【期中真题】甘肃省兰州市西北师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期期中考试理科数学试题.zip

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西北师大附中2022—2023学年第一学期期中考试试题高三数学（理）命题人：张丽娇   审题人：惠银东一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知集合，，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】求出集合，利用补集和交集的定义可求得结果.【详解】因为，则或，因此，.故选：C.2. 集合，则为（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】分和两种情况讨论，得出关于的不等式或方程，即可得出实数的取值范围.【详解】，或.①若，则，解得；②若，由韦达定理得，无解.综上所述，.故选：B【点睛】本题考查根据集合的包含关系求参数，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.3. 已知，“函数有零点”是“函数在上是减函数”的（    ）．A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件【答案】B【解析】【详解】试题分析：由题意得，由函数有零点可得，，而由函数在上为减函数可得，因此是必要不充分条件，故选B．考点：1.指数函数的单调性；2.对数函数的单调性；3.充分必要条件.4. 已知命题，命题，则下列命题中为真命题的是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】判断出命题的真假后结合复合命题真假判断原则可得正确的选项.【详解】对于命题，因，其中，而，故无解，故命题为假命题.对于命题，因为对任意，总有，故命题为真命题.故、、均为假命题，为真命题，故选：B5. 中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式:.它表示:在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升到8000，则大约增加了（    ）A. 10% B. 20% C. 30% D. 50%【答案】C【解析】【分析】根据题意，信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，只需计算出信噪比为8000比信噪比为1000时提升了多少即可．【详解】由题意可知，，，故提升了，故选：C．6. 已知是不同的直线，是不同的平面，以下命题正确的是①若，，则；②若，，则；③若，则；④若，，，则；A. ②③ B. ③④ C. ②④ D. ③【答案】D【解析】【分析】根据线面平行与垂直的判定和性质逐个判断即可【详解】①若∥，，则或相交；②若，，则或或异面；③若，则，正确；④若，，，则或或异面．故选：D7. 已知非常数函数满足，则下列函数中，不是奇函数的为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根据奇函数的定义判断．【详解】因为，所以，则，是奇函数，同理也是奇函数，，则，是奇函数，，为偶函数，故选：D．8. 已知，，，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】利用对数函数的性质可知，，又，由此即可得到结果.【详解】因为，所以；因为，所以.故选:A9. 函数的部分图象大致是（     ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】先求函数定义域为排除A，再根据时，排除BC，进而得答案.【详解】解：函数的定义域为，故排除A，，故函数为奇函数，由于时，，故时，，故排除BC；所以D选项为正确答案.故选：D.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.10. 已知函数的定义域为R，且，则（    ）A.  B.  C. 0 D. 1【答案】A【解析】【分析】法一：根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出．【详解】[方法一]：赋值加性质因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以一个周期内的．由于22除以6余4，所以．故选：A．[方法二]：【最优解】构造特殊函数由，联想到余弦函数和差化积公式，可设，则由方法一中知，解得，取，所以，则，所以符合条件，因此的周期，，且，所以，由于22除以6余4，所以．故选：A．【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解. 11. 已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】设正四棱锥的高为，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.【详解】∵球的体积为，所以球的半径,[方法一]：导数法设正四棱锥的底面边长为，高为，则，,所以，所以正四棱锥的体积，所以，当时，，当时，，所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，又时，，时，,所以正四棱锥的体积的最小值为，所以该正四棱锥体积的取值范围是.故选：C.[方法二]：基本不等式法由方法一故所以当且仅当取到，当时，得，则当时，球心在正四棱锥高线上，此时，，正四棱锥体积，故该正四棱锥体积的取值范围是 12. 定义在上的函数的导函数为，若，则不等式的解集是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】由题意不等式等价为，令，求导得的单调性后即可得解.【详解】不等式等价为，构造函数，则，又，，即在上是减函数，由于，可得，解得，即不等式的解集是.故选：D.【点睛】本题考查了导数的应用，考查了构造新函数的能力和转化化归思想，属于中档题.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 若，则__________．【答案】9【解析】【分析】根据解析式直接计算即可.【详解】因为，所以.故答案为：.14. 函数的定义域是，则实数的值为__________________.【答案】【解析】【分析】根据一元二次不等式的解集是，结合韦达定理，列方程组，解方程组求得的值.【详解】依题意一元二次不等式，即的解集为，所以是方程的两个根，所以，解得.故答案为：【点睛】本小题主要考查对数型函数的定义域，考查一元二次不等式的解和对应一元二次方程实根的关系，属于基础题.15. ______.【答案】 ## 【解析】【分析】根据定积分的运算法则以及定积分的几何意义可求出结果.【详解】,表示圆心为原点，3为半径的半圆的面积，所以.所以.故答案为：16. 已知定义在上的偶函数，满足，且在区间上是增函数，①函数的一个周期为4；②直线是函数图象的一条对称轴；③函数在上单调递增，在上单调递减；④函数在内有25个零点；其中正确的命题序号是_____（注：把你认为正确的命题序号都填上）【答案】①②④【解析】【分析】先求得，由此函数的周期性.通过证明求得函数的对称轴，根据奇偶性、周期性和单调性画出函数的图像，由此判断③④的真假.【详解】令得，即，由于函数为偶函数，故.所以，所以函数是周期为的周期函数，故①正确.由于函数为偶函数，故，所以是函数图像的一条对称轴，故②正确.根据前面的分析，结合函数在区间上是增函数，画出函数图像如下图所示.由图可知，函数在上单调递减，故③错误.根据图像可知，，零点的周期为，共有个零点，故④正确.综上所述正确的命题有①②④.【点睛】本小题主要考查函数的周期性、单调性、对称性等性质，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.三、解答题（共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17. 在“①函数的定义域为R，②，使得，③方程有一根在区间内”这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答．问题：已知条件p：______，条件q：函数在区间上不单调，若p是q的必要条件，求实数a的最大值．【答案】【解析】【分析】求出函数在区间上不单调的等价条件为，三个可选择的条件求出的范围都是，利用集合间的关系求范围即可.【详解】条件q：函数在区间上不单调因为的对称轴为，在区间上不单调故，则若选①：函数的定义域为，则，则若p是q的必要条件，则是的子集，则，故a的最大值为；若选②：，使得由于表示数轴上的实数到和的距离之和，故有最小值为，当且仅当即时取得，使得，故，同理可得a的最大值为；若选③，方程有一根在区间内，则，且在内，可得，则；同理可得a的最大值为；【点睛】根据充分条件与必要条件求范围问题应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.18. 已知函数（其中且）是奇函数.（1）求的值；（2）若对任意的，都有不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根据恒成立，计算可得的值；（2）将不等式恒成立转化为在上恒成立，令，则转化为，利用对勾函数的性质求得的最大值即可.【小问1详解】因为函数（其中且）是奇函数，，即恒成立，即恒成立，所以恒成立，整理得恒成立，，解得或，当时，显然不成立，当时，，由，可得或，，满足是奇函数，所以；【小问2详解】对任意的，都有不等式恒成立，恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，令，令，，根据对勾函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增，又，，所以在上的最大值为，，即实数的取值范围是19. 已知函数.（1）若函数在处的切线与直线垂直,求实数的值;（2）当时,讨论函数的单调性.【答案】（1）；    （2）答案见解析【解析】【分析】(1)对求导，求出斜率，根据直线垂直的斜率公式列式，进而求出的值;(2)由（1）可得,分两种情况讨论函数的单调性即可【小问1详解】函数定义域为,由可得,因为函数在处的切线与直线垂直，所以即,解得;【小问2详解】,记,①当即时,,函数在上单调递增;②当即时,令,解得，又,故，当时,,函数单调递增；当时,,函数单调递减；当时,,函数单调递增,综上所述,当时,函数在上单调递增;当时,函数在单调递增,函数在单调递减【点睛】方法点睛：确定单调区间的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数，令，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；(3)利用的定义域和实根把函数的定义区间分成若干个小区间；(4)确定在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性20. 已知函数，．（1）证明：函数在上单调递增；（2）设，若的定义域和值域都是，求的最大值．【答案】（1）证明见解析    （2）【解析】【分析】（1）利用单调性的定义直接证明即可；（2）由（1）可知函数在上单调递增，由题意则有，则可等价于m，n为关于x的方程的两不等实根，利用求根公式即可表示出，由此即可求出的最大值.【小问1详解】证明：任取，且，则，因为，，所以，所以，故，所以，所以函数在上单调递增．【小问2详解】由（1）可知函数在上单调递增，因为的定义域和值域都是，所以，所以m，n为关于x的方程的两个不相等的正实数根，化简方程可得，则，解得，所以因为，所以，所以当，即时，取得最大值．最大值为．21. 已知函数有两个极值点，.（1）求实数的取值范围；（2）求证：.【答案】（1）    （2）证明见解析【解析】【分析】（1）将已知转化为有两个零点，,借助导数研究其性质，进而解决问题.（2）要证明当时，，只需要证明即可.【小问1详解】由于，则.设，则，令，解得.所以当时，；当时，，所以①当时，，所以函数在上单调递增，没有极值点.②当时，，，此时，有两个零点、，不妨设，则,所以函数有2个极值点时，的范围时.【小问2详解】由（1）知，、为的两个实数根，不妨设，则，在上单调递减.下面先证，只需证.由于，所以，所以.设，则，所以在上单调递减，所以，，所以.由于函数在上单调递减，所以.要证，只需证，即证.设函数,则.设，则,所以在上单调递增，，即.所以在上单调递增，.故当时，,则,所以,即【点睛】方法点睛：本题主要考查导数中极值点偏移问题，属于难题.常见处理方法有：（1）构造对称函数；（2）比值法；（3）对数平均不等式；