【期中真题】江苏省南京市金陵中学2021-2022学年高三上学期期中数学试题.zip

2022届高三第一学期数学学科期中检测

考试时间：120分钟

一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分）

1. 用图形直观表示集合的运算关系，最早是由瑞士数学家欧拉所创，故将表示集合运算关系的图形称为“欧拉图”．后来，英国逻辑学家约翰•韦恩在欧拉图的基础上创建了世人所熟知的“韦恩图”．韦恩用图1中的四块区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ分别表示下列四个集合：，，，，则图2中的阴影部分表示的集合为（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 在复平面内，复数的对应点为，则（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：．若常数，空气温度为，某物体的温度从下降到，大约需要的时间为（    ）（参考数据：）

A. 分钟 B. 分钟 C. 分钟 D. 分钟

5. 已知函数，定义域为的函数满足，若函数与图象的交点为，，…，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 在四面体中，底面，，，点为三角形的重心，若四面体的外接球的表面积为，则（   ）

A  B. 2 C.  D.

7. 设是双曲线的左，右焦点，点P在C上，若，且(O为坐标原点)，则C的渐近线方程为（    ）

A.  B.

C.  D.

8. 设，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

二、多项选择题（本大题共4小题，每题5分，共20分.每题全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9. 为了解目前全市高一学生身体素质状况，对某校高一学生进行了体能抽测，得到学生的体育成绩，其中60分及以上为及格，90分及以上为优秀，则下列说法正确的是（    ）附：若，则，.

A. 该校学生体育成绩的方差为10

B. 该校学生体育成绩的期望为70

C. 该校学生体育成绩的及格率不到

D. 该校学生体育成绩的优秀率超过

10. 等差数列中，，公差，且，则实数的可能取值为（    ）

A.  B.  C.  D.

11. 设，，则（    ）

A. “”“” B. “”“”

C. “”“” D. “”“”

12. 众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”.整个图形是一个圆形.其中黑色阴影区域在轴右侧部分的边界为一个半圆，给出以下命题:其中所有正确结论的序号是（    ）

A. 在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是；

B. 当时，直线与白色部分有公共点；

C. 黑色阴影部分（包括黑白交界处）中一点，则的最大值为；

D. 若点，为圆过点的直径，线段是圆所有过点的弦中最短的弦，则的值为.

三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）

13. 在的展开式中，若含项的系数为，则正实数___________

14. 已知幂函数在上单调递减，则___________.

15. 沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时，如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底而直径和高均为10cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的（细管长度忽略不计）.若细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此锥形沙堆的高度为___________.（精确到0. 01cm）.

16. 法国著名的军事家拿破仑．波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．在三角形中，角，以为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为，若三角形的面积为，则三角形的周长最小值为___________

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 三角测量法是在地面上选定一系列的点，并构成相互连接的三角形，由已知的点观察各方向的水平角，再测定起始边长，以此边长为基线，即可推算各点坐标的一种测量方法.在实际测量中遇到高大障碍物的测量，需要跨越时的测量，无法得到平距的测量都需要用到三角测量法.如图，为测量横截面为直角三角形的某模型的平面图△ABC，由于实际情况，Rt△ABC（∠ACB=）的边和角无法测量，以下为可测量数据：①BD=2；②CD=+1；③∠BDC=；④∠BCD=.以上可测量数据中至少需要几个可以推算出Rt△ABC的面积？请选择一组并写出推算过程.注：若选择不同的组合分别作答，则按第一个作答计分.

18. 已知各项均为正数的数列，满足且

（1）求数列的通项公式

（2）设，若的前项和为，求

19. 移动支付（支付宝及微信支付）已经渐渐成为人们购物消费的一种支付方式，为调查市民使用移动支付的年龄结构，随机对100位市民做问卷调查得到2×2列联表如下∶

（1）将上2×2列联表补充完整，并请说明在犯错误的概率不超过0.10的前提下，认为支付方式与年龄是否有关？

（2）在使用移动支付的人群中采用分层抽样的方式抽取10人做进一步的问卷调查，从这10人随机中选出3人颁发参与奖励，设年龄都低于35岁（含35岁）的人数为X，求X的分布列及期望.

（参考公式：（其中n=a+b+c+d）

20. 如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠ABC＝90°，PA＝2，AC＝2．

（1）求证：平面平面；

（2）若二面角P﹣BC﹣A的大小为45°，过点A作AN⊥PC于N，求直线AN与平面PBC所成角的大小．

21. 已知双曲线的左､右焦点分别为，双曲线C的右顶点A在圆上，且.

（1）求双曲线C的标准方程；

（2）动直线与双曲线C恰有1个公共点，且与双曲线C两条渐近线分别交于点M､N，问为坐标原点)的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由.

22 已知函数.

（1）若，求的单调区间；

（2）若对于任意的，恒成立，求的最小值.