的几何意义列方程，解方程即可得到；（2）证明即证明，然后求导，利用单调性求最值，即可证明；（3）将不等式转化为，然后构造函数，根据的单调性得到恒成立，即，构造函数，根据的单调性得到，然后代入解不等式即可.【小问1详解】当时，，则，设切点坐标为，则，解得，所以.【小问2详解】当时，，定义域为，，令，则，当时，，则在上单调递增，又，所以当时，，时，，所以在上单调递减，上单调递增，所以，则.【小问3详解】由题可知，，则不等式恒成立，即，即，即，即在上恒成立，令，易知在上单调递增，所以在上恒成立，即， 令，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，上单调递增，则，所以，解得，所以的取值范围为.【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论：（1）恒成立⇔；（2）恒成立⇔.