【期中真题】上海市杨浦区复旦大学附属中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题.zip

上海市复旦大学附属中学2022-2023学年高二（上）期中数学试卷

一、填空题:（共54分，1-6每题4分，7-12每题5分）

1. 圆的半径为_________.

【答案】

【解析】

【分析】将圆的方程化为标准式，可得出圆的半径.

【详解】圆的标准方程为，故该圆的半径为.

故答案为：.

2. 若直线与垂直，则的值为__________.

【答案】

【解析】

【分析】根据直线垂直列方程，解得结果.

【详解】因为直线与垂直，

所以.

故答案为：

【点睛】本题考查根据直线垂直求参数，考查基本分析求解能力，属基础题.

3. 已知平行直线，，则，的距离为_______.

【答案】

【解析】

【分析】利用两平行线间距离公式进行求解.

【详解】根据两平行线间距离公式可得：，的距离，

故答案为：

4. 若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是_______．

【答案】

【解析】

【详解】试题分析：.

【考点】抛物线的定义．

【思路点睛】当题目中出现抛物线上的点到焦点的距离时，一般都会想到转化为抛物线上的点到准线的距离．解答本题时转化为抛物线上的点到准线的距离，进而可得点到轴的距离．

5. 已知过点的直线与抛物线相交于不同的两点，为直线斜率，则k的取值范围为_________.

【答案】

【解析】

【分析】直线的方程为，与抛物线的方程联立可化为，由题意可得，解出即可．

【详解】直线的方程为：，

联立，化为，

直线与抛物线相交于不同的两点，

，即，解得，且．

斜率的取值范围是．

故答案为：．

6. 一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为___________.

【答案】

【解析】

【详解】设圆心为（，0），则半径为，则，解得，故圆的方程为.

考点：椭圆的几何性质；圆的标准方程

7. 椭圆的焦距为，则实数的值为___________.

【答案】或##或

【解析】

【分析】对椭圆的焦点位置进行分类讨论， 根据题意可得出关于的等式，即可解得的值.

【详解】当椭圆的焦点在轴上时，则，，此时，

，解得；

当椭圆的焦点在轴上时，则，，此时，

，解得.

综上所述，或.

故答案为：或.

8. 已知点在经过，两点直线上，则的最小值为_______

【答案】

【解析】

【分析】由点在直线上可得，满足，故，利用基本不等式求出最小值.

【详解】由题意知点在经过，两点的直线上，所以.

所以，（当且仅当，即时取等号.）

∴的最小值是.

故答案为：．

9. 已知点P（2，1）在圆x²+y²+（λ1）x+2λy+λ=0外，则实数λ的取值范围是_____________

【答案】

【解析】

【分析】点坐标代入方程左边所得值应大于0，还要考虑方程是表示圆，两者结合可得结论．

【详解】由题意题设方程表示圆，则，或，

点在圆外，则，，

综上，的范围是．

故答案为：．

10. 已知斜率为的直线与抛物线交于轴上方不同的两点、，记直线、的斜率分别为、，则的取值范围是_______.

【答案】

【解析】

【分析】利用直线的斜率公式可得出，得出与代数式相乘，结合基本不等式可求得的取值范围.

【详解】设点、，由题意可知，且，

所以，，则，

所以，

，

因此，取值范围是.

故答案为：.

11. 已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别是F₁、F₂，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF₁F₂是以PF₁为底边的等腰三角形，若|PF₁|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e₁、e₂，则e₁e₂的取值范围是_____.

【答案】．

【解析】

【分析】设，椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，焦距为，由双曲线与椭圆定义可把用表示，根据确定的范围，计算后由的范围可得结论．

【详解】设，椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，焦距为，

则，，

在第一象限，则，∴，

，，，，又，∴，

∴，

，

，则，．

故答案为：．

12. 过双曲线 的左焦点作圆x²+y²=a²的切线，切点为E，延长FE交抛物线y²=4cx于点P，O为坐标原点，若 则双曲线的离心率为_______.

【答案】

【解析】

【分析】由向量的运算法则知是中点，由此得，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，因此利用中位线性得，从而由抛物线的可表示出的点横坐标，从而得纵坐标，作轴，垂足为，在中由勾股定理得出的方程，变形后可求得离心率．

【详解】如图，双曲线的右焦点也是抛物线的焦点，，则是中点，

又是中点，所以，，

设，

过作抛物线的准线的垂线，是垂足，则，，

在抛物线上，所以，

是切点，，所以，

作轴，垂足为，

由得，整理得，

所以，（负值舍去）．

故答案为：．

二、选择题:（共20分，13-16每小题5分）

13. 抛物线的准线方程为（  ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【详解】抛物线的焦点在轴上，且开口向右，抛物线的准线方程为，故选D.

14. 直线与圆 相切，则实数m的值是（     ）

A. ±1 B. ±2 C. ±4 D. ±8

【答案】B

【解析】

【分析】直线方程代入圆方程后，由判别式为0求得的值，同时注意方程表示圆时的范围．

【详解】由，得，∴，，

又方程表示圆时，，或，满足题意．

故选：B．

15. 已知,则双曲线与的    （ 　  ）

A. 实轴长相等 B. 虚轴长相等 C. 焦距相等 D. 离心率相等

【答案】D

【解析】

【详解】试题分析：因为，双曲线中，，；中，，所以，两双曲线离心率相同，选D．

考点：双曲线的几何性质

点评：简单题，双曲线中a,b,c,e的关系，是常常考查的知识点．

16. 已知过点D（2，0）的直线l与椭圆 相交于不同的两点A、B，M是弦AB的中点，则 的最小值为（     ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】显然直线斜率存在，设其方程为，设，，直线方程代入椭圆方程整理后由韦达定理得，由中点坐标公式表示出中点的横坐标，然后用横坐标表示出并化为的代数式，从而求得最大值．

【详解】显然直线斜率存在，设其方程为，设，，

由得，，

，，

∴，，

，

，

又，时取得最大值1，

所以的最小值是．

故选：A．

三、解答题（共76分）

17. 已知直线，，

（1）求两条直线、夹角的大小；

（2）求直线关于直线对称直线的方程.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】(1)转化为求两条直线的方向向量的夹角的大小；(2)根据所求直线过已知两直线的交点，以及上的任一点关于对称的点在所求直线上即可求解.

【小问1详解】

设两直线的夹角为，因为的斜率，

所以的一个方向向量为，

因为的斜率，

所以的一个方向向量为，

所以，

所以直线、夹角的大小为.

【小问2详解】

设直线关于直线对称的直线为，

由，解得，所以直线经过点，

在上取一点关于对称的点设为，

则有解得，所以直线经过点，

所以直线的斜率为，所以直线的方程为，

即：.

18. 在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆C上.

（1）求圆C的方程；

（2）若圆C与直线交于A，B两点，且，求a的值.

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】（1）求出曲线与坐标轴的三个交点，根据这三个交点在圆上可求出圆心坐标和半径，从而可得圆的方程；

（2）设A，B，联立直线与圆的方程，根据根与系数的关系可得，，根据得，化为，进而可解得 .

【详解】（1）曲线与坐标轴的交点为(0，1)，(,0)，

由题意可设圆C的圆心坐标为(3，)，

∴，解得，

∴圆C的半径为，

∴圆C的方程为.

（2）设点A、B的坐标分别为A，B，其坐标满足方程组，消去得到方程，

由已知得，判别式①，

由根与系数的关系得，②，

由得.

又∵，，∴可化为③，

将②代入③解得，经检验，满足①，即，

∴.

【点睛】本题考查了由圆上三个点的坐标求圆的方程，考查了直线与圆的位置关系、根与系数的关系，考查了运算求解能力，属于中档题.

19. 已知抛物线的准线与x轴交于点M，过点M的直线l与抛物线交于A、B两点，设到准线的距离为d. 

（1）若，求抛物线的标准方程；

（2）若, 求直线l的斜率.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由，可得轴，从而求出，即可得抛物线的标准方程；

（2）设出直线的方程，通过，求出，联立直线与抛物线方程可得，把方程的根代入求解即可．

【小问1详解】

抛物线的焦点，准线方程为，则，

由，可得轴，则，即有，即，

则抛物线方程为；

【小问2详解】

设，，

代入抛物线的方程，可得，

，即且，

，

由，，可得，

即有，解得．

故直线的斜率为．

20. 如图，为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为；双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，已知， 且 过作的不垂直于轴的弦，为的中点，直线与交于、两点.

（1）求、的方程；

（2）若四边形为平行四边形，求直线的方程；

（3）求四边形面积的最小值.

【答案】（1），   

（2）或   

（3）

【解析】

【分析】（1）由椭圆和双曲线的离心率公式可得出，由可求得、的值，即可得出椭圆和双曲线的方程；

（2）设直线的方程为，设点、、，将直线的方程与椭圆的方程联立，求出点的坐标，分析可知为线段的中点，可得出点的坐标，将点的坐标代入双曲线的方程，求出的值，即可得出直线的方程；

（3）求出，可得出直线的方程，求出、两点的坐标，求出、两点到直线的距离之和，可得出四边形的面积，进而可求得该四边形面积的最小值.

【小问1详解】

解：由题意可得，，，则，

，，，

所以，椭圆的方程为，双曲线的方程为.

【小问2详解】

解：由（1）可知，因为直线不垂直于轴，设直线的方程为，

设点、、，

联立可得，，

由韦达定理可得，，

则，，所以，点，

因为四边形为平行四边形，则为线段的中点，故点，

将点的坐标代入双曲线的方程可得，即，

解得，

因此，直线的方程为或.

【小问3详解】

解：由（2）可得，

，所以，直线的方程为，

联立可得，所以，，

不妨取点、，

所以点到直线的距离为，

点到直线的距离为，

则，

所以，四边形的面积为

，

故当时，四边形的面积取最小值.

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：

一是几何法，特别是用圆锥曲线定义和平面几何的有关结论来求最值；

二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．

21. 已知椭圆,的离心率相同.点在椭圆上，、在椭圆上.

（1）若求点的轨迹方程；

（2）设的右顶点和上顶点分别为、，直线、分别是椭圆的切线，、为切点，直线、的斜率分别是、，求的值；

（3）设直线、分别与椭圆相交于、两点，且若是中点，求证：、、三点共线（为坐标原点）.

【答案】（1）   

（2）   

（3）证明见解析

【解析】

【分析】（1）设点，可得出，由已知可得出，将代入等式化简可得出点的轨迹方程；

（2）分写可得出，写出直线、的方程，将这两条直线的方程分别与椭圆的方程联立，由判别式方程可得出、的表达式，即可求得的值；

（3）不妨设、，且，，可得出，代入椭圆的方程，可得出，同理可得出，两式作差，结合点差法证明出，即可证得结论成立.

【小问1详解】

解：设点，由，可得，

因为点在椭圆上，则，即，即.

因此，点的轨迹方程为.

【小问2详解】

解：易知点、，直线的方程为，

直线的方程为，

因为椭圆与椭圆的离心率相等，且椭圆的离心率为，

椭圆离心率为，可得，

所以，椭圆的方程为，即，

联立可得，

，可得，

联立可得，

，可得，

因为，则.

【小问3详解】

证明：，则，则，

不妨设、，且，，

所以，，所以，，

代入椭圆的方程可得，

即，

因为，，

所以，，①

同理可得，②

①②可得，所以，，

因为，这两个等式作差可得，

所以，，故、、三点共线.

【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：

（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.